数学的智力价值.ppt

《数学的智力价值.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学的智力价值.ppt（73页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、第3章 数学的智力价值和精神价值,韩龙淑制作,数学的智力价值和精神价值,教学目的：认识和体味数学的智力价值和精神价值，理解数学是思维的科学，探索数学思维的品质。内容要点：数学的智力价值，数学思维的品质；数学的理性精神、求实精神与创造精神。教学方法：启发式讲授、问答、发现、讨论等相结合 教学手段：多媒体教学授课时数：6课时,弗莱登塔尔对大学生做的测试画家中最伟大的诗人与诗人中最伟大的画家是否是同一个人？画家中最老的诗人与诗人中最老的画家是否是同一个人？若诗人中只有一个画家，画家中是否只有一个诗人？发现了智力(逻辑思维）和数学的关系,数学与理化生等实验科学的差别数学命题的正确性：证明、反例数学中也

2、需要实验，包括：实物实验：不等式与天平、异面直线与六角螺母模型实验：链接最短路径录像、三视图与模型思想实验：头脑中的实验：鸡兔同笼、同底数幂乘法法则。六根火柴摆四个三角形 我们并不反对让学生动手，但动手能力主要靠理化生物实验科学来培养，而数学应侧重培养动脑，培养智慧。数学是思维的科学。,3.1 数学的智力价值数学是思维的科学，对培养人的思维能力具有重要的价值。而思维力是智力的核心。数学具有重要的智力价值。,数学的智力价值智力因素：保证人们成功地进行认识活动的各种稳定心理特点的综合。人认识、理解事物和现象，运用知识、经验解决问题能力的总和。智力因素主要包括：观察力:有目的、计划地用感官认识现象的

3、能力注意力：心理活动对一定对象的指向和集中记忆力：事物在头脑中遗留的印迹的保持和再认思维力：人脑对事物的概括的、间接的反映想象力：对头脑中的表象加工形成新形象的能力,四个小圆分别表示注意力、观察力、记忆力、想象力，小圆交织的部分表示智力因素中的思维力，外围的大圆表示为非智力因素同智力因素交织在一起,图：智力因素与非智力因素的关系模式,一、数学中观察力的发展高斯计算1+2+3+1002129=2525=3436=5654=7377=,学习了两数差的平方公式后，引导学生研究如下问题98=（100-2）=9604998=（1000-2）=996004999.8=999.6000.497，997，.是

4、否有类似的规律呢？99，999，.规律又如何？呢？,一、数学中观察力的发展 门户,注意集中和指向问题（专家和新手的区别）专家形成问题的总体知觉、预见，而不是很快代入运算。上例例：把一块木板锯成两块，第一块的长度是整块的三分之二，但比第二块短四英尺，问木板在锯开前的长度是多少？牛羊船长年龄问题,二、数学中注意力的发展(警卫组织),例：解方程组 x+y+z=3 例题：若则x、y、z成等差数列（79年高考理科题）注意指向和注意分配（简单自然之法）问题的本质（初高中学生都可解）,三、数学中记忆力的发展：(仓库)数学中以机械记忆为辅、理解记忆为主(1)形象记忆法（马克思生日、3.14159、绝对值、和差

5、化积公式）我们知道，圆的周长与直径成正比，这个比值我们称为圆周率，并用希腊字母 表示。关于有很多有趣的事情比如我国古代就有谐音记忆圆周率前20几位的传说：,映射和娃娃小明总是能有一些让人意想不到的点子，这不，一开口就语出惊人：“呵呵，我觉得判断映射其实就像给小孩找睡袋。”小文和小伟都愣了：“啊？为什么？”“就说一一映射吧，就是让每个娃娃各进入一个睡袋。”小明边画图，边煞有介事地解释到。（见图1）小文和小伟相视笑了，决定轮番对其发问，来找漏洞。小文：“那多对一的情况又怎么解释呢？”（见图2）小明：“情况紧急时，可以几个娃娃共用一个睡袋啊。”,单值对应、处处对应,小伟：“那这种映射怎么解释？”（见

