数理方程-第1章第2章-研究生.ppt

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1、数学物理方程,长春理工大学 理学院 2014.09,基本内容,方程的建立与一般概念行波法固有值问题与特殊函数分离变量法积分变换法Green函数,需要的先修内容,高等数学：一元和多元微分学 积分学 常微分方程 无穷级数 广义积分 含参变量的广义积分,第一章 方程的建立与 方程的一般概念,第一节 方程的基本概念,定义：一个含有多元未知函数及其偏导数的方程，称为偏微分方程。一般形式：其中u 为多元未知函数，F是 以及u的有限个偏导数的已知函数。注意：在偏微分方程中可以不含未知函数u，但必须含有未知函数u的偏导数。,定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶数称为偏微分方程的阶。定义：如果一个偏微分

2、方程对于未知函数及其各阶偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称为线性偏微分方程。二阶线性偏微分方程的一般形式：,波动方程 热传导方程 位势方程,第二节二阶线性偏微分方程的分类,一、方程的分类 一般形式其中u(x,y)是未知函数，都是x,y的已知函数，且 不同时为零。称 为方程的判别式。,定义:(1)若在 处 称方程（1）在点 处为双曲型方程；(2)若在 处 称方程（1）在点 处为抛物型方程；(3)若在 处 称方程（1）在点 处为椭圆型方程。,例：波动方程 双曲型 热传导方程 抛物型 位势方程 椭圆型,二、方程的标准形式,定义：方程 分别称为 双曲型方程的第一标准形和第二标准形。方程 称为

3、抛物型方程的标准形。方程 称为椭圆型方程的标准形。,三、方程的化简,步骤：第一步：写出判别式，根据判别式判断方程的类型；第二步：根据方程（1）写如下方程 称为方程（1）的特征方程。方程（2）可分解为两个一次方程 称为特征方程，其解为特征线。设这两个特征线方程的特征线为令,第三步(1)当 时，令 以 为新变量，方程(1)化为标准形 其中A,B,C,D都是 的已知函数。(2)当 时，特征线 令 其中 是与 线性无关的任意函数，这样以 为新变量方程(1)化为标准形 其中A,B,C,D都是 的已知函数。(3)当 时，令 以 为新变量方程（1）化为标准形其中A,B,C,D都是 的已知函数。,第三节 经典

4、方程的导出,一、方程的建立1、弦振动方程（一维）；2、热传导方程（一维）；,弦的振动方程的导出,（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧）考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。设弦在xu平面内振动，在某一时刻t，弦的瞬时状态以给出，此时x点弦的位移为u(x,t).考察原长为dx的一小段弦（x,x+dx）.在振动时这小段弦的长度为,由于只考虑微小振动，略去，所以 即弦的长度变化忽略不计。而在弦上x及x+dx点弦的张力为 与x轴夹角为 用 表示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为。是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力大小为F(x,

5、t).,则根据牛顿第二定律，有 对微小振动，都很小，故 即 并且 的值不随时间变化，为常数。同样 都很小，有根据导数的几何意义:,这样方程变为则为一维波动方程。,第四节 定解条件与定解问题,1、几个概念泛定方程：描述一个物理过程的偏微分方程。初始条件：表示初始状态的条件。边界条件：描述边界上的约束情况的条件。定解条件：初始条件和边界条件的统称。2、初始条件：弦在初始条件的状态，这里指位移和速度,3、边界条件：弦在两端的状态，一般有三种。第一类边界条件（Dirichlet边界条件）：端点的位移变化。,第二类边界条件（Neumann边界条件）：端点所受的垂直于平衡位置外力的作用。第三类边界条件（R

6、obin边界条件）：端点的位移与所受外力的线性组合。4、定解问题泛定方程连同相应的定解条件组成一个定解问题。初值问题（Cauchy问题）：只有泛定方程和初始条件的定解问题。如：,边值问题：泛定方程+边界条件第一边值问题（Dirichlet 问题）；第二边值问题（Neumann问题）；第三边值问题（Robin问题）.混合问题：既有初始条件又有边界条件的定解问题,5、适定性概念定解问题的存在性、唯一性、稳定性统称为定解问题的适定性。如果一个定解问题的解存在、唯一且稳定，就称这个定解问题是适定的；否则，称这个定解问题是不适定的。注：定解问题的适定性问题不详细讨论,6、叠加原理,方程 叠加原理：若 L

