数理统计CH1-概率分布.ppt

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1、2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,1,第1章 概率分布Probability Distribution,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,2,事件和概率：讨论描述随机现象及其统计规律的术语及概念、现象发生可能性的计量、相互关系和运算；随机变量及分布：讨论随机现象的确定性数学表达，相同条件、大量重复观测下随机变量所遵循的取值规律；数字特征：讨论分布特征的数字表达；大数定律：讨论重复试验次数对频率和均值观测稳定性的影响。,1 概率分布,本章内容,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,3,1.1 事件与概率Event and Probabili

2、ty,1 概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,4,自然界存在两种现象，确定性现象：一定条件下必然发生；随机性现象：一定条件下可能发生，但结果不止一个，哪个结果发生预先并不知道。随机现象虽然表现为不确定性，但在大量、相同条件重复试验下，其观测结果会呈现出某种特定的规律，称作随机现象的统计规律。比如，多次抛掷一枚均质硬币，正面朝上的频率接近0.5。,随机现象(Random Phenomenon),1.1 事件与概率,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,5,数理统计学就是研究大量的随机现象，但限定为一类特定的随机现象，即在相同条件重复试验下所能观测到的随

3、机现象。它研究随机现象的发生机制、统计规律和统计特征，研究解决工程实际问题的统计方法。,随机现象(Random Phenomenon),1.1 事件与概率,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,6,1.1.1 事件Random Event,1.1 事件与概率,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,7,满足下述三个条件的试验称为随机试验：（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定会出现哪一个结果。随机试验在统计学里可简称为试验。,事件,(1)随机试验(

4、Random Experiment),2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,8,事件,E1：一枚硬币抛一次，观察出现哪一面；E2：一枚硬币抛三次，观察正反面的排列；E3：一枚硬币抛三次，观察正面出现的次数；E4：一颗骰子抛一次，观察出现的点数；E5：在一批灯泡产品中，测定任一只的寿命；E6：在一批灯泡产品中，测定任一只的阻值。E7：在一超市里，观察每10分钟进来的人数；,(1)随机试验(Random Experiment),2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,9,广义地讲，对任何一个特定对象的随机抽查或观测，均可看作是随机试验。比如，多次抛一枚均质硬币是随机试

5、验，观测一个种族的身高、体重等是随机试验，观测某作物的株高是随机试验，观测条件近似动物对某种药物的生理反应是随机试验，小区测产是随机试验，等等。,事件,(1)随机试验(Random Experiment),2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,10,事件,随机试验的每一个可能结果，称作基本事件（elementary event），亦称作简单事件（simple event），基本事件是描述随机试验不可能再分的事件。,(2)基本事件(Elementary Event),2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,11,事件,抛硬币试验，正面朝上是一个基本事件，反面朝上也是

6、一个基本事件。观测一个种族的身高状况，1.75米是一个基本事件，1.83米是一个基本事件，1.45米也是一个基本事件。小区测产，25.4kg是一个基本事件，26.7kg也是一个基本事件。花括弧括内容表达事件，常用于利用文字或表达式陈述事件的场合。,(2)基本事件(Elementary Event),2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,12,事件,由若干个基本事件组合而成的事件，称作复合事件（compound event），也称作复杂事件。通常所说的随机事件（random event）是基本事件和复合事件的统称，即可指基本事件又可指复合事件。,(3)复合事件(Compound

7、Event),2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,13,事件A=HHH,HHT,HTH,HTT表示“第一次出现的是正面”用t表示灯泡的使用寿命（h），则 事件B1=t1000表示“灯泡是次品”事件B2=t1000表示“灯泡是合格品”事件B3=t1500表示“灯泡是一级品”,事件,(3)复合事件(Compound Event),2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,14,事件,连续两次抛掷一枚硬币，均出现正面是一个复合事件，出现一正一反是一个复合事件，均出现反面也是一个复合事件。观测一个种族分区域的身高，平均1.77米、平均1.68米均是复合事件。小区测产，产量

8、在10kg20kg之间是一个复合事件，产量在20kg30kg之间也是一个复合事件。,(3)复合事件(Compound Event),2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,15,事件,每次试验中一定发生的事件称作必然事件（certain event），在任何一次试验中都不可能发生的事件称作不可能事件（impossible event）。随机事件简称作“事件”，而将不可能事件和必然事件视作随机事件的两个极端事件。,(4)必然事件与不可能事件(Certain and Impossible Event),2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,16,掷一枚均质硬币试验，出