6、图3 小明:：“可以有多余的睡袋啊！”小伟：“那怎么说明这个不是映射呢？”（见图4）小明：“娃娃虽然可以共用睡袋，但绝对不可以没有睡袋，这样会冻坏的。”小文：“那你又怎么说明这种情况是错误的呢？”（图5）小明大笑：“太简单了！谁会残忍地将娃娃分为两半？”,(2)类比记忆:例题（不等式性质、分式、数列、正六边形）正六边形用处大，上弦中切下面割，左正右余中间1，对角线上互为倒，左右邻居找商数，阴影三角寻平方,(3)系统记忆：例题(台体公式、三角函数值)柱体：V=sh 锥体台体,数学中思维力的发展哥尼斯堡七桥问题：抽象分析火柴摆三角形（直观感知、动手操作思维）人的头发根数问题（直接数无法解决）据科学

7、家预测，人的头发根数不超过20万，太原市总人口为300多万，试说明太原市人口中至少有2人的头发根数一样多？一般化（多余20万人口的地区）一张纸对折30次的高度,请用6根火柴组成4个正三角形,一张报纸厚0.01厘米1.07210的9次，约为107200米。例国际象棋的故事：若造一个仓库高4米、宽10米，长度等于从地球到太阳的2倍，相当于当时全世界两千年生产的麦子。幂的增长速度相当惊人。一分钱与十万元的交易,数学中想象力的发展鸡兔同笼、算术题一只船从甲地到乙地，往返共用2小时，回来时是顺水，比逆水每小时多行8千米，第二小时比第一小时多行6千米，甲乙相距多少千米？,观察力-门户 注意力-警卫 记忆力

8、-仓库 思维力-核心 想象力-翅膀,智力因素,设有数列：2，7，15，26，40，57，求该数列的通项公式观察力、注意力、思维力、想象力、记忆力的协同作用,数学活动中智力因素综合发挥作用,观察力：深度、广度注意力：分配、指向、集中（重点内容）记忆力：组织、储备、提取思维力：分析、抽象、概括想象力：数量关系、图形图像、直观、空间观念：,32 数学思维及其品质,前面我们研究了数学的智力价值。思维是智力的核心。从此可看出学生解决数学问题能力的强弱在一定程度上取决于数学思维的水平。在数学学习中，教师希望自己的学生有较强的思维能力，学生也通过各种途径提高自己的思维能力。而思维能力的高低取决于人与人之间智

9、力的核心成份思维的差异即思维品质。,数学思维及其分类,思维是具有意识的人脑对客观事物的本质属性和内在规律的概括的、间接的反映。如我们常见刮风、下雨，这是对自然现象的感知觉，但如果要研究为什么会刮风、下雨，并把这些现象和吹气、扇扇子、玻璃窗上结水珠等现象联系起来，发现它们均是“空气对流”的表现或“水蒸汽遇冷后液化”的结果，这就是思维。,数学思维是人脑和数学对象(空间形式、数量关系、结构等)交互作用，并按一般思维规律认识数学内容的理性活动。如对三角形、平面、几何体、数列的认识。实质上是数学活动中的思维，既包含一般思维所具有的本质属性，又表现出自己的特性。,一、数学思维的特点,七桥、火柴问题1.数学

10、思维的间接性较强所谓间接性是指思维对客观事物的间接认识过程，思维需要对认识的初级阶段所提供的感知材料实施比较、分析、综合、抽象、概括与具体化等一系列思维加工手段，使认识达到揭示本质、抓住规律、预见发展进程的程度，这种以表象为基础，脱离了客观实体而间接认识客体的思维就是间接性。,同时由于数学的高度抽象性，使得思维的间接性更加突出。如对数列性质、导数、极限等的认识仅凭感知觉是难以认识其本质的，需通过思维反映事物的本质和规律。,2.数学思维的概括性较突出如对平行四边形的感知觉，只能看到颜色、大小、材料不同的四边形，而思维则是抽象出平行四边形的本质属性。概括性是指思维反映的往往不是个别事物的个别属性，

