数学建模中的图与网络分析.ppt

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1、-第6章 图与网络分析-,-1-,WELCOME TO MY LECTURE!,-第6章 图与网络分析-,-2-,第六章 图与网络分析,图是一种模型，如公路、铁路交通图，通讯网络图等。,图示对现实的抽象，以点和线段的连接组合表示。,-第6章 图与网络分析-,-3-,6.1 图的基本概念和模型,一、概念,（1）图：点V和边E的集合，用以表示对某种现实事物的抽象。记作 G=V,E,V=v1,v2,vn,E=e1,e2,em,点：表示所研究的事物对象；边：表示事物之间的联系。,v1,v2,v3,v4,v0,e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e0,（2）若边e的两个端点重合，则称e为环。,（3

2、）多重边：若某两端点之间多于一条边，则称为多重边。,-第6章 图与网络分析-,-4-,（4）简单图：无环、无多重边的图称为简单图。,（5）链：点和边的交替序列，其中点可重复，但边不能重复。,（6）路：点和边的交替序列，但点和边均不能重复。,（7）圈：始点和终点重合的链。,（8）回路：始点和终点重合的路。,（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条链，称这样的图为连通图。,（10）子图，部分图：设图G1=V1,E1,G2=V2,E2,如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。,（11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(

3、vi)表示。,-第6章 图与网络分析-,-5-,二、图的模型,例：有甲、乙、丙、丁、戊、己六名运动员报名参加A、B、C、D、E、F六个项目的比赛。如表中所示，打“”的项目是各运动员报名参加比赛的项目。问：六个项目的比赛顺序应如何安排，才能做到使每名运动员不连续地参加两项比赛？,甲 乙 丙 丁 戊 己,项目,人,ABCDEF,-第6章 图与网络分析-,-6-,建立模型：,解：项目作为研究对象，排序。,设 点：表示运动项目。,边：若两个项目之间无同一名运动员参加。,A,B,C,D,E,F,ACDEFB,AFEDCB,ACBFED,AFBCDE,顺序：,-第6章 图与网络分析-,-7-,6.2 树图

4、和图的最小部分树,（1）树：无圈的连通图称为树图，简称为树。,一、树图的概念,-第6章 图与网络分析-,-8-,（2）树的特性：,树是边数最多的无圈连通图。在树中任加一条边，就会形成圈。,树是边数最少的连通图。在树中任减一条边，则不连通。,（3）图的最小部分树：,定义：若G1是G2的一个部分图，且为树图，则称G1是G2的一个部分树。,G2：,A,B,C,D,5,4,7,3,6,5,5,7,6,G1：,A,C,B,D,-第6章 图与网络分析-,-9-,定义：树枝总长为最短的部分树称为图的最小部分树。,二、最小部分树的求法,例：要在下图所示的各个位置之间建立起通信网络，试确定使总距离最佳的方案。,

5、树枝：树图中的边称为树枝。,-第6章 图与网络分析-,-10-,S,A,B,C,D,E,T,2,5,2,4,1,4,3,1,7,5,5,7,最小部分树长Lmin=14,-第6章 图与网络分析-,-11-,1.避圈法：将图中所有的点分V为V两部分，V最小部分树内点的集合V非最小部分树内点的集合,任取一点vi加粗，令viV，取V中与V相连的边中一条最短的边(vi,vj)，加粗(vi,vj)，令vjV 重复，至所有的点均在V之内。,2.破圈法：,任取一圈，去掉其中一条最长的边，重复，至图中不存在任何的圈为止。,-第6章 图与网络分析-,-12-,S,A,B,C,D,E,T,2,5,2,4,1,4,3

6、,1,7,5,5,7,最小部分树长Lmin=14,-第6章 图与网络分析-,-13-,6.3 最短路问题,在图示的网络图中，从给定的点S出发，要到达目的地T。问：选择怎样的行走路线，可使总行程最短？,方法：Dijkstra（D氏）标号法按离出发点的距离由近至远逐渐标出最短距离和最佳行进路线。,S,1求某两点间最短距离的D（Dijkstra）氏标号法,2,4,7,-第6章 图与网络分析-,-14-,S,A,B,C,D,E,T,2,5,2,4,1,4,3,1,7,5,5,7,0,2,4,4,7,8,9,14,13,5,9,4,最短路线：S AB E D T最短距离：Lmin=13,-第6章 图与网

