数学课堂教学有效分析景敏.ppt

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1、,数学课堂教学有效性分析 景 敏,学科知识与技能（三）梁立士,葫芦岛市初中数学教师学科专业素养“三级标准”培训,体验教学与对话教学,邹欣,初中部 梁立士,2009年8月26日,学科知识与技能（三）,葫芦岛市初中数学教师学科专业素养“三级标准”培训,学科知识与技能（三）,四个方面的内容：一、初中数学概念地图二、数学学科发展的历史与趋势三、用数学的眼光看问题四、数学方法论,一、初中数学概念地图,概念地图从设计过程上看，它是一种可视化的思维工具，是强有力的学习、助记策略，其构图方式符合人脑对信息处理的生理机制，能调动左、右脑半球共同参与活动，易刺激联想和创意的产生，能促进学生主动学习。,概念地图从设

2、计结果上看。它是、分层级梳理概念的知识导源图，类似大脑分层记忆的模板，展示概念之间的关联，揭示学习时新、旧知识整合的路线，有利于提高概念学习。因此，作为初中数学教师一定要掌握初中数学概念地图。,一、初中数学概念地图,一、初中数学概念地图,初中数学知识导航图：,第一部分 空间与图形“空间与图形”主要涉及图形的认识、图形与变换、图形与位置、图形与证明四个方面的内容。认识图形是解决几何问题的基础，要能从“面由体出”、“点动成线、线动成面、面动成体”体验到图形的特征，学会从不同的角度观察物体。了解图形，特别是平面图形的平移、旋转、对称等变换是最基本的变换。,一、初中数学概念地图,一、初中数学概念地图,

3、例：认识图形的概念地图,第二部分 数与代数“数与代数”主要内容为数与式、方程与方程组、不等式、函数及其图象四个方面的内容。数与式的运算，数的运算是基础，数轴是重要的工具，利用数轴可以直观领会相反数、决对值的意义，可以进行有理数的大小比较等。,一、初中数学概念地图,无论是方程还是方程组，最终都化归为一元一次方程、一元二次方程求解。不等式的基本性质是解不等的基础，解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程相同，但特别要注意的是，在不等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数时，一定要辨明所乘（或除）的数是正还是负。,一、初中数学概念地图,对于函数及其图象，其主要内容是平面直角坐标系的初步知识、函数的

4、概念、表示法及几种简单函数的初步介绍，在教学中要注意新旧知识的联系，做到知识融会贯通，提高学生综合运用知识的能力。,一、初中数学概念地图,例：实数概念地图,一、初中数学概念地图,第三部分 统计与概率 统计是一个包括数据的收集、整理、描述和分析的完整过程，这个过程中的每一步都包含着多种方法。统计的一般过程是：收集数据整理数据数据表示统计分析推断决策。,一、初中数学概念地图,获取数据的主要方式有做调查、做实验、查资料等。统计调查分全面调查和抽样调查，抽样调查要注意样本的代表性。用统计表表示数据资料，便于分析；用统计图表示数据，形象直观，数据特征一目了然。,一、初中数学概念地图,概率是研究随机事件发

5、生可能性大小的一门学科。必然事件和不可能事件发生的概率，以及事件发生的频率与概率之间的关系是学生学习的重点。用列表法、列举法、树状图法计算简单事件发生的概率，以及用实验或模拟实验的方法估计一些复杂事件发生的概率是学生研究概率的基本方法。,一、初中数学概念地图,一、初中数学概念地图,例：统计与概率的概念地图,中国的数学教育有自己的历史、文化背景和鲜明的民族特点。中国学生以其在数学奥林匹克竞赛以及国际数学教育评价中的优异测试成绩，表明了中国数学教育在国际教育界享有很好的声誉。但是，我们也有许多缺点需要克服。我们应当急起直追，用我们的努力，使中国数学教育在理论和实践上都能达到世界先进水平。,二、数学

6、学科发展的历史与趋势,1、中国传统文化对数学教育的影响（1）儒家文化的教育传统儒家文化的教育特征，可以概括为“苦读+考试”。中国古代的读书人为了读书，提倡“头悬梁、锥刺股”。读书的目的则是为了通过科举考试，博取功名。这种传统至今对数学教育有重大影响。具体说来有：,二、数学学科发展的历史与趋势,第一：儒家文化鼓励读书人“为今生今世建功立业而奋斗”，读书目的明确，有兴趣要学，没有兴趣也要学。读书的动力来源于现世功业，不寄托于“来世”。第二：家庭的严格管束。父母对子女的期望值很高，因而要求子女努力学习、“听老师的话”、遵守纪律、刻苦学习。,二、数学学科发展的历史与趋势,第三：传统教育强调背诵、模仿记