11、而是一类事物的共同的本质属性。不仅能认识个别事物的本质属性，而且能从这些个别事物的本质属性推广到同类事物的本质属性。,又如对数学性质的认识也是概括的结果。随着人类思维的发展，较高水平的概括不断出现，由具体的集合到数，由数到式，由式到函数，由函数到映射、极限、导数、积分等抽象程度越来越高，概括性也越来越强,3数学思维对数学语言的依附性思维和语言有密切的关系，因为不仅思维过程可依附语言完成，而且语言也是表达与交流思维成果的重要工具。数学语言是数学特有的形式符号体系，包括文字语言、符号语言、图形图表语言。依靠这种语言进行思维使思维在可见的形式下再现出来。通过数学语言，数学思维的结果可用简洁的形式表达

12、，另外通过数学语言能加速思维进程，省略认识过程中某些具体到抽象的过程。,等腰三角形的顶角平分线垂直于过顶点且平行于底边的直线。几何图形、函数图象,4数学思维有较强的目的性有目的地认识、理解事物和解决问题是人类思维的独特本能，也是思维的重要特征。思维的目的性突出地表现在人们有意识地和能动地认识并改造自然。,正如马克思所说，无论蜜蜂建造的蜂房多么精巧，它与人类建筑师的根本不同在于：人类建筑师在建筑一座房屋之前，这座房屋已经在他的观念中完成了。因此，人类思维具有明确的目的性，否则不可能发展到理性认识阶段，而只能产生一些感知觉。数学应用的广泛性使数学思维更具有目的性，数学思维突出地表现为提出问题、分析

13、问题、解决问题。加法、乘法、乘方的逆运算 五台山问题,5数学思维具有较强的逻辑性和抽象性从前面的研究可看出数学与逻辑思维存在一定的联系。逻辑性表现在，人们思考问题时一般遵循严格的逻辑顺序，在判断推理中有充足的逻辑依据，具有思维的逻辑性是人区别于动物的根本标志之一。代数符号抽象化、代数方法一般化的优势。逻辑运算、抽象推理,若用A表示空汽水瓶，B表示1瓶汽水中的汽水，且1(A+B)=1A+1B,1(A+B)=3A,10(A+B)=15B 则问题可还原为：若每3个空汽水瓶可换回一瓶汽水，则买10瓶汽水便可喝到15瓶汽水。若每m个空汽水瓶可换回n瓶汽水，则买p瓶汽水可喝到 瓶汽水；若要喝q瓶汽水，只需

14、买 瓶汽水即可。若给A、B赋于其他含义，又可得到别的结果。,二、数学思维的分类（标准不同，类不同）,直观行动思维，具体形象思维，抽象逻辑思维（思维过程凭借物或思维形态不同）再现性思维：是一般的思维活动，它的成份是思维者头脑中曾经有过的东西。创造性思维：是人类高级的思维活动，是指带有创见的思维，即通过独立思考，在揭示事物本质及其内在联系的基础上，可以产生出独特的、具有新颖性成份的思维。（思维的智力品质的不同）笛卡尔解析几何、欧拉一笔画、牛顿莱布尼兹微积分。,（思维过程的指向性不同）集中思维：调动各种信息，按照常规习惯寻求解决问题、整理知识或总结方法的思维方式，思维方向集中于同一方向。其特点是思路