9、现两个面之一是必然事件，两个面谁也不出现是不可能事件。小区测产，产量小于0kg是不可能事件，产量大于等于0kg是必然事件。,事件,(4)必然事件与不可能事件(Certain and Impossible Event),2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,17,我们称一个随机事件发生，当且仅当它所包含的一个基本事件在试验中出现,事件,考察抛一枚硬币的试验，事件 A=出现正面若试验结果为出现反面，则事件A未发生若试验结果为出现正面，则事件A发生考察小区测产的事件 A=产量大于10kg若试验结果为11.2kg，则事件A发生若试验结果为5.4kg，则事件A未发生,(5)事件发生(Ev

10、ent come about),2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,18,1.1.2 概率Probability,1.1 事件与概率,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,19,用于度量事件发生可能性大小的数值称作事件的概率（probability）。事件通常可用大写字母表示，如A、B等，相应的概率可用P(A)、P(B)等表示。,概率,(1)事件的概率,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,20,概率具有下述性质：设A为任一事件，则0P(A)1；对于必然事件，有P()=1；对于不可能事件，有P()=0。,概率,(2)概率的性质,2023/10/

11、14,王玉顺：数理统计01_概率分布,21,不可能事件P()=0，必然事件P()=1。但反过来不成立，因为概率只代表“可能性”的大小，可能性为0的事件不一定总不发生，可能性为1的事件不一定总是发生比如小区测产，事件产量是25kg的概率等于0，但它不一定总不发生；事件产量不是25kg的概率等于1，但它不一定总是发生,概率,(2)概率的性质,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,22,在相同的条件下进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A发生的次数nA 称为事件A发生的频数。比值nA/n 称为事件A发生的频率，并记成fn(A)，即,概率,(3)概率的统计定义,2023/10/14,

12、王玉顺：数理统计01_概率分布,23,历史上曾有几个著名的抛一枚均质硬币试验，试验者观测了抛掷次数、正面出现次数和正面出现频率等。结果发现，频率在0.5附近摆动，详见表1.1。试验重复次数愈大频率与0.5的偏差愈小，表现出向0.5稳定趋近的倾向，因此预测事件的概率为0.5。试验次数愈大，事件频率在某个定值两侧摆动的幅度愈小，称作事件频率具有稳定性。,概率,(3)概率的统计定义,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,24,251 249 256 253 251 246 2440.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.4880.002-0.002

13、0.012 0.006 0.002-0.008-0.012,nAfn(A),n=500时抛硬币试验,实 验 者 德摩根 蒲丰K 皮尔逊K 皮尔逊,n nH fn(H),2048 40401200024000,1061 2048 601912012,0.51810.50960.50160.5005,表1.1,概率,(3)概率的统计定义,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,25,概率,随试验次数n的增大，若事件A的频率fn(A)越来越幅度变小地在某一常数p两侧摆动，则称常数p为事件A的概率(probability)，记作P(A)=p。称此陈述为概率的统计定义。(statistic

14、al probability)。,(3)概率的统计定义,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,26,1.2 随机变量及分布Random Variable and Probability Distribution,1 概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,27,前面事件与概率的研究仅仅实现了随机现象及其关系的概念描述，远没有达到工程应用的程度，难于解决复杂多样的实际问题；引入人们熟悉的微积分实现随机现象的数值化定量分析，使能用计算机高效地处理工程实际的统计学问题；随机变量及其分布的理论和方法，实质上就是利用确定性数学方法研究和解决随机数学（统计学）问题。

15、,1.2 随机变量及分布,(1)随机现象定量分析的意义,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,28,实施某随机试验，若用实数变量X表示试验结果，则X的取值明确可知且不止一个，试验前并不知道X会取那个值，表征随机试验结果的实数变量X称作随机变量；X的值用实数x表示，即一次试验的结果，是所有可能试验结果中的一个，称x为X的观察值，简称观测(observation)；,(2)随机变量(Random Variable),1.2 随机变量及分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,29,由于随机变量X量化（数值化或数字化）表达了随机试验结果，因此它也具有随机试验的三个基