7、忆、“熟能生巧”。“熟读唐诗三百首，不会做诗也会吟”。大运动量的“数学练习”是考试成功的基础。第四：中国古代数学的“计算”传统。中国帝王称为“天子”，算学为天文历法服务。因此，计算为第一要事，而“推理、证明”则较少涉及。,二、数学学科发展的历史与趋势,二、数学学科发展的历史与趋势,（2）儒家文化本身的演绎特征 儒家文化的思想体系，从表面上看似乎不讲究逻辑推理和演绎论证，但就整体来看，思维方式是收敛的、封闭的、演绎的。与此相反，凡是涉及创造、探索和发现的发散思维层面，只要和经典论述有抵触，绝对不能允许。,二、数学学科发展的历史与趋势,儒家文化是一种注释文化。学者只能为圣人的话做“注解”，自己的学

8、术研究都是为了证明“圣人”的话是对的。这种思想体系不可避免地渗入中国知识分子的血液之中，在思想深处压抑着创造性，包括数学的创新精神。,二、数学学科发展的历史与趋势,（3）清代儒家“考据文化”为数学的逻辑推理提供了舞台 如果说儒家文化宏观上是一个收敛的演绎体系，那么18世纪中国的考据文化则体现了儒家的治学方法。清代学术之特色为考据学，这种考据到了独尊的程度，也就形成了一种文化。我们不妨称之为“考据文化”。考据文化使数学教育“重证据、讲推理”的特点得到充分发挥。,中国知识分子的“考据文化”传统，把西方数学中的“创新”层面“过滤掉”，只把“逻辑”层面留下，数学的创新则不可避免地被冷落了。胡适说：“大

9、胆假设，小心求证”，恐怕是大胆猜想不足，小心求证有余。数学上的创新想法得不到鼓励，一旦有小错，便被指责为“科学性错误”，一辈子抬不起头来。,二、数学学科发展的历史与趋势,二、数学学科发展的历史与趋势,（4）儒家的“科举考试制度”形成了考试文化 考试作为教育的指挥棒，古今中外都一样，但在中国更为突出。自公元587年实行科举制度以来，通过考试博取功名成为知识分子的惟一目标。明清两代的八股文考试，使教育的目标更加贴近“金榜题名时，洞房花烛夜”的人生追求。这种观念成为一种考试文化，一直影响到今天，数学教育自然也不能例外。,爱因斯坦在纽约州立大学的一次毕业典礼上，指出旧学校给学生太多的“好胜心”，而不注

10、意培养学生的“好奇心”。李政道教授在复旦大学演讲时说过，我们的传统总把学习称作“学问”，为什么你们老是在做“学答”?这些话都是针对考试文化的弊端而说的。,二、数学学科发展的历史与趋势,实际上，考试是一把双刃剑。选拔人才，公平的考试是不可缺少的，至少在今天还无法取代。中国的统一高考制度，在历史上起过重要作用，在今后一段时间里必定还会继续。统一考试的弊端是“千军万马过独木桥”，大家都做同样的题目，没有创造，没有个性。,二、数学学科发展的历史与趋势,2、国际数学教育的百年回顾 一百年前的数学教育是什么样子呢?欧几里得的几何原本仍然是一切教科书的蓝本。数学家庞卡莱曾经幽默地讽刺当时数学教育的失败：“教

11、室里，先生对学生说圆周是一定点到同一平面上等距离点的轨迹。学生们抄在笔记本上，可是谁也不明白圆周是什么。于是先生拿粉笔在黑板上画了一个圆圈，学生们立刻欢呼起来：啊!圆周就是圆圈啊，明白了!”庞卡莱指责的这种数学教育到处都有，现在也并未绝迹。,二、数学学科发展的历史与趋势,1901年，英国工程师皇家理科学院教授培利(Perry，18501920)，猛烈抨击英国的教育制度，反对“为培养一个数学家而毁灭数以百万人的数学精神。”他说：“我们再也没有欧几里得时代那样的空闲了。”培利主张“关心一般民众的数学教育”，取消欧几里得几何原本的统治地位，提倡“实验几何”，重视实际测量、近似计算、运用坐标纸画图、尽

12、早接触微积分。,二、数学学科发展的历史与趋势,1902年，以培利演说为中心内容的数学教学的讨论一书出版。20世纪初，以培利为代表的数学教育改革运动拉开了序幕。与培利改革相呼应，德国数学家克莱因(Klein，18491925)继续推动世界数学教育改革。早在1900年，他强调应用的重要性，建议在中学讲授微积分。,二、数学学科发展的历史与趋势,1904年，克莱因在哥廷根大学演讲，主张中学数学内容应以“函数概念”为中心。建议大学教师不仅要懂教育学，还必须注意数学教育的方法。1905年，由克莱因起草的数学教学要目在意大利米兰公布，世称米兰大纲，其要点是：,二、数学学科发展的历史与趋势,第一：教材的选择和

