数据库系统概论第六章关系数据理论.ppt

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1、An Introduction to Database System,数据库系统概论An Introduction to Database System第六章 关系数据理论,An Introduction to Database System,第六章 关系数据理论,6.1 问题的提出6.2 规范化6.3 数据依赖的公理系统*6.4 模式的分解6.5 小结,An Introduction to Database System,6.1 问题的提出,关系数据库逻辑设计针对具体问题，如何构造一个适合于它的数据模式数据库逻辑设计的工具关系数据库的规范化理论,An Introduction to Data

2、base System,An Introduction to Database System,关系模式的优劣,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,结论1、不是所有的关系都一样好2、关系模式设计的好坏影响数据库的实用效率,An Introduction to Database System,问题的提出,一、概念回顾二、关系模式的形式化定义三、什么是数据依赖

3、四、关系模式的简化定义五、数据依赖对关系模式影响,An Introduction to Database System,一、概念回顾,关系：描述实体、属性、实体间的联系。从形式上看，它是一张二维表，是所涉及属性的笛卡尔积的一个子集。关系模式：用来定义关系。关系数据库：基于关系模型的数据库，利用关系来描述现实世界。从形式上看，它由一组关系组成。关系数据库的模式：定义这组关系的关系模式的全体。,An Introduction to Database System,二、关系模式的形式化定义,关系模式由五部分组成，即它是一个五元组：R(U,D,DOM,F),An Introduction to Dat

4、abase System,三、什么是数据依赖,1.完整性约束的表现形式限定属性取值范围：例如学生成绩必须在0-100之间定义属性值间的相互关连（主要体现于值的相等与否），这就是数据依赖，它是数据库模式设计的关键,2.数据依赖一个关系内部属性与属性之间的约束关系现实世界属性间相互联系的抽象数据内在的性质语义的体现,An Introduction to Database System,什么是数据依赖（续）,3.数据依赖的类型函数依赖（Functional Dependency，简记为FD）,.举例：学生关系学号值确定之后，姓名和所在系的值也被唯一的确定Sname=f(Sno),Sdept=f(Sn

5、o)Sno-Sname,Sno-Sdept,An Introduction to Database System,3.数据依赖的类型多值依赖（Multivalued Dependency，简记为MVD）,An Introduction to Database System,函数依赖的定义,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,四、关系模式的简化表示,关系模

6、式R（U,D,DOM,F）简化为一个三元组：R（U,F）当且仅当U上的一个关系r满足F时，r称为关系模式 R（U,F）的一个关系,An Introduction to Database System,五、数据依赖对关系模式的影响,例1建立一个描述学校教务的数据库：学生的学号（Sno）、所在系（Sdept）系主任姓名（Mname）、课程号（Cno）成绩（Grade）单一的关系模式：Student U Sno,Sdept,Mname,Cno,Grade,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,数据依

7、赖对关系模式的影响（续）,学校数据库的语义：一个系有若干学生，一个学生只属于一个系；一个系只有一名主任；一个学生可以选修多门课程，每门课程有若干学生选修；每个学生所学的每门课程都有一个成绩。,An Introduction to Database System,数据依赖对关系模式的影响（续）,属性组U上的一组函数依赖F：F Sno Sdept,Sdept Mname,(Sno,Cno)Grade,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,关系模式Student中存在的问题,数据冗余太大浪费大量的存

8、储空间 例：每一个系主任的姓名重复出现 更新异常（Update Anomalies）数据冗余，更新数据时，维护数据完整性代价大。例：某系更换系主任后，系统必须修改与该系学生有关的每一个元组,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,关系模式Student中存在的问题,插入异常（Insertion Anomalies）该插入的数据无法存入数据库 例，如果一个系刚成立，尚无学生，我们就无法把这个系及其系主任的信息存入数据库。删除异常（Deletion Anomalies）不该删除的数据不得不删例，如果

