暑期数学建模层次分析法.ppt

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1、一、问题的提出二、一个简单例子三、层次分析(AHP)方法四、层次分析的一般步骤五、案例分析：合理分配住房问题,第6讲 层次分析方法,引例1：购买笔记本电脑,一、问题的提出,购买电脑,品牌,外观,价格,配置,联想,华硕,东芝,惠普,目标,准则,方案,引例2：评职称,一、问题的提出,评教授,科研,学历,教学,年龄,教师A,教师B,教师C,目标,准则,方案,引例3：选择旅游地,一、问题的提出,选择旅游地,景色,费用,住宿,餐饮,大足,钓鱼城,三峡,目标,准则,方案,旅途,在进行决策时，需要综合考虑各种因素，从备选的诸多方案中选出一个最优的方案，或对方案进行排序。,问题,一、问题的提出,黄山、九华山、

2、嵩山都是风景名胜，各有其特色，你该如何选择呢？定性选择定量选择-建立综合评价指标,解决问题的思路,一、问题的提出,假如旅游地选择问题是,最简单的例子,二、一个简单例子,选择旅游地,景色,费用,黄山,嵩山,目标,准则,方案,0.7,0.3,0.4,0.55,0.6,0.45,准则层对目标层的权向量为：0.7,0.3T,解决问题的思路,方案层对准则层中“景色”的权向量为：0.4,0.6T,二、一个简单例子,方案层对准则层中“费用”的权向量为：0.55,0.45T,解决问题的思路,方案层对准则层的权矩阵为：,方案层对目标层的组合权向量为：,二、一个简单例子,选择哪个方案呢？,当准则层涉及的因素较多时

3、，为得到准则层对目标层的权向量，Saaty等人的做法，一是对因素两两相互比较，二是对比时采用相对尺度，以尽量减少诸因素比较的难度，提高准确度。,成对比较矩阵和权重向量,三、层次分析法-以旅游地选择为例,成对比较矩阵和权重向量,三、层次分析法-以旅游地选择为例,设要比较准则层n个因素C1、C2、Cn对目标层O的影响程度，即要确定它们在O中所占的比重。对任意两个因素Ci和Cj用aij表示Ci和Cj对O的影响程度之比，Saaty等人提出按的比例标度来度量aij(i,j=1,2,n)：,成对比较矩阵和权重向量,三、层次分析法-以旅游地选择为例,用Ci和Cj对O的影响程度之比aij做成矩阵A=(aij)

4、nn,称为判断矩阵，显然,aij0，aji=1/aij,aii=1。判断矩阵又称为正互反矩阵。比如旅游地问题某人用成对比较法得到如下判断矩阵：,成对比较矩阵和权重向量,三、层次分析法-以旅游地选择为例,问题：此人得到的判断矩阵合理吗？为什么？,成对比较矩阵和权重向量,三、层次分析法-以旅游地选择为例,不难发现，a12=1/2，a13=4，a23=7。而a12/a13=8与a23=7不一致。一般地，如果一个正互反矩阵A=(aij)nn,若 aijajk=aik，i,j,k=1,2,n则称A为一致性矩阵。,成对比较矩阵和权重向量,三、层次分析法-以旅游地选择为例,定理1 n阶一致性矩阵A有下列性质

5、：1.A的秩为1，A的唯一非零特征根为n;2.A的任一列向量都是A对应于特征根n的特征向量。通常情况下，由实际得到的判断矩阵不一定是一致性的，即不一定满足传递性。,成对比较矩阵和权重向量,三、层次分析法-以旅游地选择为例,事实上，也不必要求一致性绝对成立，但要求大体上是一致的，即不一致的程度应在容许的范围内。Saaty等人将CI=(l-n)/(n-1)，n矩阵A的阶数，l为矩阵A最大的特征根。,成对比较矩阵和权重向量,三、层次分析法-以旅游地选择为例,为了找出衡量A的一致性指标CI的标准，Saaty又引入了随机一致性指标RI，并用样本计算出了RI的值：,成对比较矩阵和权重向量,三、层次分析法-

6、以旅游地选择为例,对于n3的成对比较矩阵A，将它的CI与同阶的RI之比称为一致性比率CR，CR=CI/RI.当CR0.1试认为A的不一致性程度在容许的范围内。当成对比较矩阵A的CR0.1时，通常应对A重新进行比对。,成对比较矩阵和权重向量,三、层次分析法-以旅游地选择为例,旅游地选择问题中的比较矩阵的最大特征根l=5.073.CI=(5.073-5)/(5-1)=0.018.RI=1.12.CR=CI/RI=0.018/1.12=0.0160.1.所以成对比较矩阵在一致性程度容许的范围内。,成对比较矩阵和权重向量,三、层次分析法-以旅游地选择为例,如果成对比较矩阵是一致性矩阵，则取对应于特征根