13、安排，应适应学生心理的自然发展。第二：融合各个数学学科，密切数学与其他学科的联系。第三：不过分强调形式的训练，应重视应用。第四：以函数思想和空间观察能力作为数学教学的基础。米兰大纲是一份向世界各国推荐的模范大纲，其指导思想贯穿于整个20世纪，至今仍然具有指导意义。,二、数学学科发展的历史与趋势,20世纪以来，国际数学家联合会是国际数学界惟一的权威组织。1908年在罗马举行国际数学家大会，决定建立国际数学教育委员会，简称ICMI。克莱因是本世纪初无可争辩的数学教育领袖，理所当然地被选为国际数学教育委员会的第一任主席，他担任这一职务直到1925年去世。,二、数学学科发展的历史与趋势,第二次世界大战

14、之后，各国普遍实行9一12年的义务教育制度，这是一项根本性的转变。如果说以前的数学教育只是为了培养少数的科学家，那么现在就必须面对全体民众，不能淘汰，不能留级，不能退学。以前的数学往往被作为筛子用于选拔人才，现在则必须把数学作为“泵”来提高大众的数学能力，于是“大众数学”的口号应运而生。,二、数学学科发展的历史与趋势,20世纪60年代，一项由国际政治触发的数学教育改革运动风靡全球。1957年，苏联的人造卫星早于美国上天，美国朝野震惊。1958年，美国国会通过国防教育法，要求政府和公众支持教育改革，用提高科学教育质量来保卫国防。大批的政府拨款和企业资助投向科学教育和数学教育，以布尔巴基为代表的数

15、学家积极参与其中。当时的思潮是，数学教材内容太陈旧，一大批新的数学教材在西方各国涌现，用“新数学”代替“旧数学”的改革运动席卷全世界。,二、数学学科发展的历史与趋势,即使处于封闭状态的中国，虽然和美国的数学教育改革没有直接关系，但于1960年在上海举行的中国数学会代表大会上，也提出“打倒欧几里得”的口号，编写的高中数学教材竟包含偏微分方程，力求实现数学教育内容的现代化。这场运动，世称“新数学”运动。新数学运动的指导思想是：,二、数学学科发展的历史与趋势,二、数学学科发展的历史与趋势,第一：增加现代数学内容，如集合、逻辑、群、环、域、向量和矩阵、微积分、概率论、二进制数系等等。第二：强调公理方法

16、，提倡“布尔巴基”的结构主义。第三：废弃欧几里得几何。第四：削减基本运算，用计算器代替基本的运算技能。第五：提倡发现教学方法，要求学生像数学家发现定理那样去学习数学。,经历了20世纪60年代和70年代，新数学运动最终以失败告终。学生无法接受大量的抽象而不切实际的数学。与此同时，基本训练大大削弱，学生不知道“2+2”等于几，因为被二进制数弄糊涂了。80年代，大多数新数学运动的教材都宣布失败，提出“回到基础”的口号，重新注意基本训练。与新数学运动差不多同时，第二次世界大战时中断的国际数学教育活动也恢复起来了，这一时期的世界数学教育领袖是弗赖登塔尔(Freudenthal，19051991)。,二、

17、数学学科发展的历史与趋势,弗赖登塔尔是荷兰数学家，他在研究数学之余，关注数学教育。他主张学习现实数学，提倡从学生的现实出发，注意数学学习心理学的研究。新数学运动风起云涌之际，弗赖登塔尔持激烈反对态度。后来的事实证明他是对的。1967年弗赖登塔尔当选为国际数学教育委员会主席，在他任职期间，做了两件影响深远的事。,二、数学学科发展的历史与趋势,第一：单独举行国际数学教育大会(ICME)。第一届国际数学教育大会，于1969年在法国里昂举行，从此数学教育成为国际性的研究领域。第二：提倡数学教育的科学研究。弗赖登塔尔认为数学教育研究应该和数学研究一样，应探讨数学教育的规律，提出新观点，增加新内容，努力在

18、前人研究的基础上有所前进。,二、数学学科发展的历史与趋势,另一位数学教育的领袖人物，当推波利亚(Polya，18871985)。他是匈牙利人，主要工作领域为泛函分析、组合数学、概率论等。波利亚在1944年发表怎样解题一书，先后被译成14种文字出版，在数学教育界影响巨大。以后又推出数学的发现、合情推理等一系列有关解数学题的理论，并用大量的例子加以解释，风行世界。20世纪80年代，美国数学教育界提出“数学问题解决”的口号，主张数学问题的解决应是数学教育的主要目标。至此，波利亚的解题理论更成为数学教育研究的热点。,二、数学学科发展的历史与趋势,进入21世纪后，数学教育的进步仍然是各国政府、社会团体以

19、及教育界关注的焦点。什么是“优质的”数学教育?答案是 优质数学教育=扎实基础+创新能力 西方文化关注学生个性的发展，如果陷入“放任自流”，则多数人会基础不牢。东方的文化强调“熟能生巧”，如果陷入“死背硬记”，则虽然掌握了一些基础，却不利于能力的创新发展。二者各在一个事物的两端。在2l世纪，这两种做法将会相互接近，找到动态的平衡点。,二、数学学科发展的历史与趋势,3、20世纪中国数学教育的变迁 中国古代的数学教育曾经相当发达。隋朝的国子寺置算学博士2人，算学助教2人，学生80人。唐宋时期的算学学校，高峰时定员为200人。明清以后，算学衰落。八股文取士，和算学无关。,二、数学学科发展的历史与趋势,