7、络分析-,-15-,2求任意两点间最短距离的矩阵算法,构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵D（0）=dij（0）,S A B C D E T S 0 2 5 4 A 2 0 2 7 B 5 2 0 1 5 3 C 4 1 0 4 D 7 5 0 1 5 E 3 4 1 0 7 T 5 7 0,D（0）=,构造任意两点间直接到达、或者最多经过1个中间点到达的最短距离矩阵D（1）=dij（1）,-第6章 图与网络分析-,-16-,其中 dij（1）=min dir（0）+drj（0），,S A B C D E T S 0 2 4 4 9 8 A 2 0 2 3 7 5 12 B 4 2 0 1 4

8、 3 10 C 4 3 1 0 5 4 11 D 9 7 4 5 0 1 5 E 8 5 3 4 1 0 6 T 12 10 11 5 7 0,D（1）=,i,r,j,dir（0）,drj（0）,r,dSE（1）=min dSS（0）+dSE（0）,dSA（0）+dAE（0）,dSB（0）+dBE（0）,dSC（0）+dCE（0）,dSD（0）+dDE（0）,dSE（0）+dEE（0）,dST（0）+dTE（0）=8,例如,-第6章 图与网络分析-,-17-,其中 dij（2）=min dir（1）+drj（1）,S A B C D E T S 0 2 4 4 8 7 14 A 2 0 2 3

9、 6 5 11 B 4 2 0 1 4 3 9 C 4 3 1 0 5 4 10 D 8 6 4 5 0 1 5 E 7 5 3 4 1 0 6 T 14 11 9 10 5 6 0,D（2）=,i,r,j,dir（1）,drj（1）,r,构造任意两点间最多可经过3个中间点到达的最短距离矩阵 D（2）=dij（2）,-第6章 图与网络分析-,-18-,其中 dij（3）=min dir（2）+drj（2）,S A B C D E T S 0 2 4 4 8 7 13 A 2 0 2 3 6 5 11 B 4 2 0 1 4 3 9 C 4 3 1 0 5 4 10 D 8 6 4 5 0 1

10、5 E 7 5 3 4 1 0 6 T 13 11 9 10 5 6 0,D（3）=,i,r,j,dir（2）,drj（2）,r,构造任意两点间最多可经过7个中间点到达的最短距离矩阵 D（3）=dij（3）,-第6章 图与网络分析-,-19-,说明：一般，对于D（k）=dij（k），其中 dij（k）=min dir（k-1）+drj（k-1），k=0，1，2，3，最多可经过2k-1个中间点：其数列为 0，1，3，7，15，31，2k-1，,收敛条件：当 D（k+1）=D（k）时，计算结束；设网络中有p个点，即有p-2个中间点，则 2k-1-1 p-2 2k-1 k-1log2(p-1)k K

11、log2(p-1)+1，计算到 k=lg(p-1)/lg2+1时，收敛，计算结束。,-第6章 图与网络分析-,-20-,例：有7个村镇要联合建立一所小学，已知各村镇小学生的人数大致为S30人，A40人，B20人，C15人，D35人，E25人，T50人。问：学校应建在那一个地点，可使学生总行程最少？,S A B C D E T S 0 2 4 4 8 7 13 A 2 0 2 3 6 5 11 B 4 2 0 1 4 3 9 C 4 3 1 0 5 4 10 D 8 6 4 5 0 1 5 E 7 5 3 4 1 0 6 T 13 11 9 10 5 6 0,L=,30 40 20 15 35

12、25 50,人数,=1325 1030 880 1035 910 865 1485T,解：,-第6章 图与网络分析-,-21-,6.4 中国邮路问题,问题：一名邮递员从邮局出发，试选择一条最短的投递路线？,v1,v2,v3,v4,v5,v6,v8,v7,v9,v10,v11,v12,v13,邮局,4,4,4,5,5,1,2,4,1,2,5,4,4,7,4,2,2,-第6章 图与网络分析-,-22-,-第6章 图与网络分析-,-23-,奇点：图中次为奇数的点称为奇点。偶点：图中次为偶数的点称为偶点。,结论：最短投递路线应具有下述特征：若图中所有的点均为偶点，则可不重复走遍所有街道；重复走的路线长

13、度应不超过所在回路总长度的一半。,-第6章 图与网络分析-,-24-,步骤：,两两连接所有的奇点，使之均成为偶点；2.检查重复走的路线长度，是否不超过其所在回路总长的一半，若超过，则调整连线，改走另一半。,-第6章 图与网络分析-,-25-,v1,v2,v3,v4,v5,v6,v8,v7,v9,v10,v11,v12,v13,邮局,4,4,4,5,5,1,2,4,1,2,5,4,4,7,4,2,2,投递距离：L=60+18=78,-第6章 图与网络分析-,-26-,6.5 网络最大流问题,一、网络最大流中有关概念,有向图：含有以箭头指示方向的边的网络图。,弧：有向图上的边称为弧。用（vi,vj

