数据拟合和最佳平方逼近.ppt

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1、,1,结束,本章讨论如何用函数y(x)逼近函数f(x)时，使其整体误差达到最小整体误差有各种定义，其中常用的有误差的各种范数下面介绍有关的数学概念：,第一章 数据拟合和最佳平方逼近,1.1 拟合和逼近的概念,函数逼近是用较简单的函数y(x)近似代替函数f(x)如果函数是连续函数f(x)，通常就称为函数逼近，如果f(x)是一个离散的数表，则常称为数据拟合,2,结束,定义1.1 对离散的 和,称为f和g的内积这是我们已经知道的向量内积,对连续的f(x)和g(x)，有：,定义1.1*设,称,为f(x)和g(x)在a,b上的内积.,定义1.2 的范数定义,3,结束,定义1.2*f(x)Ca,b在a,b

2、上的范数定义为,其中最小二乘法则算法最简单也最常用，当f(x)是离散数据时，称为最小二乘拟合；当f(x)是连续函数时，称为最佳平方逼近,定义1.3 定义误差函数，若构造 y(x),使，称最小一乘法则；,使，称最小二乘法则；,使，称最佳一致逼近,4,结束,1.2 数据拟合,现寻求一个函数 y(x)来逼近数据 使其在节点 xi 处的整体误差能达到最小,设函数f(x)是一组数据,1.2.1 最小二乘函数拟合,定义1.4 对f(x)的一组数据，若存在函数,使,则称y(x)为f(x)在函数类m中的最小二乘逼近函数,定理1.1 最小二乘逼近函数存在且惟一,5,结束,证 记,由多元函数极值的必要条件有,定义

3、m+1元函数,则有方程组,其中,6,结束,称方程组(7.2)为正规方程(法方程，正则方程)，写成矩阵形式有,当 线性无关时，方程组(7.3)的系数的行列式不等于0，方程组有一组惟一的解,有,7,结束,由(7.2)式有,数据拟合的余项,8,结束,为不超过m次的多项式集合，此时,1.2.2 多项式拟合(例子),数据拟合最简单最常用的情况是用多项式函数作数据拟合.,记,9,结束,正规方程为,10,结束,有时也简记为,其中,求解此方程组就可得到最小二乘拟合多项式ym(x).,11,结束,利用最小二乘法求该组数据的多项式拟合曲线,例1.1 设有如下数据,解 将表中的数据点描绘在坐标纸上，可以看出这些点近

4、似为一条抛物线 故拟合曲线可取为,12,结束,xi yi xi2 xi3 xi4 xi yi xi 2yi,按如下表格计算比较方便,13,结束,拟合效果见图71,正规方程组为,解之得 a0=13.4597,a1=3.6053,a2=0.2676,二次多项式拟合曲线方程为,14,结束,例1.2 设有数据,求其拟合多项式,解：表格计算,xi yi xi2 xi3 xi4 xi yi xi 2yi,15,结束,(1)先求一次拟合多项式，正规方程为,解之有 a 0=0.8997,a 1=1.7078,拟合多项式为,平方误差,16,结束,(2)求二次拟合多项式，正规方程组为,解之得 a 0=1.0051

5、,a 1=0.8643,a 2=0.8435,平方误差,拟合曲线方程为,可见用 y2(x)作多项式拟合的曲线的效果已相当好.,17,结束,某些数据可作适当的变换，转化为线性拟合问题 如表所示,18,结束,1.3 最佳平方逼近,1.3.1 函数的最佳平方逼近,定义1.5 设，若存在,则称*是f(x)在中的最佳平方逼近函数.,与定理1.1类似，可以证明,使,定理1.2 f(x)在中的最佳平方逼近函数*存在且惟一,也有,19,结束,解之可得到，构造得到的,使,也有余项表达式,1.3.2 最佳平方逼近多项式,本章只讨论0,1区间上的最佳平方逼近多项式,对一般区间a,b上的函数f(x),可作变换,化为,再作逼近处理这样可减少积分运算,则,20,结束,此时，正规方程的系数矩阵为,这是一个Hilbert矩阵，可不作积分直接写出,21,结束,例1.4 求 在0,1上的一次和二次最佳平方逼近多项式,解,一次多项式逼近时,正规方程为,解之，有,最佳一次平方逼近多项式为,余项,22,结束,二次多项式逼近时,正规方程为,解之，有,最佳二次平方逼近多项式为,余项,23,结束,最佳一次平方逼近多项式的逼近效果图见图73，而最佳二次平方逼近多项式已基本与 的图象重合,