9、某个系的学生全部毕业了，我们在删除该系学生信息的同时，把这个系及其系主任的信息也丢掉了。,An Introduction to Database System,数据依赖对关系模式的影响（续）,结论：Student关系模式不是一个好的模式。“好”的模式：不会发生插入异常、删除异常、更新异常数据冗余应尽可能少,原因：由存在于模式中的某些数据依赖引起的,解决方法：通过分解关系模式来消除其中不合适的数据依赖,An Introduction to Database System,分解关系模式,把这个单一模式分成3个关系模式：S（Sno，Sdept，Sno Sdept）;SC（Sno，Cno，Grade，

10、（Sno，Cno）Grade）;DEPT（Sdept，Mname，Sdept Mname）;,An Introduction to Database System,第六章 关系数据理论,6.1 问题的提出6.2 规范化6.3 数据依赖的公理系统*6.4 模式的分解6.5 小结,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,6.2 规范化,规范化理论正是用来改造关系模式，通过分解关系模式来消除其中不合适的数据依赖，以解决插入异常、删除异常、更新异常和数据冗余问题。,An Introduction to

11、Database System,6.2 规范化,6.2.1 函数依赖6.2.2 码6.2.3 范式6.2.4 2NF6.2.5 3NF6.2.6 BCNF6.2.7 多值依赖6.2.8 4NF6.2.9 规范化小结,An Introduction to Database System,6.2.1 函数依赖,函数依赖平凡函数依赖与非平凡函数依赖完全函数依赖与部分函数依赖传递函数依赖,An Introduction to Database System,一、函数依赖,定义6.1 设R(U)是一个属性集U上的关系模式，X和Y是U的子集。若对于R(U)的任意一个可能的关系r，r中不可能存在两个元组在X

12、上的属性值相等，而在Y上的属性值不等，则称“X函数确定Y”或“Y函数依赖于X”，记作XY。,在任何时刻Student的关系实例中，不可能存在两个元组在Sno上的值相等，而在Sdept上的值不等,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,说明：,1.函数依赖不是指关系模式R的某个或某些关系实例满足的约束条件，而是指R的所有关系实例均要满足的约束条件。2.函数依赖是语义范畴的概念。只能根据数据的语义来确定函数依赖。例如“姓名年龄”这个函数依赖只有在不允许有同名人的条件下成立3.数据库设计者可以对现实世

13、界作强制的规定。例如：规定不允许同名人出现，函数依赖“姓名年龄”成立。所插入的元组必须满足规定的函数依赖，若发现有同名人存在，则拒绝装入该元组。,An Introduction to Database System,二、平凡函数依赖与非平凡函数依赖,在关系模式R(U)中，对于U的子集X和Y，如果XY，但Y X，则称XY是非平凡的函数依赖若XY，但Y X,则称XY是平凡的函数依赖,例：在关系SC(Sno,Cno,Grade)中，非平凡函数依赖：(Sno,Cno)Grade 平凡函数依赖：(Sno,Cno)Sno(Sno,Cno)Cno,An Introduction to Database Sy

14、stem,平凡函数依赖与非平凡函数依赖（续）,若XY，则X称为这个函数依赖的决定属性组，也称为决定因素（Determinant）。若XY，YX，则记作XY。若Y不函数依赖于X，则记作XY。,An Introduction to Database System,三、完全函数依赖与部分函数依赖,定义6.2 在R(U)中，如果XY，并且对于X的任何一个真子集X，都有X Y,则称Y对X完全函数依赖，记作 X F Y。若XY，但Y不完全函数依赖于X，则称Y对X部分函数依赖，记作X P Y。,An Introduction to Database System,四、传递函数依赖,定义6.3 在R(U)中，

15、如果XY，(Y X),YX YZ，则称Z对X传递函数依赖。记为：X Z 注:如果YX，即XY，则Z直接依赖于X。例:在关系Std(Sno,Sdept,Mname)中，有：Sno Sdept，Sdept Mname Mname传递函数依赖于Sno,传递,An Introduction to Database System,6.2 规范化,6.2.1 函数依赖6.2.2 码6.2.3 范式6.2.4 2NF6.2.5 3NF6.2.6 BCNF6.2.7 多值依赖6.2.8 4NF6.2.9 规范化小结,An Introduction to Database System,6.2.2 码,定义6.

