数学模型及典型案例分析.ppt
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1、数学建模及典型案例分析,李志林,欧宜贵编著,化学工业出版社,广西民族大学数学与计算机科学学院,曹敦虔制作,目录,数学建模导言插值与拟合微分方程建模方法差分法建模计算机模拟层次分析法数据的统计描述与分析回归分析方法优化模型确定型时间序列预测法随机型时间序列预测法,数学建模及典型案例分析,1 数学建模导言,数学模型及其分类数学建模例子数学建模的基本方法和步骤,各种模型,各种模型,各种模型,各种模型,各种模型,各种模型,模型,这些模型都是人们为了一定目的,对客观事物的某一部分进行简化、抽象、提炼出来的原型替代物。,数学模型,什么是数学模型数学模型是人们为了认识客观对象在数量方面的特征、定量地分析对象
2、的内在规律、用数学的语言和符号去近似地刻画要研究的那一部分现象时,所得到的一个数学表述。例如在牛顿力学中的公式f=ma,s=vt.爱因斯坦的质能方程E=mc2.这些都是数学模型.数学建模就是建立数学模型的过程。,?,数学模型的分类,按应用领域分类:人口模型,环境模型、交通模型、生态模型按建模方法分类:初等模型、微分方程模型、差分方法模型、统计回归模型、数学规划模型按是否考虑随机因素分类:确定性模型和随机模型按变量的连续性分类:连续模型和离散模型按对对象内部规律了解程序分类:白箱模型、灰箱模型和黑箱模型按变量的基本关系分类:线性模型和非线性模型按是否考虑时间变化分类:静态模型和动态模型,示例1
3、鸭子过河,有只鸭子想游到河对岸的某个位置O,如果它的方向始终朝着目标O。求这只鸭子的游动曲线。,示例1 鸭子过河,模型假设假设河的两岸为平行直线,河宽为h;鸭子游水的速率为b,水流速率为a,均为常数;初始时鸭子的位置为A;鸭子游动的方向始终指向O.,示例1 鸭子过河,模型建立取O为坐标原点,河岸朝顺水方向为x轴,y轴指向对岸。关键是如何求出P点坐标(x,y)关于时刻t的表达式.,示例1 鸭子过河,t时刻鸭子本身的速度为河水速度为 所以合速度为,示例1 鸭子过河,即又由初始条件有(1.1)(1.2)就是所求问题的一个微分方程模型。,(1.2),(1.1),示例1 鸭子过河,模型求解数值解设时间步
4、长为t,则,(1.3),示例1 鸭子过河,当yi0时,说明鸭子已经到达河对岸,应停止计算.由(1.3)可以算出ti时刻鸭子的位置的近似值.,例如取a=1,b=2,h=10,t=0.3,则求得结果为,计算(1.3)的Matlab代码,示例1 鸭子过河,所求得的鸭子经过的路线如右图所示。思考:此方法所求得的结果为近似值,为什么?,示例1 鸭子过河,2.精确解由(1.1)(1.2)可以得到,(1.4),示例1 鸭子过河,(1.4)可以看成是另一种形式的微分方程模型.它是一个的常微分方程初值问题.求解它可以得到精确解,(1.5),求解方程(1.4)的Maple代码:assume(h0);sol:=ds
5、olve(D(x)(y)=-a*sqrt(x(y)2+y2)/(b*y)+x(y)/y,x(h)=0,x(y):simplify(allvalues(sol);,示例1 鸭子过河,进一步讨论如果ba,结果会怎么样?如果不要求鸭子一定要达到正对岸O,问鸭子以怎样的游动方向才能以最少的时间到达对岸?,建模过程总结,简化假设设定符号变量建立模型求解模型解的讨论及推广应用,数学建模的基本方法和步骤,基本方法机理分析测试分析,数学建模的基本方法和步骤,一般步骤问题分析模型假设模型建立模型求解模型检验和应用,数学建模的基本方法和步骤,假设、抽象、表达,求解,解释、翻译,验证、应用,简短精练、高度概括、准确
6、得体、恰如其分,数学建模论文写作,标题作者信息摘要关键词正文参考文献附录,姓名通信地址,使用什么方法解决什么问题得到什么结论,问题重述问题分析模型建立模型求解模型应用模型评价,列出你所参考的文献资料,较长的程序,不是很重要的推导过程、图表等,小结,本节主要介绍数学模型的基本概念、基本方法,并通过一个示例介绍数学建模的过程,最后简单介绍了数学建模论文写作的要点。,2 插值与拟合,插值与拟合是两种最常用的数据拟合和函数逼近的方法,插值与拟合,插值 拟合,插值,已知由g(x)(可能未知或非常复杂)产生的一批离散数据(xi,g(xi),且 x0 x1xn,在x0,xn内寻找一个相对简单的函数f(x),
7、使其满足f(xi)=g(xi),i=0,1,.,n,这个过程称为插值,f(x)称为插值函数,g(x)称为被插函数.,多项式插值,线性插值寻求直线方程f(x)=ax+b,满足解得,多项式插值,二次插值寻求二次函数方程f(x)=ax2+bx+c,满足,多项式插值,三次插值寻求三次函数方程f(x)=ax3+bx2+cx+d,满足,多项式插值,当插值数据点个数为n+1时,需要用一个n次多项式进行插值。当n较大时,会出现龙格(Runge)现象。,分段多项式插值,分段线性插值 所谓分段线性插值就是利用每两个相邻插值节点作线性插值.,分段多项式插值,分段线性插值函数表达式其中,分段多项式插值,称lj(x)为