15、集中，所有信息朝一个方向发展以产生新信息，数学学习中表现为严格按照定义、定理、公式、法则等，思维朝一个方向聚敛前进，使思维规范化。发散思维：是从同一来源材料探求不同答案的思维过程。即对已知信息进行多方向、多角度的思考，思维朝着各种可能方向发散，不局限于既定的模式，从不同角度寻求问题的各种可能途径。（1的各种表达式、花园问题等开放题）,（结论是否有明确的步骤或过程）分析思维：主要指以逻辑规则对事物按步就班地认识，对其过程和主体有清晰意识。直觉思维：是指人脑不受固定的逻辑规则的约束，对数学对象结构、关系的敏锐想象和迅速的判断(有时无严格的逻辑依据和中间推理过程)方程组,幻方问题,3.2.2 数学思

16、维的品质,一、数学思维的深刻性 数学思维的深刻性即指数学思维的深度，是指在分析、解决问题中，探究所研究问题的实质及问题间的相互联系，善于使用抽象概括，理解透彻、深刻，能从所研究的材料中揭示被掩盖着的某些个别特殊情况。能使知识和方法得到迁移，善于应用集中思维和分析思维是数学思维深刻性的重要表现。,曾经有研究人员做过这样的实验：把一群刚出生的小白鼠分成三组，让第一组的小白鼠不进行任何训练，只是让其吃饱睡好；让第二组的小白鼠进行简单机械的重复训练；第三组的小白鼠进行丰富多样的训练。这样训练一段时间后发现，第三组的小白鼠大脑皮质生长最快，脑容量最大，比其他两组的小白鼠大脑发育都要好；但令人震惊的是，第

17、二组小白鼠的大脑发育甚至比第一组的还要差，也就是说，进行简单机械的重复训练严重危害了大脑的发育，其危害甚至大于不进行任何训练.,数学思维的深刻性体现为：不仅记住词句符号而且能理解其实质联系的学习。一笔画问题数学理解（深刻性）,数学知识的学习不能建立在大量的机械练习之上，应建立在理解的基础上。贝尔实验:11岁儿童34人分为A、B、C三组，试验材料是一笔画图形，进行第1次实验。A组：告诉一笔画的规则并解释规则产生的理由B组：只告诉一笔画的规则不解释理由练习、后测：两组儿童的成绩没有差异，均能很好解决问题。,第2次实验A（12人）、B（10人）、C（12人）三组儿童都参加（C组被试未受过任何训练，没

18、有先前的知识）。提出新的任务要求1）判断所给图形哪些可以一笔画且终点要与起点重合？2）发现可以一笔画且起点与终点重合的图形的判断规则实验结果：A组（9人）胜任要求75%，B组（3人）胜任要求30%、C组（2人）胜任要求17%,1善于联想，提出问题如加法的逆运算是减法，同样乘法也只有一种逆运算除法，但为什么乘方却有两种逆运算开方和对数运算，对此问题的思考与解决即是数学思维深刻性的具体体现。2对问题(公式等应用的范围、等价形式理解深刻)进行引伸和推广：方程组、不等式例子例1：在圆上有动点P，圆内有一定点A(-2，0)，求线段AP中点的轨迹方程。,二、数学思维的广阔性,数学思维的广阔性是指思路宽广，

19、善于从多方向、多角度、多层次地进行探求的思维品质。在数学学习中常表现为放开思路联想、发散，寻求多种解决问题的方法。常表现为一题多解，一法多用，一题多变等。1的等式、开放题1多角度（不等式例题）2多方向（101名运动员淘汰制，电梯、旋笔刀、司马光）,三、数学思维的灵活性,其是指思维活动的灵活程度，具有超脱出习惯处理方法和界限的能力。在数学学习中主要表现为随着条件的变化迅速转化思考方向，不囿于固定程序和模式，数学思维灵活性和深刻性的结合常导致数学发明创造。两个视力健全的人有一个盲人弟弟，但这个盲人弟弟却没有视力健全的哥哥，六根火柴摆四个三角形需在空间考虑。喝汽水问题,例：一个渡船人必须运一只狼，一