7、n的、归一化的特征向量W作为准则层C诸因素C1,C2,Cn对目标层O的权重向量。,若比较矩阵A不是一致性矩阵，但在不一致的容许范围内，则取其最大特征根对应的特征向量(归一化后)作为准则层C诸因素对目标层O的权重向量。,准则成对比较矩阵和权重向量,三、层次分析法-以旅游地选择为例,旅游地选择问题的最大特征根对应的特征向量（归一化后）为：w(2)=(0.263,0.475,0.055,0.099,0.110)T,方案层对准则层的权矩阵,三、层次分析法-以旅游地选择为例,1.方案层P对准则层某一因素Ci的权重向量方案层P对准则层C某一因素Ci的权重向量的确定方法和准则层C对目标层O的权重确定方法相同

8、。,方案层对准则层的权矩阵,三、层次分析法-以旅游地选择为例,比如某人在旅游地选择问题中确定的方案层对准则层中因素“景色”、“费用”、“居住”、“饮食”、“旅途”的判别矩阵分别为：,方案层对准则层的权矩阵,三、层次分析法-以旅游地选择为例,方案层对准则层的权矩阵,三、层次分析法-以旅游地选择为例,由此算出方案层对准则层中因素“景色”权向量为：w1(3)=(0.595,0.277,0.129)T,方案层对准则层中因素“费用”权向量为：w2(3)=(0.082,0.236,0.682)T,方案层对准则层的权矩阵,三、层次分析法-以旅游地选择为例,方案层对准则层中因素“居住”权向量为：w3(3)=(

9、0.429,0.429,0.142)T方案层对准则层中因素“饮食”权向量为：w4(3)=(0.633,0.193,0.175)T,方案层对准则层的权矩阵,三、层次分析法-以旅游地选择为例,方案层对准则层中因素“旅途”权向量为：w5(3)=(0.166,0.166,0.668)T2.方案层对准则层的权矩阵用方案层对准则层C中的因素C1,C2,Cn的权向量做成矩阵W(3)=w1(3),w2(3),wn(3),称为方案层对准则层的权矩阵。,方案层对准则层的权矩阵,三、层次分析法-以旅游地选择为例,旅游地选择问题中方案层对准则层的权矩阵为：,0.5950.2770.129,0.0820.2360.68

10、2,0.4290.4290.142,0.6330.1930.175,0.1660.1660.668,组合权向量-决策向量,三、层次分析法-以旅游地选择为例,用方案层P对准则层C的权矩阵W(3)乘以准则层C对目标层O的权向量W(2)得组合权向量W，此向量即为决策向量。W=W(3)w(2)旅游地选择问题的决策向量为：W=(0.300，0.246，0.456),组合权向量-决策向量,三、层次分析法-以旅游地选择为例,更一般地，若共有s层（包括目标层和方案层），第k层对第k-1层的权重向量为列向量组成的矩阵为W(k)，则决策向量为：W=W(s)W(s-1)W(3)w(2),组合一致性检验,三、层次分析

11、法-以旅游地选择为例,组合一致性检验可逐层进行。设k层的一致性指标为CI1(k)，CI2(k),CIn(k)（n为第k-1层的因素的数目），随机一致性指标为RI1(k)，RI2(k),RIn(k)。定义,组合一致性检验,三、层次分析法-以旅游地选择为例,则第k层的组合一致性比率为:,当CR(k)0.10时，则第k层通过组合一致性检验。定义最下层(第s层)对第1层（目标层）的组合一致性比率为：,组合一致性检验,三、层次分析法-以旅游地选择为例,对于重大项目，仅当CR*适当小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验。在旅游地选择问题中可以算出CI(3)=0.00176,RI(3)=0.58,CR

12、(3)=0.003,CR(2)=0.016,于是CR*=0.019.,最大特征根和对应的特征向量的计算,三、层次分析法-以旅游地选择为例,1.和法(1)将A的每一列向量归一化得,(2)对 按行求和得,(2)对 归一化得wi，w=(w1,w2,wn)即为近似特征向量。,最大特征根和对应的特征向量的计算,三、层次分析法-以旅游地选择为例,(3)最大特征根的近似值为：,2.幂法和根法,1.建立层次结构模型,四、层次分析的一般步骤,2.构造成对对比矩阵,3.对成对对比矩阵进行一致性检验,4.计算准则层对目标层的权重向量,5.计算方案层对准则层每个因素的权重向量,6.组合权重向量并进行一致性检验,层次分