20、清末的中国传统算学，全靠私人授徒维持。1840年以后，传教士在中国的教会学校里宣讲西方数学，水平不高。1862年，京师同文馆专设天文算学馆，是为现代数学教育开始。1898年，京师大学堂成立，开设算学课。直到1906年，京师大学堂的代数学课本，仍然直排，用甲乙丙丁表示常数a、b、c、d，天地人元表示未知数x、y、z、w。至于在中国的基础教育中普设数学课程，完全采用西方数学体系，则是1911年辛亥革命以后的事了。,二、数学学科发展的历史与趋势,二、数学学科发展的历史与趋势,自1919年“五四”运动到1949年中华人民共和国成立，中国数学教育主要学习欧美，用英美教材。至于教学方法，还是传统的注入式，

21、教师讲，学生听。1949年之后，整个教育体系照搬苏联，数学教育也不例外。20世纪50年代数学教育的特点是：,第一：数学教学内容少而精。体系严密，重逻辑演绎。课程以函数为纲。第二：教学理念是以“教师为中心”、“知识传授为中心”、“课堂为中心”。第三：实行“组织教学导入新课讲授新课巩固练习布置作业”的5环节授课模式。第四：教学方法有讲授法、谈话法、课堂讨论等。,二、数学学科发展的历史与趋势,1963年，中国颁布了自己的教学大纲。在学习苏联的基础上，结合中国国情，提出“加强双基(基本知识、基本技能)”，发展学生的三大能力，即基本运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力。教学方法主张“精讲多练”，在“练”

22、中学。教学模式仍然沿用5环节，更多强调“启发式”，注意“课堂活跃”、“学生思维积极”。历史地看，当时的数学教学达到了新的高度，其中许多地方值得我们继承和发扬。,二、数学学科发展的历史与趋势,1966到1976的十年期间，数学教育的正常教学秩序受到破坏。数学课程缺乏系统性，以数学联系实际的名义，将几何分为“画线”、“制图”、“度量衡”等内容。社会动乱使得数学教学质量直线下降，当然其中也有一些群众的创造，如“三算结合”、“与工农业生产相结合”的数学内容等，局部上可以借鉴吸收。,二、数学学科发展的历史与趋势,1976年以后，数学教育进入新阶段。“拨乱反正”的口号，使得数学教育迅速回到1960年的轨道

23、上来，教学质量明显提高。高考恢复后，广大中小学生学习数学的积极性空前高涨，而考试也逐渐成为影响数学教学走向的决定因素。随着改革开放政策的实行，数学教育开始和西方国家交流，出现了一些新的数学教育思想和做法。,二、数学学科发展的历史与趋势,20世纪80年代的数学教育主要是恢复性的。一个不容回避的事实是高考乃至各种考试的制度、方法、内容，以前所未有的深度介入日常数学教学。考试文化是一把“双刃剑”，既能激励学生学习数学的动机，加强“双基”训练，提高解题能力，也使教学中因过度竞争而出现的弊端陆续显现。1990年之后，数学教育出现新的动向。,二、数学学科发展的历史与趋势,第一：国家提出素质教育的口号。数学

24、教学的研究课题是如何把素质教育的要求落实在课堂上。第二：九年义务教育制在全国实施。“大众数学教育”的观念逐步普及。第三：加强创新精神和动手能力的培养成为数学教学改革的指导思想。第四：实行新的数学教学大纲。微积分、概率内容再次进入中学数学课程。1999年始，国家拨款研制新世纪的国家课程标准，新的数学课程标准公布。,二、数学学科发展的历史与趋势,第五：计算机技术用于数学教学。多媒体手段普遍用于公开课教学。第六：高考实行改革。应用题、开放题、情景题陆续进入数学试卷，高考指挥棒发挥正面指挥作用。第七：奥林匹克数学竞赛走上更加健康的发展道路。一方面，在国际竞赛继续取得优秀成绩；另一方面在国内的竞赛使数学

25、优秀生得到锻炼，过度竞争有所“降温”。第八：数学教育研究空前活跃。,二、数学学科发展的历史与趋势,三、用数学的眼光看问题,数与形是世上万事万物的共同存在形式，因而专门反映数与形规律的数学，在现实世界中无所不在，无处不用。联系到这些数学实际，抽象的数学就具体化了，会使人兴趣盎然，数学不再枯燥和难学了。,提高初中学生学习数学的应用意识，并不是非要到工厂、农村去学数学，而是要求学生用数学知识去观察周围的实际情景，并进行分析和解释，这就要求我们初中数学教师首先要有用数学的意识，会用数学的眼光看问题。例：翻开天天使用的教科书的版权页，都写有：“开本7871092mm l16或开本850mm1168mm