14、）表示。,弧的容量：弧上通过负载的最大能力，简称容量。以cij表示。,流：加在网络每条弧上的一组负载量，以fij表示。,可行流：能够通过网络的负载量，通常应满足两个条件：容量限制条件：对所有的弧，0 fijcij 中间点平衡条件：对任何一个中间点，流入量=流出量,发点、收点、中间点：流的起源点称发点，终到点称收点，其余的点称中间点。,最大流；能够通过网络的最大流量。,割集：一组弧的集合，割断这些弧，能使流中断。简称割。,-第6章 图与网络分析-,-27-,8(8),v1,vs,v2,v3,v4,vt,7(5),9(4),9(9),2(0),6(1),5(5),10(8),(0,+),(vs,2

15、),(v2,2),(v1,2),(v3,1),(v4,1),5(4),cij,fij,-第6章 图与网络分析-,-28-,割的容量：割集中各弧的容量之和。,最小割：所有割集中容量之和为最小的一个割集。,前向弧+：一条发点到收点链中，由发点指向收点的弧，又称正向弧。,后向弧-：一条发点到收点链中，由收点指向发点的弧，又称逆向弧。,增广链：由发点到收点之间的一条链，如果在前向弧上满足流量小于容量，即fij0，则称这样的链为增广链。,定理：网络的最大流量等于它的最小割集的容量。,定理：当网络中不存在任何增广链时，则网络达到最大流状态。,二、两个定理,-第6章 图与网络分析-,-29-,s,t,6(4

16、),5(3),4(4),8(7),设有如下增广链：,f=1,该网络没有达到最大流状态。,-第6章 图与网络分析-,-30-,三、网络最大流的标号算法(Ford-Fulkerson标号算法),基本思想：寻找增广链，改善流量分布；再重复，直到不 存在任何增广链为止。,步骤：,给始点标号：（0，+）,从已标号点i出发，看与其相关联的未标号点j上的弧，对+，若有0fijcij，则可对j点标号，记（i,(j)），其中(j)=min(i)，cij-fij对-，若有0 fji cij，也可对j点标号，记（i,(j)），其中(j)=min(i)，fji（注：若有多个可标号点，可任选其中之一。）,若标号中断，则

17、得到最大流状态，否则，重复，继续标号，至收点得到标号，转。,-第6章 图与网络分析-,-31-,当收点得到标号，则沿标号得到的增广链进行流量调整：对+，fij=fij+(t)对-，fij=fij-(t)其余弧上的流量不变。,重复上述过程。,最小割集：已标号点集合与未标号点集合相连接的弧中，流量=容量的弧。,-第6章 图与网络分析-,-32-,8(8),v1,vs,v2,v3,v4,vt,7(6),9(5),9(9),2(0),6(0),5(5),10(9),5(3),(0,+),(vs,1),(v2,1),(v1,1),最大流量：fmax=14,最小割集：(v3,vt),(v2,v4),-第6

18、章 图与网络分析-,-33-,6.6 网络模型的实际应用,例1：王经理花费12000元购买了一台微型车，以后年度的维护费用取决于年初时汽车的役龄，如表示。为避免使用旧车带来较高的维护费用，王经理可选择卖掉旧车，购买新车使用的方案，旧车的预计收入如表示。为简化计算，假定任何时刻购买新车都需花费12000元，王经理的目标是使净费用最小（购置费+维护费-卖旧车收入）。,役龄(年),年维护费,预计收入,单位：元,012345,200040005000900012000,700060002000 1000 0,-第6章 图与网络分析-,-34-,解：,用网络图模型描述，归结为最短路问题。,7,7,7,7

19、,7,1,2,3,4,5,6,12,12,12,12,21,21,21,31,31,44,1年初,5年末,-第6章 图与网络分析-,-35-,例2：图示岛屿与河岸有数座桥相联，问至少需要炸毁几座桥，可中断两岸的交通？,A,B,C,D,E,F,-第6章 图与网络分析-,-36-,A,B,C,F,E,D,2,2,2,1,3,1,1,1,1,-第6章 图与网络分析-,-37-,例3：有3根相同的轴A1、A2、A3，另有三根相同的齿轮B1、B2、B3。因为精度不高，不能做到任意的互相配合，其中A1能与B1、B2配合，A2能与B2、B3配合，A3能与B1、B3配合。要求确定合适的配合方案，以得到最多的配合数，将此问题归为网络最大流问题。,A1,A2,A3,B1,B2,B3,1,1,1,1,1,1,S,T,1,1,1,1,1,1,-第6章 图与网络分析-,-38-,