20、只山羊和一担卷心菜过河，而且除他自身外，只能带一样东西过河，已知狼不能单独和山羊在一起，山羊又不能单独和卷心菜在一起，他该怎样处理？给出最简的渡船顺序。绳子自然打结问题,四、数学思维的独创性,数学思维的独创性是指思维活动的创新程度，表现为思考、解决问题新颖独特、别出心裁且有意义。如精神病院的病人思维确实和常人不一样，体现为新颖独特，但却无意义。这里的独创，不只是看创造的结果，主要看思维活动是否有创造性态度。发现定理的证明，例题的新颖解法，发现问题、引伸问题均是独创性的体现。发散思维和直觉思维较多地体现独创性。绳子自然打结问题,已知,设,五、数学思维的批判性,数学思维的批判性是指思维活动中独立分

21、析和批判的程度，在数学学习中表现为善于提出问题和发现问题，并提出独立的见解。对已有结论或他人意见不轻易盲从，有检查和评价的强烈倾向，善于提出疑问，及时发现错误、纠正错误。（反例或错解）思维批判性的反面是盲从性，常表现为轻易相信结论，不善于找出错误。消除盲从性可通过凡事用自己的头脑思考，有分析地接受，有分析地批判。,2=1?,（公说公有理，婆说婆有理）某工厂有100个工人，5个股东 年份 1997 1998 1999 工人工资 10万 12.5万 15万 股东利润 5万 7.5万 10万 试比较工人工资和股东利润增长幅度的大小.（学生画的图）学生缺乏自我保护的能力和批判性思维。因此要渗透明辨是非

22、，能长见识的数学思想，培养学生的数学观念和用数学的意识,六、数学思维的敏捷性,数学思维的敏捷性是指思维过程中的简缩性和快速、准确性。在数学学习中，思维的敏捷性主要表现为缩短运算环节和推理过程，直接得到结果。（三角方程例子）思维敏捷性的反面是迟钝性，表现为概括能力差，解题繁琐欠条理，不能及时再现思维所需的基础知识。数学思维的六个品质是彼此联系，密不可分的，且处于有机的统一体中。,例1：水池有甲、乙、丙、丁四根进水管，甲、乙、丙三管同时打开，12分钟可注满水池；乙、丙、丁三管同时打开，15分钟可注满水池；甲、丁两管同时打开，20分钟可注满水池，如果四管同时打开，需要多长时间可注满水池?,思考,例2

23、：abc=1，则,例3在四棱锥的四侧面中，直角三角形最多可能有()A1个；B2个；C3个；D4个把底面特殊化为矩形或正方形，侧棱特殊化为垂直于底面。则四个侧面均为Rt,应选D,3.3 数学的精神价值数学作为一种创造性活动，不断提高人类的精神境界，推动人类的精神文明。一、理性精神人们对外部客观世界与自身的一种理智的、根本的看法或态度。数学研究对象：不依人的意识而独立存在，抽象思维的产物。研究方法：逻辑的、理智的、定量的,欧几里德几何原本13卷如何对零散的几何事实和经验进行系统整理，使其成为一门学科。公设、公理、定义的基础上，推导出几何的内容。（理性思维）,几何学起源于古埃及，但为什么在古希腊得到辉煌的发展？,二、求实精神肯定命题证明否定命题反例（大边对大角）例1：费尔马数,经过68年瑞士数学家欧拉否定了猜想,提出问题：,的末位数是否为7？,求实精神：尊重事实、尊重科学、尊重规律、实事求是、不迷信、不盲从。例2：无理数发现的曲折历程三、创造精神数学是创造性活动的精神产物。数学新学科的产生（解析几何、微积分、概率、模糊数学等）数学概念的建立（无理数、虚数、极限等）数学原理的发明、发现（公式、定理、体系等）数学问题的解决（七桥问题、费尔马数）,数学的智力价值和精神价值数学的智力价值（5因素）数学思维及其品质（6品质）数学的精神价值理性精神求实精神创造精神,本章回顾,