26、l/32，这是什么意思？平时所说的8开纸和16开纸，以及32开纸的形状相似吗？,三、用数学的眼光看问题,三、用数学的眼光看问题,为了解答这个问题，可以给学生一张8开的纸，让学生沿纸的长边对折成16开，然后再对折成32开，通过测量纸的长和宽之比约：1，即1414，说明它们都是相似形。,三、用数学的眼光看问题,通过这个实际问题，让学生讨论造纸厂生产纸时，如何设计纸的大小为最优，并让学生用相似形的知识去解决这个问题。例：有一位学生期末数学成绩78分，全班共30人，有一个0分一个12分，一个60分，20个80分，5个90分，一个100分，全班平均分为76.7分，这位学生成绩超过平均分，结果他很得意，认

27、为是中上等学生，对吗？,三、用数学的眼光看问题,其实，他是全班倒数第四。这说明求平均数也有一定缺点。求平均数有某些实用价值，但有人却不大注意它的缺点。在学习中位数、众数、方差、标准差等概念中，可帮助学生理解怎样通过正确统计，从大量现象中反映总的水平与特征。,三、用数学的眼光看问题,几何概念是从生活中抽象出来的。有一个抽象化和理想化的特点。比如说平面，是一个不定义的基本概念，静的水面，玻璃面是对它的一个现实模型的描述，平面的性质是通过公理来确定的。例如公理l如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内，看似枯燥抽象，但在生活中有着大量的应用。,三、用数学的眼光看问题,

28、让学生观察周围的生活，如果玻璃板是新的，将直尺在玻璃板上竖起左右推动，则尺边和玻璃板面无空隙。但如果另一块玻璃有一个凹坑，用这种方法推动直尺时，则有空隙，说明这块玻璃板已经不平了，即直线上的所有点都在这个平面内不成立了。公理1反映了平面特有的性质，如果是球面用一根棍穿过去，只有两个交点，直线上其他点均不在球面上，说明球面不具有平面的公理1的特性。,建筑队师傅在做水泥地面时左右推动铲具，其实也应用了公理1这条原理。例3：有几个家庭要全家去某地旅游，他们同去A、B两个旅行社打听购票办法。这两个旅行社票价一样，但优惠办法不同，A旅行社优惠的办法是：全家有一人购全票，其余人半价优待；B旅行社是全家每人

29、按 的原价优待购票。你看哪个旅行社更优惠？,三、用数学的眼光看问题,应该让学生注意到：要考虑这几个家庭旅游人数不同时，对A、B两旅行社的选择也不会相同。我们可以设家庭人数为x，若两旅行社单人全票价为M元，A旅行社全家总票价为YA，B旅行社全家票价为YB；，则令yA=yB；，求出x值后，可知家庭人口为多少时，两旅行社收费相等，,三、用数学的眼光看问题,三、用数学的眼光看问题,即由此可知，当全家为3口人时，两家旅行社收费相等。其实，利用中学数学所学的函数知识，画一个图，可以使问题的研究更为明确：yA和yB；为两个一次函数，它们的图象为直线，如图所示。,三、用数学的眼光看问题,从图中可以看出，两直线

30、在x=3处相交，当x3时，A旅行社更优惠。因此选择旅行社时，要考虑家庭人数。,三、用数学的眼光看问题,四、数学方法论,1宏观的数学方法论与微观的数学方法论“数学方法论”现今对于我国数学界特别是数学教育界已不是一个陌生的名称，然而，大多数人却未必知道，这只是一个在中国学术界得到广泛应用的名词，或者说，这在很大程度上是一个由我国学者首先加以应用的名词。从有关的材料看，徐利治教授在1980年出版的浅谈数学方法论中首先采用了这样一个名词。,他写道：“数学方法论是研究数学中的发现、发明以及创造性活动的规律和方法。”，其后，在1983年问世的数学方法论选讲中，徐利治教授又给出了如下的定义：“数学方法论主要

31、是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。”,四、数学方法论,显然，与1980年的定义相比，后一定义包含了更加丰富的内容，徐利治教授还在数学方法论选讲中提出了关于“宏观的数学方法论”与“微观的数学方法论”的区别：关于数学发展规律的研究(如果撇开数学内在因素不提)属于宏观的数学方法论，关于数学思想方法以及对数学中的发现、发明与创新等法则的研究则属于微观的数学方法论。,四、数学方法论,在1987年出版的中国大百科全书中对数学方法给出了如下定义：“用数学语言表述事物的状态、关系和过程，并加以推导、演算和分析，以形成对问题的解释、判断和预言的方法。”事实上