8、插值基函数.其的图像为,分段多项式插值,三次样条插值 所谓三次样条插值方法就是已知(xi,yi),i=0,1,.,n,寻求一个函数s(x)满足下列条件:s(x)C2,s(x)在每个子区间xi-1,xi,i=1,2,.,n上是三次多项式,s(xi)=yi.,分段多项式插值,三次样条插值,分段多项式插值,记si(x)为s(x)在xi-1,xi上的表达式,且si(x)=aix3+bix2+cix+di,这样要求s(x),就是要求si(x),也就是求ai,bi,ci,di,一共有4n个未知数.,分段多项式插值,由条件c)得si(xi)=yi,i=0,1,.,n.由条件a)得si(xi)=si+1(xi
9、),si(xi)=si+1(xi),si(xi)=si+1(xi),i=1,2,.,n-1.这样就有了n+1+3(n-1)=4n-2个方程,还需要2个才能唯一确定s(x).,分段多项式插值,实际应用中常用三种类型的边界条件作为附加条件给定两端点的一阶导数s(x0)=y0,s(xn)=yn;给定两端点的二阶导数s(x0)=y0,s(xn)=yn;周期边界条件s(x0)=s(xn),s(x0)=s(xn).具体使用哪一种要根据实际问题来定.这样就一共有4n个线性方程,构成一个4n元线性方程组。求解就可以得到s(x)各段的系数。,最小二乘拟合,已知一批离散数据(xi,yi),i=0,1,.,n,且
10、x0 x1xn,寻找一个函数f(x),使达到最小.这个过程称为最小二乘拟合,f(x)称为拟合函数.,线性拟合,若设拟合函数f(x)=ax+b,则有令,线性拟合,即,这是一个关于a,b的2元线性方程组.求解即可得到f(x)的表达式.,一般曲线拟合,线性拟合实际上可以看成是以1,x为基函数进行拟合.一般地,若以为基函数来进行拟合,则f(x)可以表示为,一般曲线拟合,目标是使最小.令可得到关于c0,c1,.,cm的线性方程组,求解即可得到f(x).,一般曲线拟合,为方便计算,下面直接给出一种求c0,c1,.,cm的方法.将(xi,yi)代入y=f(x)可得到n+1个方程,一般曲线拟合,写成矩阵形式为
11、AC=Y.其中当nm且A的各行线性无关时,这是一个超定方程,无解.,一般曲线拟合,只能求其最小二乘解,即求方程ATAC=ATY的解,这样即可得到c0,c1,.,cm.,一般曲线拟合,如何选择基函数?一般是根据数据的特征或者经验以及对其它信息的分析来确定合适的基函数.,示例1 温度预测问题,在12h内,每隔1h测量一次温度.温度依次为5,8,9,15,25,29,31,30,22,25,27,24.试分别用分段线性插值,三次样条插值以及多项式拟合方法估计在3.2h,6.5h,7.1h,11.7h的温度值.,示例2 参数估计,设d=k1v+k2v2,且有一组d与v的测量数据如下试使用最小二乘法求k
12、1,k2.,示例3 国土面积的计算,已知某国家的地图的边界测量数据如下,求该国家的面积.,示例3 国土面积的计算,若将所有数据点按顺序用直线连接起来得到的图形如下,小结,本章主要介绍两种重要的数据拟合与函数逼近的方法插值与拟合。插值是求一个函数使其经过给定的数据点,而拟合则是从给定的函数空间中寻求一个函数使其与给定数据的距离最小。具体使用哪种方法,应根据实际问题而定。,3 微分方程建模方法,当事物的某些特性随时间或空间而演变时,我们通常建立微分方程模型来描述它的变化过程,以分析它的变化规律、预测它的未来性态。,微分方程建模思想和方法,守恒原理,例1 死亡时间的确定,在凌晨1时警察发现一具尸体,
13、测得尸体温度是29oC,当时环境的温度是21oC.1小时后尸体温度下降到27oC,试估计死者的死亡时间.,模型假设,设环境的温度为常数TE,人体正常温度为TP.t时刻尸体的温度为T(t).t1时刻测量时尸体温度为T1,t2测量温度为T2.,根据热传导定律:热量总是由高温的物体传向低温物体.单位时间的热传导量与温差成正比.有,模型建立,令 得到,微分方程模型,模型求解,这是一个比较简单的微分方程方程模型,可以求得其通解为其中C,k 为参数,可通常测量数据确定其值.,由假设1,3有T(0)=Tp,T(t2)=T2,即解得,又由t2=t1+1,有其中,TE=21,TP=37,T1=29,T2=27,
14、进一步讨论,如果只测量一次尸体的温度,你能估计出死亡的时间吗?,例2 湖水污染浓度,有一个小湖,水容量为2000m3,分别有一入水口和出水口,水流量都为0.1m3/s.在上午11:05时,因交通事故一个盛有毒性化学物质Z的容器倾翻,在入口处注入湖中.于11:35时事故得到控制,但已有数量不详的化学物质泻入湖中,初步估计为520m3.建立一个模型,估计湖水污染程度随时间的变化规律,并估计湖水何时到达污染高峰;何时污染程序可降至安全水平(0.05%),入水口,出水口,假设,湖水中Z的浓度是均匀的,t时刻为c(t).湖水总容量为常量V.物质Z以均速泻入湖中,总量为z,所用时长为T.入口与出口的水流速
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