数据分析方法及应用ab.ppt
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1、2023/10/14,数据分析方法及应用第十二章,吴建军Email:YF408Tel:51683970,2023/10/14,第十二章 平稳时间序列分析,2023/10/14,本章结构,12.1 方法性工具 12.2 ARMA模型 12.3 平稳序列建模12.4 序列预测,2023/10/14,12.1 方法性工具,差分运算延迟算子线性差分方程,2023/10/14,差分运算,一阶差分 阶差分 步差分,2023/10/14,延迟算子,延迟算子类似于一个时间指针,当前序列值乘以一个延迟算子,就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻 记B为延迟算子,有,2023/10/14,延迟算子的性质,,
2、其中,2023/10/14,用延迟算子表示差分运算,阶差分 步差分,2023/10/14,线性差分方程,线性差分方程齐次线性差分方程,10,对于非齐次线性差分方程解的问题,通常分下下列两个步骤进行:首先求出对应齐次线性差分方程的通解,然后再求出该非齐次线性差分方程的一个特解,即 满足:则非齐次线性差分方程 的解为对应齐次线性差分方程的解 和该非齐次线性差分方程的一个特解 之和,即,2023/10/14,齐次线性差分方程的解,特征方程特征方程的根称为特征根,记作齐次线性差分方程的通解不相等实数根场合有相等实根场合复根场合,2023/10/14,非齐次线性差分方程的解,非齐次线性差分方程的特解使得
3、非齐次线性差分方程成立的任意一个解非齐次线性差分方程的通解齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的特解之和,2023/10/14,12.2 ARMA模型的定义,ARMA模型全称为自回归移动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记ARMA),是由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)于70年代初提出的一著名时间序列预测方法,所以又称为box-jenkins模型、博克思-詹金斯法。其中ARMA(p,d,q)称为差分自回归移动平均模型,AR是自回归,p为自回归项;MA为移动平均,q为移动平均项数,d为时间序列成为平稳时所做的
4、差分次数。,2023/10/14,12.2 ARMA模型的基本思想,ARMA模型的基本思想是:将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为一个随机序列,用一定的数学模型来近似描述这个序列。这个模型一旦被识别后就可以从时间序列的过去值及现在值来预测未来值。现代统计方法、计量经济模型在某种程度上已经能够帮助企业对未来进行预测。,2023/10/14,12.2 ARMA模型的性质,AR模型(Auto Regression Model)MA模型(Moving Average Model)ARMA模型(Auto Regression Moving Average model),2023/10/14,AR模型
5、是一种线性预测,即已知N个数据,可由模型推出第N点前面或后面的数据(设推出P点),所以其本质类似于插值,其目的都是为了增加有效数据,只是AR模型是由N点递推,而插值是由两点(或少数几点)去推导多点,所以AR模型要比插值方法效果更好。,AR模型,2023/10/14,AR模型的定义,具有如下结构的模型称为 阶自回归模型,简记为特别当 时,称为中心化 模型,2023/10/14,AR(P)序列中心化变换,称 为 的中心化序列,令,2023/10/14,自回归系数多项式,引进延迟算子,中心化 模型又可以简记为 自回归系数多项式,2023/10/14,AR模型平稳性判别,判别原因AR模型是常用的平稳序
6、列的拟合模型之一,但并非所有的AR模型都是平稳的 判别方法单位根判别法平稳域判别法,2023/10/14,例12.1:考察如下四个模型的平稳性,2023/10/14,例12.1平稳序列时序图,2023/10/14,例12.1非平稳序列时序图,2023/10/14,AR模型平稳性判别方法,特征根判别AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆内根据特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性质,等价判别条件是该模型的自回归系数多项式的根都在单位圆外平稳域判别 平稳域,2023/10/14,AR(1)模型平稳条件,特征根平稳域,2023/10/14,AR(2)模型平稳条件,特征根,平稳域,20
7、23/10/14,例12.1平稳性判别,2023/10/14,平稳AR模型的统计性质,均值方差协方差自相关系数偏自相关系数,2023/10/14,均值,如果AR(p)模型满足平稳性条件,则有根据平稳序列均值为常数,且 为白噪声序列,有推导出,2023/10/14,Green函数定义,AR模型的传递形式其中系数 称为Green函数,2023/10/14,Green函数递推公式,原理方法待定系数法递推公式,2023/10/14,方差,平稳AR模型的传递形式两边求方差得,2023/10/14,例12.2:求平稳AR(1)模型的方差,平稳AR(1)模型的传递形式为Green函数为平稳AR(1)模型的方