13、析法的特点,四、层次分析的一般步骤,层次分析法：一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法将半定性、半定量问题转化为定量问题的行之有效的一种方法，使人们的思维过程层次化,层次分析法的特点,四、层次分析的一般步骤,用途：通过逐层比较多种关联因素为分析评估、决策、预测或控制事物的发展提供定量依据，它特别适用于那些难于完全用定量方法进行分析的复杂问题缺点：主观性,某军事院校现行住房分配方案采用“分档次加积分”的方法,其原则是:“按职级分档次，同档次的按任职时间先后排队分配住房,任职时间相同时再考虑其它条件(如工龄、爱人情况、职称、年龄大小等）适当加分，从高分到低分依次排队”,1.问题的提出,

14、五、案例分析:合理分配住房问题,我们认为这种分配方案仍存在不合理性。根据民意测验,百分之八十以上人认为相关条件为职级、任职时间(任副处时间)、工龄、职称、爱人情况、学历、年龄和奖励情况要解决的问题：,1.问题的提出,五、案例分析:合理分配住房问题,请你按职级分档次，在同档次中综合考虑相关各项条件给出一种适用于任意N人的合理分配住房方案用你的方案根据表中的40人情况给出排队次序，并分析说明你的方案较原方案的合理性,1.问题的提出,五、案例分析:合理分配住房问题,该问题是一半定量半定性、多因素的综合选优排序问题，是一个多目标决策问题，可以利用层次分析法对此作出决策鉴于原来的按任职时间先后排队的方案

15、可能已被一部分人所接受，从某种意义上讲也有一定的合理性,2.模型的分析,五、案例分析:合理分配住房问题,现在提出要充分体现重视人才、鼓励先进等政策，但也有必要照顾到原方案合理的方面，如任职时间、工作时间、年龄的因素应重点考虑.于是,可以认为相关的八项条件在解决这一问题中所起的作用是不同的,应有轻重缓急之分,2.模型的分析,五、案例分析:合理分配住房问题,假设八项条件所起的作用依次为任职时间、工作时间、职级、职称、爱人情况、学历、出生年月、奖励情况.这样能够符合大多数人的利益由上面的分析，首先将各项条件进行量化，为了区分各条件中的档次差异，确定量化原则如下：,2.模型的分析,五、案例分析:合理分

16、配住房问题,任职时间、工作时间、出生年月均按每月0.1分计算；职级差为1分,8级(处级)算2分,9级（副处级）算1分；职称每差一级1分,初级算1分,中级算2分,高级算3分；,2.模型的分析,五、案例分析:合理分配住房问题,学历每差一档差1分,中专算1分,大专、本科、硕士、博士、博士后分别算2、3、4、5、6分;爱人情况:院外算1分,院内职工算2分,院内干部算3分；对原奖励得分再加1分,2.模型的分析,五、案例分析:合理分配住房问题,2023/10/15,重庆文理学院 杨树成,49,49,2023年10月15日,（1）题中所述的相关的八项条件是合理的，有关人员均无异议；（2）八项条件在分房方案中

17、所起的作用依次为任职时间、工作时间、职级、职称、爱人情况、学历、出生年月、奖励情况；,3.模型的假设,五、案例分析:合理分配住房问题,（3）每个人的各项条件按统一原则均可量化，而且能够充分反映出每个人的实力；（4）在量化有关任职时间、工龄、年龄时，均计算到1998年5月,3.模型的假设,五、案例分析:合理分配住房问题,4.模型的建立与求解,五、案例分析:合理分配住房问题,（1）建立层次结构第一层为目标层(O)：综合选优排序；第二层为准则层(C)：相关条件，共有八个因素，依次为任职时间、工作时间、职级、职称、爱人情况、学历、出生年月、奖励情况，分别记为Ck(k=1,2,8)；,4.模型的建立与求

18、解,五、案例分析:合理分配住房问题,第三层为方案层(P)：N(2)个参评人员，依次记为Pn(n=1,2,N)层次结构图如下：,2023/10/15,重庆文理学院 杨树成,54,选优排序,C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,P1,P2,P3,P4,P38,P39,P40,4.模型的建立与求解,五、案例分析:合理分配住房问题,（2）确定准则层(C)对目标层(O)的权重根据假设（2），C层的八个因素是依次排列的，我们可以认为对决策目标的影响程度也是依次排列的，且相邻两个的影响程度之差可以认为基本相等,4.模型的建立与求解,五、案例分析:合理分配住房问题,这是8阶正互反矩阵，A的最大特征值

