无穷积分的性质(北工大).ppt

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1、第二节 无穷积分的性质,一.无穷积分与级数,的敛散性都可归结为,形如 的无穷积分.,定理1 无穷积分 收敛,收敛于同一数，且,对任意数列 有,而 级数,证明,必要性,已知无穷积分收敛，即,充分性,已知对任意数列,而,时，,级数 收敛,于同一个数，,即它的部分和数列,收敛于同一个数。由海涅极限定理，无穷,积分 收敛，,收敛,令,证明,即证极限 存在.,已证 收敛.,且,无穷积分 收敛,与,有,二、无穷积分的性质,推论1 若无穷积分 收敛，则,积分 也收敛,其中 是常数,推论2 若无穷积分 收敛，,则无穷积分 也收敛。,定理3 若无穷积分 收敛,则无穷,无穷积分的运算定理,定理4 若无穷积分,与,

2、都收敛，则无穷积分,且,定理5(无穷积分的分步积分公式),极限,存在，且,则,也收敛，有,连续导数，,无穷积分 收敛，,无穷积分,若函数f(x)与g(x)在区间 存在,定理6(无穷积分的换元公式),连续，,收敛，且函数,在,则,严格增加，存在连续导数，而,若函数f(x)在区间,无穷积分,例1,求无穷积分,解,由定理5,有,有 或,即,例2,求无穷积分,例3 判断无穷积分 的是否收敛.,练习,1 求下列积分.,定理7 设,有,c是正常数。,收敛，则无穷积分,若无穷积分,也收敛;,三、无穷积分的敛散性判别法,发散，则无穷积分,2.若无穷积分,也发散.,证明,1）根据定理2，,有,由不等式,有,即无穷积分 收敛.,2）用反证法，根据1）可以得到矛盾。,则无穷积分,也收敛.,例4,判别无穷积分 的敛散性.,