8、差,2023/10/14,协方差函数,在平稳AR(p)模型两边同乘,再求期望根据得协方差函数的递推公式,2023/10/14,例12.3:求平稳AR(1)模型的协方差,递推公式平稳AR(1)模型的方差为协方差函数的递推公式为,2023/10/14,例12.4:求平稳AR(2)模型的协方差,平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为,2023/10/14,自相关系数,自相关系数的定义平稳AR(P)模型的自相关系数递推公式,2023/10/14,常用AR模型自相关系数递推公式,AR(1)模型AR(2)模型,2023/10/14,AR模型自相关系数的性质,拖尾性呈复指数衰减,2023/10/14,例1
9、2.5:考察如下AR模型的自相关图,2023/10/14,例12.5,自相关系数按复指数单调收敛到零,2023/10/14,例12.5:,2023/10/14,例12.5:,自相关系数呈现出“伪周期”性,2023/10/14,例12.5:,自相关系数不规则衰减,2023/10/14,偏自相关系数,定义 对于平稳AR(p)序列,所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量 的条件下,或者说,在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后,对 影响的相关度量。用数学语言描述就是,2023/10/14,偏自相关系数的计算,滞后k偏自相关系数实际上就等于k阶自回归模型第个k回归系数的值。,2023/
10、10/14,AR模型偏自相关系数的计算,2023/10/14,AR(1)偏自相关系数的计算,2023/10/14,AR(2)偏自相关系数的计算,2023/10/14,AR(2)偏自相关系数的计算,2023/10/14,偏自相关系数的截尾性,AR(p)模型偏自相关系数P阶截尾,2023/10/14,例12.5续:考察如下AR模型的偏自相关图,2023/10/14,例12.5,理论偏自相关系数,样本偏自相关图,2023/10/14,例12.5:,理论偏自相关系数,样本偏自相关图,2023/10/14,例12.5:,理论偏自相关系数,样本偏自相关图,2023/10/14,例12.5:,理论偏自相关系
11、数,样本偏自相关系数图,例3.2 设AR(2)模型:试判别 的平稳性。解:根据上述关于平稳条件的讨论,可以通过两种径进行讨论:,2023/10/14,MA模型的定义,具有如下结构的模型称为 阶自回归模型,简记为特别当 时,称为中心化 模型,2023/10/14,移动平均系数多项式,引进延迟算子,中心化 模型又可以简记为 阶移动平均系数多项式,2023/10/14,MA模型的统计性质,常数均值常数方差,2023/10/14,MA模型的统计性质,自协方差函数P阶拖尾,自相关系数P阶截尾,2023/10/14,常用MA模型的自相关系数,MA(1)模型,MA(2)模型,2023/10/14,MA模型的
12、统计性质,偏自相关系数拖尾,2023/10/14,例12.6:考察如下MA模型的相关性质,2023/10/14,MA模型的自相关系数截尾,2023/10/14,MA模型的自相关系数截尾,2023/10/14,MA模型的偏自相关系数拖尾,2023/10/14,MA模型的偏自相关系数拖尾,2023/10/14,MA模型的可逆性,MA模型自相关系数的不唯一性例12.6中不同的MA模型具有完全相同的自相关系数和偏自相关系数,2023/10/14,可逆的定义,可逆MA模型定义若一个MA模型能够表示称为收敛的AR模型形式,那么该MA模型称为可逆MA模型可逆概念的重要性一个自相关系数唯一对应一个可逆MA模型
13、。,2023/10/14,可逆MA(1)模型,2023/10/14,MA模型的可逆条件,MA(q)模型的可逆条件是:MA(q)模型的特征根都在单位圆内等价条件是移动平滑系数多项式的根都在单位圆外MA(q)模型的可逆概念和AR(p)模型的平稳概念是完全对偶的概念,2023/10/14,逆函数的递推公式,原理方法待定系数法递推公式,2023/10/14,例12.6续:考察如下MA模型的可逆性,2023/10/14,(1)(2),逆函数逆转形式,2023/10/14,(3)(4),逆函数逆转形式,2023/10/14,ARMA模型的定义,具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型,简记为特别当 时,称
14、为中心化 模型,2023/10/14,系数多项式,引进延迟算子,中心化 模型又可以简记为 阶自回归系数多项式 阶移动平均系数多项式,2023/10/14,平稳条件与可逆条件,ARMA(p,q)模型的平稳条件P阶自回归系数多项式 的根都在单位圆外即ARMA(p,q)模型的平稳性完全由其自回归部分的平稳性决定ARMA(p,q)模型的可逆条件q阶移动平均系数多项式 的根都在单位圆外即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移动平滑部分的可逆性决定,2023/10/14,传递形式与逆转形式,传递形式,逆转形式,2023/10/14,ARMA(p,q)模型的统计性质,均值协方差自相关系数,2023/10/
15、14,ARMA模型的相关性,自相关系数拖尾偏自相关系数拖尾,2023/10/14,例12.7:考察ARMA模型的相关性,拟合模型ARMA(1,1):并直观地考察该模型自相关系数和偏自相关系数的性质。,2023/10/14,自相关系数和偏自相关系数拖尾性,样本自相关图,样本偏自相关图,2023/10/14,ARMA模型相关性特征,2023/10/14,12.3平稳序列建模,建模步骤模型识别参数估计模型检验模型优化序列预测,2023/10/14,建模步骤,平稳非白噪声序列,计算样本相关系数,模型识别,参数估计,模型检验,模型优化,序列预测,Y,N,2023/10/14,计算样本相关系数,样本自相关
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