16、本特征：随机变量X可在相同条件下重复观测；随机变量X的所有可能值明确可知，并且不止一个；每次观测总是恰好获得X所有可能值中的一个，但观测前却不能肯定是哪一个。,1.2 随机变量及分布,(2)随机变量(Random Variable),2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,30,掷一枚均质硬币试验：样本空间1=H,T，随机变量表达该问题，以“X=1”表示正面向上的事件，以“X=0”表示反面向上的事件；掷一枚骰子试验：样本空间=1,2,3,4,5,6，随机变量表达该问题，以“X=1”表示出现1点的事件，“X=2”表示出现2点，以此类推；作物育种试验：以“X4.5”表示产量大于4.5

17、kg的事件，不等式表达一个基本事件的集合。,1.2 随机变量及分布,(3)随机事件(Random Event),2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,31,用随机变量X和某指定观测x可定义下述3种随机事件：,试验结果为x的事件：X=x试验结果小于或等于x的事件：Xx试验结果大于x的事件：Xx,1.2 随机变量及分布,(3)随机事件(Random Event),2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,32,概率分布是概率论的基本概念之一，它用函数和微积分描述随机变量取值的概率规律。考察随机变量X与某指定观测x的关系，用事件概率P(Xx)以及事件概率的变化速率P(Xx

18、)/1或dP(Xx)/dx描述概率分布；离散随机变量用求和函数描述概率分布；连续随机变量用积分函数描述概率分布。,1.2 随机变量及分布,(4)概率分布(Probability Distribution),2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,33,本节主要讨论下述几个问题：随机变量、随机变量的观测、事件、概率四者之间的关系；离散变量的分布函数和概率密度；连续变量的分布函数和概率密度；常见离散分布和连续分布；随机变量的标准化变换；正态分布的概率计算。,1.2 随机变量及分布,本节内容,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,34,离散变量的概率分布Discrete

19、 Variable and Probability Distribution,1.2 随机变量及分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,35,若随机变量X或事件X=x的所有可能取值为有限个或可列个，即取值存在间隔，则称X为离散随机变量(discrete variable)。比如，抛硬币试验取值0,1，播种穴粒数取值0,1,2,，以及其它“计数”类的随机变量。为便于数学处理，经常将随机变量的取值范围扩展到离散无穷域0,1,2,+，只不过取某些值的概率等于0。,离散变量的概率分布,(1)离散随机变量(Discrete Variable),2023/10/14,王玉顺：数理统计0

20、1_概率分布,36,离散随机变量用X表示，它的观察值用实数x表示，则离散变量随机试验中所发生的随机事件用等式表示：,离散变量的概率分布,(2)随机变量、观察值和随机事件,随机事件,观察值,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,37,观察值x按大小顺序分别记作xi，xixi-1，i=1,2,，则离散随机变量X的分布函数F(xi)定义如下：,分布函数亦称作概率累积函数Cumulative Distribution Function,(3)分布函数(Distribution Function),离散变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,38,事件X=x

21、i的概率记作pi=P(X=xi)。则离散随机变量X的概率密度f(xi)定义分布函数的变化率：,(4)概率密度(Probability Density),离散变量的概率分布,概率密度记为,离散变量的概率密度Probability Density亦称作概率函数Probability Function,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,39,概率密度表征离散随机变量取值x与取该值概率的函数关系，即描述按观测值大小顺序排列的概率分布规律。按定义，概率密度可理解为观察值的一个单位增量所对应的分布函数增量，或者发生事件离散随机变量X等于某指定观测x的概率。,离散变量的概率分布,(4)概

22、率密度(Probability Density),2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,40,概率密度可表示成如下的矩阵形式,矩阵的第1行为随机变量的观察值，第2行为事件X=xi的概率pi，矩阵元素上下对应。,离散变量的概率分布,(4)概率密度(Probability Density),2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,41,抛硬币试验,抛骰子试验,离散变量的概率分布,(4)概率密度(Probability Density),2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,42,所谓离散随机变量X的概率分布，就是指分布函数F(xi)和概率密度f(xi)

23、两个基本函数，它们提供了随机变量概率分布规律的完整信息。,(5)概率分布(Probability Distribution),离散变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,43,概率值非负：,全概率和等于1：,两极端事件的分布函数值：,(6)离散变量概率分布的性质,离散变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,44,若离散随机变量X的随机试验仅有两个可能结果，可将其表述为X=1和X=0两个事件，则X服从0-1分布。抛硬币试验，出现正面为1，出现反面为0种子发芽试验，发芽为1，不发芽为0杀虫剂试验，有效为1，无效为0田间播种出苗试验，出苗为