16、4 设K为R中的属性或属性组合。若K U，则K称为R的侯选码（Candidate Key）。若候选码多于一个，则选定其中的一个做为主码（Primary Key）。,F,主属性与非主属性包含在任何一个候选码中的属性，称为主属性（Prime attribute）不包含在任何码中的属性称为非主属性（Nonprime attribute）或非码属性（Non-key attribute）全码整个属性组是码，称为全码（All-key）,An Introduction to Database System,码（续）,例2 关系模式S(Sno,Sdept,Sage)，单个属性Sno是码，SC（Sno，Cno，

17、Grade）中，（Sno，Cno）是码,例3 关系模式R（P，W，A）P：演奏者 W：作品 A：听众 一个演奏者可以演奏多个作品 某一作品可被多个演奏者演奏 听众可以欣赏不同演奏者的不同作品 码为(P，W，A)，即All-Key,An Introduction to Database System,外部码,定义6.5 关系模式 R 中属性或属性组X 并非 R的码，但 X 是另一个关系模式的码，则称 X 是R 的外部码（Foreign key）也称外码,如在SC（Sno，Cno，Grade）中，Sno不是码，但Sno是关系模式S（Sno，Sdept，Sage）的码，则Sno是关系模式SC的外部码

18、,主码与外部码一起提供了表示关系间联系的手段,An Introduction to Database System,6.2 规范化,6.2.1 函数依赖6.2.2 码6.2.3 范式6.2.4 2NF6.2.5 3NF6.2.6 BCNF6.2.7 多值依赖6.2.8 4NF6.2.9 规范化小结,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,6.2.3 范式,范式是符合某一种级别的关系模式的集合关系数据库中的关系必须满足一定的要求。满足不同程度要求的为不同范式,范式的种类：第一范式(1NF)第二范式

19、(2NF)第三范式(3NF)BC范式(BCNF)第四范式(4NF)第五范式(5NF),An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,6.2.3 范式,各种范式之间存在联系：某一关系模式R为第n范式，可简记为RnNF。一个低一级范式的关系模式，通过模式分解可以转换为若干个高一级范式的关系模式的集合，这种过程就叫规范化,An Introduction to Database System,6.2 规范化,6.2.1 函数依赖6.2.2 码6.2.3 范式6.2.4 2NF6.2.5 3NF6.2.6 BC

20、NF6.2.7 多值依赖6.2.8 4NF6.2.9 规范化小结,An Introduction to Database System,6.2.4 2NF,1NF的定义如果一个关系模式R的所有属性都是不可分的基本数据项，则R1NF。即，不允许如下表的存在：第一范式是对关系模式的最起码的要求。不满足第一范式的数据库模式不能称为关系数据库但是满足第一范式的关系模式并不一定是一个好的关系模式,An Introduction to Database System,2NF（续）,例4 关系模式 S-L-C(Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade)S1 计算机 中南楼 C1 90 S1 计算机

21、中南楼 C2 96 S2 电子 中北楼 C1 88Sloc为学生住处，假设每个系的学生住在同一个地方,An Introduction to Database System,2NF（续）,S-L-C的码为(Sno,Cno)S-L-C满足第一范式。非主属性Sdept和Sloc部分函数依赖于码(Sno,Cno),Sno,Cno,Grade,Sdept,Sloc,S-L-C,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,SLC不是一个好的关系模式,(1)插入异常假设Sno95102，SdeptIS，SlocN

22、的学生还未选课，因课程号是主属性，因此该学生的信息无法插入SLC。(2)删除异常 假定某个学生本来只选修了3号课程这一门课。现在因身体不适，他连3号课程也不选修了。因课程号是主属性，此操作将导致该学生信息的整个元组都要删除。,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,SLC不是一个好的关系模式,(3)数据冗余度大 如果一个学生选修了10门课程，那么他的Sdept和Sloc值就要重复存储了10次。(4)修改复杂 例如学生转系，在修改此学生元组的Sdept值的同时，还可能需要修改住处（Sloc）。如果