32、，在不同的场合人们是以从两种现有区别又有密切联系的含义来运用“数学方法”这个词。,四、数学方法论,例如，工程师会把它理解为数学模型方法与计算方法；科学工作者会把它理解为描述客观规律，进行定量分析的工具；数学研究人员则常常把它与“单纯形方法”、“有限元方法”、“差分方法”、“优化方法”等专业方法有机联系；而数学教师又多半会把它看成是解题方法。,四、数学方法论,数学方法也可以分为四个层次：(1)数学发展和创新的方法；(2)运用数学理论研究和表述事物的内在联系和运动规律的方法；(3)具有一般意义的数学解题的方法；(4)特殊的数学解题方法。上述四个层次中数学发展和创新的方法应属宏观数学方法论的范畴，其

33、余三个层次均属微观数学方法论的范畴。,四、数学方法论,2研究数学方法论的意义和目的 数学上的发现、发明主要是方法上的创新。典型例子之一是伽罗瓦(EGalois)开创了置换群的研究，用群论方法才确立了代数方程的可解性理论，彻底解决了一般形式的代数方程根式解的这一难题；解析几何的创立实现了数形结合及其互相转化；对应的思想方法解决了无穷集元素“多少”的比较问题。,四、数学方法论,我们体会到，有了方法才获得了“钥匙”，数学的发展绝不仅仅是材料、事实、知识的积累和增加，而必须有新的思想方法的参与，才会有创新，才会有发现和发明。因此，从宏观意义上来说，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力。,四、数学方

34、法论,从数学的教学工作而言，数学方法论事实上是对我们的数学教师提出了更高的要求，即我们不仅应当注意具体的数学知识的传授，而且也应注意数学方法论方面的训练和培养。应当强调的是，在这两者之间存在着相辅相成的辩证关系。例如，只有注意数学思想方法的分析，我们才能把数学课讲活、讲懂、讲深。,四、数学方法论,所谓“讲活”就是让学生看到活生生的数学研究工作，而不是死的数学知识；所谓“讲懂”，就是让学生真正理解有关的数学内容，而不是囫囵吞枣、死记硬背；所谓“讲深”，则是指使学生不仅能掌握具体的数学知识，而且也能领会内在的思想方法。,四、数学方法论,从更为基本的意义上说，数学学习不仅仅是指具体的数学知识的学习，

35、而且也是指数学方法的学习。自觉地以数学方法论来指导数学学习，也可收到更好的学习效果。即使大多数学习者将来未必会用到任何超出中学水平的数学知识，但是数学的思想方法对他们仍有着十分广泛的指导意义。,四、数学方法论,另外，即使就未来的数学工作者而言，重要的问题显然也在于如何去作出新的创造，而所学到的具体数学知识只是为这种创造性工作提供了一个必要的基础。因此，我们从总体上说，应充分肯定数学方法论对于数学学习者的重要意义。,四、数学方法论,3数学方法的产生 数学方法起源于实践活动，它是伴随数学问题的解决而产生的。人类解决数学问题的实践主要有两方面：一是生产实践和社会实践；二是科学研究，特别是数学研究的实

36、践。由于生产实践、社会实践和数学发展本身的需要，人们提出了许多数学问题，这些数学问题或是一个个地被解决，在解决这些层出不穷的数学问题的过程中，绚丽多彩的数学方法就诞生了。,四、数学方法论,例如：哥尼斯堡七桥问题。一条小河从东普鲁士的小城镇哥尼斯堡市中心穿过，河中有小岛A和B，河上有七座桥连接这两个岛的两岸C、D(如图所示)。问一个人能否每座桥恰好经过一次，既无重复也无遗漏?,四、数学方法论,为了解决这个问题，欧拉并没有亲自到哥尼斯堡去，而是运用他的智慧，把问题作抽象化、数学化的处理：将两岸和小岛都缩成一点，将桥化为边、两个点之间有边连接，当且仅当这两点所代表的地区有桥相连接，于是这个问题就相当

37、于这个图(如图所示)能否一笔画成。,四、数学方法论,1736年，欧拉写了一篇名为哥尼斯堡的七座桥的文章，以否定的方式漂亮地解决了这个问题。在这篇文章里欧拉写道，如果从某一点出发，到某一点终止，全图可以一笔画出，那么中间每经过一点，总有画进那点去的一条线和从那点画出来的一条线，所以除了起点和终点这两点以外，图中的每个点都应该和偶数条线相连。然而，现在图形中的四个点都和奇数条线相连，这样，图形当然不可能一笔画出。,四、数学方法论,欧拉并没有满足于解答一个“哥尼斯堡七桥问题”，他继续钻研，终于发现了鉴别任何一个图形能否一笔画出的充要条件。这个定理被认为对图论的形成起了奠基作用。从上面的例子中可以看到