24、1，不出苗为0,(7)0-1分布(0-1 Distribution),离散变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,45,0-1分布概要：,(7)0-1分布(0-1 Distribution),离散变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,46,(7)0-1分布(0-1 Distribution),离散变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,47,遵循0-1分布规律的试验称作贝努利试验(binomial experiment)做n次贝努利试验称作n重贝努利试验n次抛硬币试验，统计正面出现的次数发芽试验，统计n

25、粒种子中发芽的种子个数杀虫剂试验，统计n条虫子中被灭杀虫口数播种试验，统计n粒种子中出苗的种子个数,(8)二项分布(Binomial Distribution),离散变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,48,设贝努里试验随机变量仅取0和1两个观察值，对于n重贝努里试验，若每次试验中事件=1发生的概率记为p，那么用以描述n次试验中事件=1发生次数的随机变量X可用随机变量系之和表示：,(8)二项分布(Binomial Distribution),离散变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,49,=1代表什么与我们所关心的问题有关,(8

26、)二项分布(Binomial Distribution),离散变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,50,随机变量系之和,服从参数为n,p的贝努利分布(binomial distribution)，亦称二项分布，记作XB(n,p)，其中0p1。二项分布的概率密度为：,(8)二项分布(Binomial Distribution),离散变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,51,Binomial分布概要：,(8)二项分布(Binomial Distribution),离散变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率

27、分布,52,(8)二项分布(Binomial Distribution),离散变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,53,(8)二项分布(Binomial Distribution),离散变量的概率分布,事件X=x的概率等于n个0-1积事件的条件概率,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,54,P=0.3,0.5,0.7,(8)二项分布(Binomial Distribution),离散变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,55,设Y=X/n，相当于X乘了一个常数1/n，它指n重贝努利试验中事件出现的频率。不难推论

28、，频率Y仍服从二项分布。即,(8)二项分布(Binomial Distribution),离散变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,56,二项分布是具有n重贝努里试验背景的一种重要分布当n=1时，二项分布转化成0-1分布。因此0-1分布可被视作二项分布的一个特例由于二项分布随机变量X是0-1分布随机变量的线性组合，因而X可被视作0-1总体抽样获得的统计量,(8)二项分布(Binomial Distribution),离散变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,57,观察某作物田间出苗状况，若每穴粒数相同，则沿播行单位长度上（当作小区

29、）的出苗数或出苗率服从泊松分布；对一个容器按等时间间隔（看作小区）观测细菌的存活数；公路交叉路口单位时间间隔内过往的汽车数；汽车站或理发馆单位时间间隔内到达的顾客数等均服从泊松分布。,(9)泊松分布(Poisson Distribution),离散变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,58,Poisson分布概要：,(9)泊松分布(Poisson Distribution),离散变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,59,以顾客去理发馆为例导出Poisson分布：设每人去理发馆的概率是p，则不去的概率是1-p；当顾客源容量n与理发

30、馆容量处于供需平衡状态时，有np=，且n愈大p愈小顾客是否去理发馆是n重贝努利试验，设去理发馆的人数为X，则人数为x的概率为,(9)泊松分布(Poisson Distribution),离散变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,60,顾客源容量n很大时则概率p很小，去理发馆人数X等于x的概率可用下述极限近似,(9)泊松分布(Poisson Distribution),离散变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,61,离散随机变量的概率分布,(9)泊松分布(Poisson Distribution),2023/10/14,王玉顺：数理

31、统计01_概率分布,62,分布函数,概率本质：,全概率和：,(9)泊松分布(Poisson Distribution),离散变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,63,连续变量的概率分布Continuous Variable and Probability Distribution,1.2 随机变量及分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,64,连续变量的概率分布,若随机变量X或事件Xx的中的临界观测x可在一定范围内连续(无缝、不间断)取值，即值域为(,+)或任意指定区间；或者说某区间内的所有数值都是随机试验的可能结果；则称X为连续随机变量(

32、Continuous Variable)小区产量在(10,65)内取值，是连续随机变量玉米株高在(135,195)内取值，是连续随机变量其它“计量”类变量也是连续随机变量。,(1)连续随机变量(Continuous Variable),2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,65,随机事件,随机事件,(2)随机变量、临界观察值与事件,临界观察值,连续变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,66,若X为一连续随机变量，x为任意实数，x+，则X的分布函数或概率累积函数F(x)定义为：,若将X看作数轴上的随机点，那么分布函数F(x)的直观意义就是随机点X落