23、这个学生选修了K门课，则必须无遗漏地修改K个元组中全部Sdept、Sloc信息。,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,2NF,原因 Sdept、Sloc部分函数依赖于码。解决方法 SLC分解为两个关系模式，以消除这些部分函数依赖 SC（Sno，Cno，Grade）SL（Sno，Sdept，Sloc）,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,2NF,函数依赖图：,An Introduction

24、to Database System,2NF（续）,2NF的定义定义6.6 若R1NF，且每一个非主属性完全函数依赖于码（完全依赖于码，消除了部分依赖），则R2NF。例：S-L-C(Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade)1NF S-L-C(Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade)2NF SC（Sno，Cno，Grade）2NF S-L（Sno，Sdept，Sloc）2NF,An Introduction to Database System,2NF（续）,采用投影分解法将一个1NF的关系分解为多个2NF的关系，可以在一定程度上减轻原1NF关系中存在的插入异常、删除异常、数

25、据冗余度大、修改复杂等问题。将一个1NF关系分解为多个2NF的关系，并不能完全消除关系模式中的各种异常情况和数据冗余。,An Introduction to Database System,6.2 规范化,6.2.1 函数依赖6.2.2 码6.2.3 范式6.2.4 2NF6.2.5 3NF6.2.6 BCNF6.2.7 多值依赖6.2.8 4NF6.2.9 规范化小结,An Introduction to Database System,6.2.5 3NF,3NF的定义定义6.7 关系模式R 中若不存在这样的码X、属性组Y及非主属性Z（Z Y）,使得XY，YZ成立，Y X，则称R 3NF。若

26、R3NF，则每一个非主属性既不部分依赖于码也不传递依赖于码。,An Introduction to Database System,3NF（续）,数据冗余问题没有得到解决，原因是：SnoSdept SdeptSloc Sdept Sno 可得：Sno Sloc，即S-L中存在非主属性对码的传递函数依 赖，S-L 3NF,传递,例：2NF关系模式S-L(Sno,Sdept,Sloc)中 S1 计算机 中南楼 S2 计算机 中南楼 S3 计算机 中南楼 S4 计算机 中南楼,An Introduction to Database System,3NF（续）,函数依赖图：,An Introducti

27、on to Database System,3NF（续）,解决方法 采用投影分解法，把S-L分解为两个关系模式，以消除传递函数依赖：S-D（Sno，Sdept）D-L（Sdept，Sloc）S-D的码为Sno，D-L的码为Sdept。分解后的关系模式S-D与D-L中不再存在传递依赖,An Introduction to Database System,S-D的码为Sno，D-L的码为Sdept,An Introduction to Database System,3NF（续）,采用投影分解法将一个2NF的关系分解为多个3NF的关系，可以在一定程度上解决原2NF关系中存在的插入异常、删除异常、数

28、据冗余度大、修改复杂等问题。将一个2NF关系分解为多个3NF的关系后，仍然不能完全消除关系模式中的各种异常情况和数据冗余。,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,第三范式,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,6.2 规范化,6.2.1 函数依赖6.2.2 码6.2.3 范式6.2.4 2NF6.2.5 3NF6.2.6 BCNF6.2.7 多值依赖6.2.8 4NF6.2.9 规范化小结,A

29、n Introduction to Database System,第三范式还有问题吗？,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,6.2.6 BC范式（BCNF）,定义6.8 关系模式R1NF，若XY且Y X时X必含有码，则R BCNF。等价于：每一个决定属性因素都包含码,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,BCNF（续）,

30、例5 关系模式C（Cno，Cname，Pcno）C3NF(没有任何属性对Cno部分函数依赖或传递函数依赖)CBCNF(Cno是唯一的决定因素),例6 关系模式S（Sno，Sname，Sdept，Sage）假定S有两个码Sno，Sname S3NF S BCNF,An Introduction to Database System,BCNF（续）,例7关系模式SJP（S，J，P）中，S表示学生，学生 课程 名次。语义：每个学生可以选修多门课程，每个学生选修每门课程的成绩有一定的名次，每门课程中的每一名次只有一个学生。函数依赖：（S，J）P；(J，P）S（S，J）与（J，P）都可以作为候选码，属性