38、，作为18世纪的数学大师欧拉，是怎样在解决问题时，创造性地建立数学模型，运用类比、猜想、化归、演绎等数学方法，欧拉不仅出色地解决了这些问题，还丰富了数学方法宝库，为后人树立了不朽的典范。,四、数学方法论,4数学方法论的文化教育功能 数学作为一种文化，是教育的重要内容。从某种意义上说，数学教育就是数学文化教育。在第六届国际数学教育会议上，将数学文化教育列为大会的主题之一，这足以见得国际数学教育界对数学文化教育的重视。,四、数学方法论,(1)训练思维的功能 因为数学知识具有逻辑性，因此培养学生的逻辑思维能力通常是通过数学知识的学习进行的。而通过数学思想方法的学习，则主要是训练学生的创造性思维、批判

39、思维、科学研究的各种思维方法。,四、数学方法论,例如，“球体积公式”的教学，可以在方法论的观点下，对球体积公式的推导过程进行情景设计，让学生亲自经历发现过程，同时学到观察、实验、归纳、猜想等一套合情推理的方法。对底面半径和高都为R的圆锥、半球和圆柱，根据祖原理：,四、数学方法论,(2)美育功能 数学教育是美育的一条途径。徐利治教授指出：“数学教育与教学的目的之一，应当让学生获得对数学美的审美能力，从而既有利于激发他们对数学科学的爱好，也有助于增长他们的创造发明能力。”实际上数学为之努力的目标：将杂乱整理为有序，使经验升华为规律，寻求各种物质运动的简洁统一的数学表示等，都是数学美的体现，也是人类

40、对美感的追求。,四、数学方法论,这种追求对一个人精神世界的陶冶起着潜移默化的影响，而且往往是一种创新的动力。数学家对美的追求也是数学发展的动力之一，数学方法论包含研究数学美及数学发现中的美学方法，因此，数学方法论会对数学教育中的美育起重要作用。,四、数学方法论,数学美育是一种情感教育，而情感是不能强制的，要靠美的自身的魅力去唤起。数学美自身的魅力集中反映在：简单、统一、对称、奇异等审美原则。因此，数学教育中美育的途径主要是：从审美原则入手，以数学课程及其内容为载体，按数学方法论的思想挖掘其背后的美学思想、美学价值，以及培养学生的美感和审美思维。,四、数学方法论,(3)增长科学思想的功能 科学思

41、想主要是知识形态。它不同于物理知识、化学知识、生物知识、数学知识等专门的、特殊的知识，而是一般知识，属于知识的更深层次，因而更接近于智慧。它也不同于科学思维，科学思维是能力；但它又与科学思维有密切联系：思维总要有思维材料，包括已知的、未知的。未知的即思维对象、研究课题；己知的即主要是人的头脑中储存的科学思想。,四、数学方法论,随着科学数学化，越来越多的数学思想转化为一般的科学思想(科学理论思想、科学方法思想)。例如变量思想、极限思想等数学思想所揭示的辩证法思想，适应于现代科技与生活的一切领域，是一切现代社会成员都应具备的科学思想。在基础教育阶段，所有的人都要学习数学课程，并不只是因为他们都需要

42、解决具体的“数量关系和空间形式”，而是因为它们无一例外地需要吸收数学知识中蕴含着的数学思想。,四、数学方法论,(4)促进学生形成良好的数学认知结构的功能 现代认知心理学理论认为，数学学习是数学认知结构的组织与重新组织。所谓数学认证结果就是学生头脑里的数学知识按照自己理解的深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组成的一个具有内部规律的整体结构。学生的数学认知结构是学科数学知识结构在大脑中的内化(反映)，通过这种内化过程，学生头脑里形成了一个动态的数学知识系统。,四、数学方法论,学科数学知识是以公理化的形式展开和呈现的，学科数学知识也都具有公理化的结构。因此学习和掌握公理化

43、方法有利于学生理解数学知识之间的本质联系，掌握知识的整体结构，从而形成良好的数学知识认知结构。,四、数学方法论,谢谢大家,数学课堂教学有效性分析,辽宁省基础教育教研培训中心景 敏,内容提要,一、有效教学概述二、有效性教学的判据：课程目标再认识三、关注细节：课堂教学“问题行为”分析四、关注整体：课堂教学模式有效性分析,（一）描述性定义：把有效教学描述为“产生有效学习的教学”,促进学生的学习和发展是有效教学的根本目的，也是衡量教学有效性的唯一标准.极力调动学生学习的主动性、积极性和自觉性是有效教学的出发点和基础.提供和创造适宜的教学条件，促进学生形成有效的学习是有效教学的实质和核心.这一观点把学生

44、有无进步或发展作为教学是否有效的唯一标准，它对学生发展的内在需求给予了充分的重视.,一、有效教学概述,有效教学是教师通过教学过程的有效性，即符合教学规律，成功引起、维持和促进了学生的学习，相对有效地达到了预期教学效果的教学.,（二）湖南大学姚利民教授提出的“有效教学”的涵义,“教学过程有效性即符合教学规律和成功引起、维持、促进学生的学习”指教学的具体实施过程，是有效教学实现的条件；“教学效果”指学生的进步和发展；“预期教学效果”指学生的进步和发展吻合教育目标，符合特定社会和学生的教育需求；“相对有效地达到”指用尽可能少的教学投入获得尽可能多的教学产出.,（三）我的认识：,有效教学就是全面落实课