7、 u1=f1 L u2=f2 则：L(au1+bu2)=af1+bf2（教材18页）,第二章 行波法,一维波动方程的定解问题,无界弦的自由振动,无界弦的强迫振动,半无界弦的自由振动,半无界弦的强迫振动,三维波动方程的定解问题,二维波动方程的定解问题,球对称情形,一般情形,球面平均法,行波法,降维法,有限弦的振动问题,第一节 定解问题,一、定义 1.我们把描述一个物理过程的偏微分方程称为泛定方程。2.一个过程中发生的具体条件称为定解条件。3.泛定方程带上适当的定解条件，就构成一个定解问题。4.用来表示初始状态的条件称为初始条件；用来描述边界上的约束情况的条件称为边界条件。注意：初始条件的个数与方

8、程中出现的未知函数u对时间变量t的导数的阶数有关。,二、定解问题,1.初值问题（Cauchy问题）只有泛定方程和初始条件的定解问题。2.边值问题 泛定方程加上边界条件的定解问题。注意：位势方程只有边值问题（位势方程与时间无关，所以不提初始条件）。3.混合问题 既有初始条件又有边界条件的定解问题。,第二节一维齐次波动方程的cauchy问题,一、DAlembert公式 考虑无界弦的自由振动（Cauchy问题即初值问题）解:(1)化标准形，然后求通解 故原方程化为,则(2)由初始条件确定F,G,解得 则称为DAlembert公式。,二、解的物理意义,说明 的物理意义。设 且考察对于固定时刻 只是自变

9、量x的函数。考虑时刻 由于,这说明弦上点x在时刻 的振幅和弦上点x+a在时刻 的振幅相同，或者说，弦上点x在时刻 的振幅在时刻 传到了x+a.由于此关系对弦上的全体点x都成立。这说明在时刻 时的波形 经过单位时刻以后，向右平移了 a，即 表示以速度a向右传播的行波称之为右行波。同样，称之为左行波。左右行波统称为行波。因此，解可以表示成左右行波的叠加。这种用左右行波叠加来构造解的方法，称为行波法。,三、依赖区域、影响区域和决定区域,波动是以一定的速度 a 向两个方向传播的。,如果在初始时刻 t0，扰动仅仅在有限区间,上存在，则经过时间 t 后，扰动传到的范围为,影响区域,定义：,上式所定义的区域

10、称为区间,的影响区域。,定义,区间,称为解在（x，t）的值的依赖区间。,从达朗贝尔公式中可以看出，u(x,t)仅仅依赖于,中的初始条件。,依赖区间,它是过（x，t）点，斜率分别为,的直线与 x 轴所截而得到,的区间（如右图）。,定义,区间,过,作斜率为,的直线,过,作斜率为,的直线,则 它们与区间,一起围成的三角形区域,中的任意一点(x,t)的依赖区间都落在区间,内，因此该三角区域称为决定区域。,四、其他cauchy问题举例,例1.解：特征方程 令 故有,所以定解问题的解为,例2.求解特征初值问题（Goursat问题）解：方程的通解为 当 时，当 时，且 故,练习1：,解：由达朗贝尔公式,练习

11、2：,解：,无界弦的强迫振动问题（A）解记为（B）解记为由叠加原理可知,第三节一维非齐次波动方程的cauchy 问题,问题（C）定理（齐次化定理）设 是问题（C）的解，则 是问题（B）的解。,解 特征方程为,特征曲线为,所以，做变换,则原方程可以变为,其中,是任意的二次连续可微函数.,于是，方程的通解为,第四节 三维波动方程的Cauchy问题,一、三维齐次波动方程的Cauchy问题 对一维波动方程的Cauchy问题的DAlembert公式,是初始位置f与初始速度g在以x为中心，以at为半径的区域x-at，x+at上的算术平均值。考虑f(x,y,z)和g(x,y,z)在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上的平均值,于是（*）问题的解为该公式称为poisson公式（球面均值法）其中 是以M(x,y,z)为中心，以r=at为半径的球面。,将公式在球坐标下化为累次积分球面 的方程为则有,故,例：解：,二、三维非齐次波动方程的cauchy问题,第五节 二维波动方程的cauchy问题,一、二维齐次波动方程（降维法）令,利用三维波动问题的poisson公式1)上、下半球面在坐标平面上的投影为 上、下半球面的面积元素相同,二、二维非齐次波动方程的cauchy问题,例：,物理意义,三维情形-惠更斯原理（无后效性现象）二维情形-波的弥散（后效现象）,