31、相交,An Introduction to Database System,BCNF（续）,An Introduction to Database System,6.2 规范化,6.2.1 函数依赖6.2.2 码6.2.3 范式6.2.4 2NF6.2.5 3NF6.2.6 BCNF6.2.7 多值依赖6.2.8 4NF6.2.9 规范化小结,An Introduction to Database System,6.2.7 多值依赖,例9 某一门课程由多个教师讲授，使用多本不同的参考书。多值依赖：对于一个属性值，另一个属性有多个值与其对应。而多值属性之间无关,An Introduction t

32、o Database System,多值依赖（续）,TeachingBCNFTeaching具有唯一候选码(C，T，B)，即全码,Teaching模式中存在的问题(1)数据冗余度大(2)插入操作复杂：(当某一个课程增加一名教员，必须插入多个元组)(3)删除操作复杂：(某一门课去掉一本参考书，必须删除多个元组)(4)修改操作复杂,存在多值依赖,An Introduction to Database System,多值依赖（续）,定义6.9 设R(U)是一个属性集U上的一个关系模式，X、Y和Z是U的子集，并且ZUXY。关系模式R(U)中多值依赖 XY成立，当且仅当对R(U)的任一关系r，给定的一对

33、（x，z）值，有一组Y的值，这组值仅仅决定于x值而与z值无关例 Teaching（C,T,B）对于C的每一个值，T有一组值与之对应，而不论B取何值,An Introduction to Database System,多值依赖（续）,多值依赖的另一个等价的形式化的定义：在R（U）的任一关系r中，如果存在元组t，s 使得tX=sX，那么就必然存在元组 w，v r，（w，v可以与s，t相同），使得wX=vX=tX，而wY=tY，wZ=sZ，vY=sY，vZ=tZ（即交换s，t元组的Y值所得的两个新元组必在r中），则Y多值依赖于X，记为XY。这里，X，Y是U的子集，Z=U-X-Y。,An Intro

34、duction to Database System,多值依赖（续）,平凡多值依赖和非平凡的多值依赖若XY，而Z，则称 XY为平凡的多值依赖否则称XY为非平凡的多值依赖,An Introduction to Database System,多值依赖（续）,例10关系模式WSC（W，S，C）W表示仓库，S表示保管员，C表示商品假设每个仓库有若干个保管员，有若干种商品 每个保管员保管所在的仓库的所有商品每种商品被所有保管员保管,An Introduction to Database System,多值依赖（续）,WS且WC,对于W的每一个值Wi，S有一个完整的集合与之对应而不问C取何值，故 WS。

35、用下图表示这种对应,此仓库工作的全部保管员,此仓库中存放的所有商品,An Introduction to Database System,多值依赖的性质,（1）多值依赖具有对称性若XY，则XZ，其中ZUXY（2）多值依赖具有传递性若XY，YZ，则XZ Y（3）函数依赖是多值依赖的特殊情况。若XY，则XY。（4）若XY，XZ，则XY Z。（5）若XY，XZ，则XYZ。（6）若XY，XZ，则XY-Z，XZ-Y。,An Introduction to Database System,多值依赖的问题和解决方法,用二维表表示,An Introduction to Database System,An I

36、ntroduction to Database System,6.2 规范化,6.2.1 函数依赖6.2.2 码6.2.3 范式6.2.4 2NF6.2.5 3NF6.2.6 BCNF6.2.7 多值依赖6.2.8 4NF6.2.9 规范化小结,An Introduction to Database System,6.2.8 4NF,定义6.10 关系模式R1NF，如果对于R的每个非平凡多值依赖XY（Y X），X都含有码，则R4NF。如果R 4NF，则R BCNF不允许有非平凡且非函数依赖的多值依赖允许的非平凡多值依赖是函数依赖,An Introduction to Database Syst

37、em,4NF（续）,例：Teaching(C,T,B)4NF 存在非平凡的多值依赖CT，且C不是码用投影分解法把Teaching分解为如下两个关系模式：CT(C,T)4NF CB(C,B)4NF CT，CB是平凡多值依赖,An Introduction to Database System,多值依赖与函数依赖的区别,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,多值依赖与函数依赖的区别,(1)有效性多值依赖的有效性与属性集的范围有关若XY在U上成立，则在W（X Y W U）上一定成立；反之则不然，即X