45、程目标的教学，即在现有教学组织形式（班级授课制）下，遵循课堂教学规律（学生个体认知规律和社会心理规律），全面落实教学目标的教学。所谓现有教学组织形式，指的是以班级为教学行政单位，不是一对一的个体辅导式教学组织形式。所谓遵循课堂教学规律，包括学生个体认知规律和群体认知活动中的规律。班级可以视为一个微型社会，其间所发生的人际关系对群体中的每一个体的认知活动都会产生重大影响，如何有效利用和挖掘群体对个体学习产生的积极影响，规避不良影响，是尊重课堂教学规律的重要方面。,科学地认识课堂教学全过程是实施有效教学的前提：1.教学设计的有效性（1）教学任务分析的有效性（2）教学程序设计的有效性2.实施设计的有

46、效性（1）讲解技能（2）演示技能（3）提问技能（4）活动组织技能,1.教学设计的有效性分析,（1）教学任务分析的成分教材分析学情分析教学目标分析教学方法选择教学手段选择注意：上述几个方面不是线性逻辑关系，相互牵连，相互制约，互为条件。,教材分析,1.分析所学知识与前后相关知识的逻辑联系，分析其对后续知识学习的影响，从而确定其地位和作用。2.分析本节课知识的形成发展过程，析取其中蕴含的数学思想方法和数学能力。这一点常常被教师忽视。3.通过上述分析，了解学习本节课内容应当具有的知识、经验，以及相应的认知能力等，为分析教学难点作准备。4.确定重点（知识、思想方法、学科能力）教学重点是所学内容在知识体

47、系中的作用，以及知识成发展过程中归纳出来的，不仅包括数学知识本身，还包括数学思想方法和重要的认知策略、数学能力等。,学情分析,1.把握学生认知和情感的阶段性特点。2.了解学生对学习本节课所需认知能力的现有认知水平（知识、技能、能力、方法等）。不同个体和群体的学生在这一方面存在很大差异。这是确定教学难点和教学方式方法的出发点。3.确定教学难点 通过把现有认知水平与教材分析中“应当具备的认知水平”进行比较，确定教学难点。,目标分析,知识与技能 达成过程的表述方法：通过-的过程，-达成水平的表述方法：ABCD思想方法（渗透与明晰）能力（逐步发展）情感（融合在认知过程的设计之中）达成过程的表述方法：通

48、过-的过程，-过程性目标与终结性目标相结合,教学方法解析,1.为目标服务 方法是为目标服务的。如果把信息传输作为主要目标，讲授或许是最要的方法；如果把能力培养作为目标，那么引导学生自主探究就是最好的方法选择；如果把情感发展放在首位，引导学生自主探索，深刻体验学习过程带来的成就感，独立探究与合作交流可能是最好的选择。2.经历知识生成发展的过程：教育研究表明，不论是完成那一种目标，经历知识的生成发展过程是有效达成目标的前提。知识生成过程必须经历：提供丰富、典型的素材或案例-分析解决问题-抽象概括出形式化的知识、思想方法-巩固训练 方法与目标相辅相成，目标需要相应的方法得以实现，方法限制目标的达成。

49、,教学手段分析,1.为目标和方法服务2.呈现素材或案例3.形象表达或说明，补充想象不足4.模拟实验,（2）教学程序设计有效分析,内容成分问题与情境（多数是带有情境的问题）教师行为预设 提出问题、组织活动、巡回辅导或启发学生行为预设 学生参与教学的基本行为方式：听讲、研讨、独立思考、展示汇报 估计学生课程出现的问题和应对策略，这是教师专业化向纵深发展的标志，即对学生认知规律的把握水平。设计意图（反思的逻辑起点）对上述任务和师生互动方式的目的进行解释。意图越清晰，反思质量越高。,教学环节解析,（1）组织教学。多样化；鼓舞士气；体现班级文化（2）复习提问 针对本节课的认知需要进行抽样调查：提供或激活

50、相关经验、知识、方法。复习提问应在作业分析的基础上展开。（3）新知识学习创设问题情境：要有助于感受学习必要性（注意问题情境丰富、典型、贴近学生经验），有助于提出数学任务，明确问题解决的方向。提出问题：发展学科能力阅读、信息筛选（抽象）、符号化（数学语言转化）分析问题寻找解决途径：发展学科能力分析、归纳、综合、判断数学解的合理性（数感）等结果呈现：表达能力,（4）巩固应用 注意问题的层次性、综合性、典型性。注意变式（5）教学小结 关注思想方法-通过对知识形成过程的反思归纳数学思想方法、数学认知策略，授人与渔（6）课外作业 层次性、综合性、典型性、变式等 作业量要针对不同学生不知不同数量的作业。针