33、在区间(,x)上的概率。定义域为整个数轴，值域在0,1上。,(3)分布函数(Distribution Function),连续变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,67,不可能事件：事件 的概率F()=0；必然事件：事件 的概率F(+)=1,概率本质：,单调非减：,(3)分布函数(Distribution Function),连续变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,68,连续随机变量的分布函数F(x)是事件的概率，是连续函数，其函数曲线呈现为“S”形。,(3)分布函数(Distribution Function),连续变量的概率

34、分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,69,设F(x)是随机变量X的分布函数，如果存在非负函数f(x)，即f(x)0，使对任意实数x有,则称f(x)为连续随机变量X的概率密度(probability density)或密度函数(density function)或分布密度(distribution density),(4)概率密度(Probability Density),连续变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,70,密度非负：,全概积分：,导数关系：,连续变量的概率分布,(4)概率密度(Probability Density),概率密度

35、是分布函数的变化速率,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,71,概率密度曲线与x轴所围面积等于1；分布函数F(x)值等于密度曲线f(x)、x轴和X=x直线三者所围区域的面积(图中阴影面积)。,连续变量的概率分布,(4)概率密度(Probability Density),2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,72,即随机变量X落在区间(x1,x2)上的概率，等于分布函数F(x)在该区间上的增量。由公式可知，X取任一定值 x1=x2=x的概率为0，这说明，虽然不可能事件的概率等于0，但反过来一个概率等于0的随机事件未必是不可能事件，这一特点是连续随机变量所特有的。

36、公式可用于连续随机变量的概率计算。,(5)区间事件的概率,连续变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,73,(5)区间事件的概率,连续变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,74,高斯(Carl Friedrich Gauss,17771855)发表于1809年的绕日天体运动的理论一书涉及了误差分布的确定问题；设某个物理量的真值为，它的n个独立测量值为x1,x2,xn，则可用最大似然法估计：,(6)正态分布(Normal Distribution),连续变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,75,高斯(

37、Carl Friedrich Gauss,17771855)认为n个独立测量值x1,x2,xn的算术平均是的合理估计，并证明误差概率密度仅在具有下面形式的条件下，的最大似然估计才是n个独立测量值的算术平均，亦即,(6)正态分布(Normal Distribution),连续变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,76,拉普拉斯(Laplace,1749-1827)根据他所发现的中心极限定理推论，若误差可看成许多量的叠加，误差理应有Gauss分布。这是历史上第一次提到所谓的“元误差学说”；元误差学说：误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成；1837年，海根(

38、G.Hagen)在一篇论文中正式提出元误差学说。他把误差设想成由数量很多的、独立同分布的“元误差”叠加而成。,(6)正态分布(Normal Distribution),连续变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,77,按照海根(G.Hagen)的元误差学说：,(6)正态分布(Normal Distribution),连续变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,78,玉米株高观测和频数、频率统计,(6)正态分布(Normal Distribution),连续变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,79,玉米

39、株高分布,(6)正态分布(Normal Distribution),连续变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,80,Normal分布概要：,(6)正态分布(Normal Distribution),连续变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,81,固定则概率密度曲线位置不变，曲线形状随的增大而峰值降低及两尾变粗和拉长,(6)正态分布(Normal Distribution),连续变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,82,固定则概率密度曲线形状不变，位置随 的增大而右平移,(6)正态分布(Normal

40、 Distribution),连续变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,83,分布函数形状是S型曲线,(6)正态分布(Normal Distribution),连续变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,84,分布函数与概率密度是积分关系,(6)正态分布(Normal Distribution),连续变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,85,对称性：概率密度曲线关于x=对称,极值点：x=是概率密度的唯一极值点，其极值为,曲线形状：愈大密度曲线中心愈右移 愈大密度曲线愈低矮肥胖 反之，愈小密度曲线中心

41、愈左移 愈小密度曲线愈高耸瘦峭,(6)正态分布(Normal Distribution),连续变量的概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,86,正态分布的概率计算Calculating the Probability based on Normal Distribution,1.2 随机变量及分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,87,正态分布的概率计算,标准正态概率密度,标准正态分布函数,若 XN(,2)，当=0和=1时，称X服从标准正态分布。为区分计，随机变量特别地记作Z，则ZN(0,1)，概率密度函数特别地记作，分布函数特别地记作。,(1)