38、Y在W（W U）上成立，在U上并不一定成立多值依赖的定义中不仅涉及属性组 X和 Y，而且涉及U中其余属性Z。一般地，在R（U）上若有XY在W（W U）上成立，则称XY为R（U）的嵌入型多值依赖,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,多值依赖与函数依赖的区别,只要在R（U）的任何一个关系r中，元组在X和Y上的值满足定义6.l（函数依赖），则函数依赖XY在任何属性集W（X Y W U）上成立。,An Introduction to Database System,An Introduction t

39、o Database System,多值依赖与函数依赖的区别,(2)若函数依赖XY在R（U）上成立，则对于任何Y Y均有XY 成立多值依赖XY若在R(U)上成立，不能断言对于任何Y Y有XY 成立,An Introduction to Database System,关系的三分解性,An Introduction to Database System,联接依赖和第五范式,An Introduction to Database System,6.2 规范化,6.2.1 函数依赖6.2.2 码6.2.3 范式6.2.4 2NF6.2.5 3NF6.2.6 BCNF6.2.7 多值依赖6.2.8 4

40、NF6.2.9 规范化小结,An Introduction to Database System,6.2.9 规范化小结,关系数据库的规范化理论是数据库逻辑设计的工具目的：尽量消除插入、删除异常，修改复杂，数据冗余基本思想：逐步消除数据依赖中不合适的部分实质：概念的单一化,An Introduction to Database System,规范化小结（续）,关系模式规范化的基本步骤 1NF 函数 消除非主属性对码的部分函数依赖消除决定属性 2NF集非码的非平 消除非主属性对码的传递函数依赖凡函数依赖 3NF 消除主属性对码的部分和传递函数依赖 BCNF 依赖 消除非平凡且非函数依赖的多值依赖

41、 4NF规范化的实质：“一事一地”，让一个关系只描述一个实体或联系，使关系单一化，以利于处理简单化。,An Introduction to Database System,规范化小结（续）,不能说规范化程度越高的关系模式就越好在设计数据库模式结构时，必须对现实世界的实际情况和用户应用需求作进一步分析，确定一个合适的、能够反映现实世界的模式上面的规范化步骤可以在其中任何一步终止,An Introduction to Database System,范式对数据库应用系统开发的作用,需 求 分 析,概念结构设计,逻辑机构设计,数据库物理设计,数据库实施,数据库运行维护,实体、对象、联系，了解工作过程

42、,语义对象、E-R图,R(A1,A2An)UF=A1-A2A1-An,规范化，构造好的关系模式,An Introduction to Database System,模式研究,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,第六章 关系数据理论,6.1 问题的提出6.2 规范化6.3 数据依赖的公理系统*6.4 模式的分解6.5 小结,An Introduction to Database System,6.3 数据依赖的公理系统,逻

43、辑蕴含定义6.11 对于满足一组函数依赖 F 的关系模式R，其任何一个关系r，若函数依赖XY都成立,（即r中任意两元组t，s，若tX=sX，则tY=sY），则称F逻辑蕴含X Y,An Introduction to Database System,1.Armstrong公理系统,关系模式R 来说有以下的推理规则：A1.自反律（Reflexivity）：若Y X U，则X Y为F所蕴含。A2.增广律（Augmentation）：若XY为F所蕴含，且Z U，则XZYZ为F所蕴含。A3.传递律（Transitivity）：若XY及YZ为F所蕴含，则XZ为F所蕴含。,An Introduction t

44、o Database System,定理 6.1 Armstrong推理规则是正确的,（l）自反律:若Y X U，则X Y为F所蕴含 证:设Y X U 对R 的任一关系r中的任意两个元组t，s：若tX=sX，由于Y X，有ty=sy，所以XY成立，自反律得证,An Introduction to Database System,定理 6.l Armstrong推理规则是正确的（续）,(2)增广律:若XY为F所蕴含，且Z U，则XZYZ 为F所蕴含。证：设XY为F所蕴含，且Z U。设R 的任一关系r中任意的两个元组t，s：若tXZ=sXZ，则有tX=sX和tZ=sZ；由XY，于是有tY=sY，所