19、为l=8.28828，相应的特征向量作归一化有,4.模型的建立与求解,五、案例分析:合理分配住房问题,特征向量作归一化有,随机一致性指标RI1=1.41，则一致性指标，CI1=(l-8)/(8-1)=0.041183一致性比率指标CR1=CI1/RI1=0.0292080.1，于是W1作为C层对层O的权重向量,4.模型的建立与求解,五、案例分析:合理分配住房问题,（3）确定方案层(P)对准则层(C)的权重根据问题的条件和模型的假设，对每个人各项条件的量化指标能够充分反映出每个人的综合实力由此可以分别构造层P对准则Ck的比较矩阵特征向量作归一化有,4.模型的建立与求解,五、案例分析:合理分配住房

20、问题,显然，所有的Bk(k=1,8)均为一致阵，由一致阵的性质可知，Bk的最大特征值lmax(k)=N，CR2(k)=0.其任一列向量都是lmax(k)的特征向量，将其归一化可得P对Ck的权重向量，记作,4.模型的建立与求解,五、案例分析:合理分配住房问题,记,即为P层对C层的权重，且一致性比率指标为,4.模型的建立与求解,三、案例分析:合理分配住房问题,（4）确定方案层(P)对目标层(O)的组合权重W由于C对O的权重W1和P对C的权重W2，则P对O的权重为,4.模型的建立与求解,五、案例分析:合理分配住房问题,其组合一致性比率指标为CR=CR2+CR1=0.0292080.10，因此，组合权

21、重W可作为目标决策的依据,4.模型的建立与求解,五、案例分析:合理分配住房问题,（5）综合排序由于组合权重W=(w1,wN)中的wn(n=1,N)是参评人员Pn对目标层O的权重，即wn就表示参评人级Pn的综合实力指标，按其大小依次排序，就可以得到决策方案.,4.模型的建立与求解,五、案例分析:合理分配住房问题,取N=40.40个人的八项条件的量化指标如表1，则P层对C层的权重矩阵W2，其矩阵的每一列表示W2的一列向量W(k)，即P层对准则Ck(k=1,8)的权重向量,2023/10/15,重庆文理学院 杨树成,65,65,2023年10月15日,4.模型的建立与求解,五、案例分析:合理分配住房

22、问题,5.40人的排队方案:以W的40个分量作为40名参评人员的综合实力指标，按大小依次排序，结果如表3表3：40人的排序结果,4.模型的建立与求解,五、案例分析:合理分配住房问题,6.模型的结果分析,五、案例分析:合理分配住房问题,利用层次分析法给出了一种合理的分配方案，用此方案综合40人的相关条件得到了一个排序结果从结果来看，完全达到了问题的决策目标，也使得每个人的特长和优势都得到了充分的体现,6.模型的结果分析,五、案例分析:合理分配住房问题,既照顾到了任职早、工龄长、年龄大的人，又突出了职称高、学历高、受奖多的人，而且也考虑了双干部和双职工的利益每一个单项条件的优势都不是绝对的优势因此

23、，这种方案是合理的，符合绝大多数人的利益,6.模型的结果分析,五、案例分析:合理分配住房问题,譬如，P1在任职时间、工龄和年龄有绝对的优势，尽管其它条件稍弱，他仍然排在第一位P8与P3、P4、P5、P6、P7相比，虽然任职时间晚，工龄短，年龄小，但是，在职称、学历、爱人情况、奖励情况都具有较强的优势，因此，他排在第三位是应该的,6.模型的结果分析,五、案例分析:合理分配住房问题,类似情况还有P25、P32、P40等相反的，P4、P6、P9、P19较其他人的任职稍早、工龄稍长、年龄稍大，但其他条件明显的弱，因此，次序明显靠后也是应该的在多项条件相同时，只要有一项略强，就排在前面，如P35与P36，P38与P39等这些都是符合决策原则的,假设有20名队员准备参加竞赛，根据队员的能力和水平要选出18名优秀队员分别组成6个队，每个队3名队员去参加比赛。选择队员主要考虑的条件依次为有关学科成绩、智力水平、动手能力、写作能力、外语水平、协作能力和其它特长。每个队员的基本条件量化后如下表所示。问题：在20名队员中选择18名优秀队员参加竞赛.,五、案例分析:筛选队员,73,2023年10月15日,第一讲 小结,理解层次分析法的思想掌握判断矩阵的构造方法掌握判断矩阵一致性检验的方法掌握权向量的计算方法实验：将旅游地选择问题重做一遍！,