42、标准正态分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,88,随机变量变换,分布函数变换,(2)正态随机变量的标准化变换,正态分布的概率计算,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,89,分布函数计算公式：,利用事件不等式的等价变换推导如下：,(3)正态变量分布函数的计算,正态分布的概率计算,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,90,区间事件概率计算公式：,(4)正态变量区间事件的概率计算,正态分布的概率计算,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,91,对称事件概率计算公式,(5)正态变量对称事件的概率计算,正态分布的概率计算,202

43、3/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,92,对立事件概率计算公式：,(6)正态变量对立事件的概率计算,正态分布的概率计算,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,93,示例：设ZN(0,1)，试计算：P(Z1.38)P(|Z|3),(7)标准正态变量的事件概率计算,正态分布的概率计算,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,94,利用分布函数定义和对称事件概率计算,(7)标准正态变量的事件概率计算,正态分布的概率计算,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,95,利用对立事件概率、分布函数定义计算,(7)标准正态变量的事件概率计算,正态分布的

44、概率计算,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,96,(7)标准正态变量的事件概率计算,绝对不等式展开区间事件概率分布函数定义对称事件概率,正态分布的概率计算,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,97,三个特殊区间事件及其概率在实际中很有用，应当熟记,(7)标准正态变量的事件概率计算,正态分布的概率计算,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,98,示例：设XN(3,9)，试计算P(X7.14)P(|X-3|6),(8)一般正态变量的事件概率计算,正态分布的概率计算,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,99,(8)一般正态变量的

45、事件概率计算,分布函数定义标准化变换对称事件概率,正态分布的概率计算,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,100,利用标准正态分布计算,(8)一般正态变量的事件概率计算,对立事件概率分布函数定义标准化变换,正态分布的概率计算,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,101,利用标准正态计算,(8)一般正态变量的事件概率计算,不等式变换标准化变换区间事件概率对称事件概率,正态分布的概率计算,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,102,利用标准正态分布计算,(8)一般正态变量的事件概率计算,对立事件概率不等式变换标准化变换区间事件概率对称事件概率,

46、正态分布的概率计算,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,103,(9)计算X落入k区间的概率,示例：,正态分布的概率计算,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,104,利用标准化变换、区间事件概率、标准正态分布函数和对称事件概率推导算式,正态分布的概率计算,(9)计算X落入k区间的概率,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,105,正态分布的概率计算,(9)计算X落入k区间的概率,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,106,正态分布的概率计算,(9)计算X落入k区间的概率,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,

47、107,正态分布的概率计算,(9)计算X落入k区间的概率,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,108,三个特殊区间事件及其概率在实际中很有用，应当熟记,正态分布的概率计算,(9)计算X落入k区间的概率,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,109,(10)概率0.95和0.99对应的中心区间,示例：,正态分布的概率计算,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,110,正态分布的概率计算,(10)概率0.95和0.99对应的中心区间,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,111,正态分布的概率计算,(10)概率0.95和0.99对应

48、的中心区间,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,112,二组特殊数据在实际中很有用，应当熟记。,一般正态分布概率0.95对应1.96区间概率0.99对应2.58区间,正态分布的概率计算,(10)概率0.95和0.99对应的中心区间,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,113,标准正态分布概率0.95对应01.96区间概率0.99对应02.58区间,二组特殊数据在实际中很有用，应当熟记。,正态分布的概率计算,(10)概率0.95和0.99对应的中心区间,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,114,1.3 数字特征Digital Charact

49、eristic,1 概率分布,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,115,随机变量的概率密度曲线可用中心、众数、分散、偏倚、峰凸、关联等特征描述，一个特征用一个数值表达就称作随机变量的数字特征(digital characteristic)。数字特征描述了随机变量观察值分布的集中位置、散布状况和偏倚程度等。数字特征由观察值和概率密度为元素构造，最重要的两个数字特征是期望和方差。,什么是数字特征？,1.3 随机变量的数字特征,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,116,期望：量度观察值分布的“重心”或“中心”方差：量度观察值分布的分散程度协方差：量度两变量观察

50、值的关联程度相关系数：量度两变量观察值的关联程度峰度：量度观察值分布密度相比正态分布的集聚程度偏度：量度观察值分布密度相比正态分布的偏倚程度,随机变量的主要数字特征,1.3 随机变量的数字特征,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,117,1.3.1 随机变量的矩Moment,1.3 随机变量的数字特征,2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,118,离散随机变量的k阶原点矩,质量面积密度,随机变量的矩,（1）k阶原点矩(k-order moment),2023/10/14,王玉顺：数理统计01_概率分布,119,随机变量的矩,（1）k阶原点矩(k-order m