45、以tYZ=sYZ，所以XZYZ为F所蕴含，增广律得证。,An Introduction to Database System,定理 6.l Armstrong推理规则是正确的（续）,(3)传递律：若XY及YZ为F所蕴含，则 XZ为 F所蕴含。证：设XY及YZ为F所蕴含。对R 的任一关系 r中的任意两个元组 t，s：若tX=sX，由于XY，有 tY=sY；再由YZ，有tZ=sZ，所以XZ为F所蕴含，传递律得证。,An Introduction to Database System,2.导出规则,1.根据A1，A2，A3这三条推理规则可以得到下面三条推理规则：合并规则：由XY，XZ，有XYZ。（A

46、2，A3）伪传递规则：由XY，WYZ，有XWZ。（A2，A3）分解规则：由XY及 ZY，有XZ。（A1，A3）,An Introduction to Database System,导出规则,2.根据合并规则和分解规则，可得引理6.1 引理6.l XA1 A2Ak成立的充分必要条件是XAi成立（i=l，2，k）,An Introduction to Database System,Armstrong公理系统,Armstrong公理系统是有效的、完备的有效性：由F出发根据Armstrong公理推导出来的每一个函数依赖一定在F+中；完备性：F+中的每一个函数依赖，必定可以由F出发根据Armstro

47、ng公理推导出来,An Introduction to Database System,3.函数依赖闭包,定义6.l2 在关系模式R中为F所逻辑蕴含的函数依赖的全体叫作 F的闭包，记为F+。定义6.13 设F为属性集U上的一组函数依赖，X U，XF+=A|XA能由F 根据Armstrong公理导出，XF+称为属性集X关于函数依赖集F 的闭包,An Introduction to Database System,F的闭包,F=XY,YZF+=X,Y,Z,XY,XZ,YZ,XYZ,XX,YY,ZZ,XYX,XZX,YZY,XYZX,XY,Y Z,XYY,XZY,YZZ,XYZY,XZ,YYZ,XY

48、Z,XZZ,YZYZ,XYZZ,XXY,XYXY,XZXY,XYZXY,XXZ,XYYZ,XZXZ,XYZYZ,XYZ,XYXZ,XZXY,XYZXZ,XZYZ,XYXYZ,XZXYZ,XYZXYZ F=XA1,XAn的闭包F+计算是一个NP完全问题,An Introduction to Database System,关于闭包的引理,引理6.2 设F为属性集U上的一组函数依赖，X，Y U，XY能 由F 根据Armstrong公理导出的充分必要条件是Y XF+用途 将判定XY是否能由F根据Armstrong公理导出的问题，转化为求出XF+、判定Y是否为XF+的子集的问题,An Introduc

49、tion to Database System,求闭包的算法,算法6.1 求属性集X（X U）关于U上的函数依赖集F 的闭包XF+输入：X，F输出：XF+步骤：（1）令X（0）=X，i=0（2）求B，这里B=A|(V)(W)(VWFV X（i）A W)；（3）X（i+1）=BX（i）（4）判断X（i+1）=X（i）吗?（5）若相等或X（i）=U,则X（i）就是XF+,算法终止。（6）若否，则 i=i+l，返回第（2）步。,An Introduction to Database System,算法6.1,对于算法6.1，令ai=|X（i）|，ai 形成一个步长大于1的严格递增的序列，序列的上界是

50、|U|，因此该算法最多|U|-|X|次循环就 会终止。,An Introduction to Database System,函数依赖闭包,例1 已知关系模式R，其中U=A，B，C，D，E；F=ABC，BD，CE，ECB，ACB。求（AB）F+。解 设X（0）=AB；(1)X（1）=ABCD=ABCD。(2)X（0）X（1）X（2）=X（1）BE=ABCDE。(3)X（2）=U，算法终止（AB）F+=ABCDE。,An Introduction to Database System,4.Armstrong公理系统的有效性与完备性,定理6.2 Armstrong公理系统是有效的、完备的 证明：1