数学建模与仿真.ppt

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1、数学 建模Mathematical Modeling,主讲人：范瑾,Email:,Office:信息学院（学院楼2号楼）216,考核方式,平时成绩作业，考勤10%上机实践实验报告30%考试 60%,（第二版）赵静 但琦,高等教育出版社，2003年,数学建模简介MATLAB入门线性（整数）规划整数线性规划无约束最优化非线性规划动态规划微分方程差分方程,组合数学最短路问题匹配与覆盖问题行遍性问题网络流问题数据的统计分析与描述回归分析计算机模拟插值与拟合数学,图论,1.数学建模概论,数学模型（Mathematical Model）是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的

2、刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学建模（Mathematical Modeling）应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。,1.1 数学模型与数学建模,1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计 算，找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 即建立数学模型。4.模型求解。5.模型的分析与检验。,1.2 数学建模

3、的一般步骤,1.3 数学模型的分类,例1 椅子能在不平的地面上放稳吗？,1.4 建模实例,模型假设,1.四条腿一样长，四脚的连线呈正方形；2.地面高度是连续变化的,地面可视为数学上的连续曲面.3.地面是相对平坦的,椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.4.放稳就是椅脚与地面零距离,模型建立,椅子位置,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置,放稳,f()g()0,四个距离(四只脚),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD绕O点旋转,A,C 两脚与地面距离之和 f(),B,D 两脚与地面距离之和 g(),例1（续）,f(),g()是连续函数,对任意,f(),g()至少一个为0，即 f()*g()

4、=0。设初始状态 g(0)=0,数学问题：,已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()g()=0;且 g(0)=0，f(0)0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.,假设2：地面为连续曲面,假设3：椅子在任意位置至少三只脚着地,例1（续）,例1（续）,连续函数的性质,h(x)在闭区间a,b上连续，且h(a)h(b)0，则存在一点 使得h(c)=0。,模型求解,将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。初始=0时，g(0)=0，f(0)0，=/2时，f(/2)=0,g(/2)0(AC和BD互换).令h()=f()g(),则h(0)0和h(/2)0.由 f,g的连续性知 h为连续函数,据连续

5、函数的基本性质,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()g()=0,所以f(0)=g(0)=0.,例1（续）,请思考一下，四脚呈长方形的情形？,3名商人各带1名随从乘船渡河，一只小船只能容纳2人，由他们自己划行，随从们密约，在河的任一岸，一旦随从人数比商人多，就杀商人。此密约被商人知道，如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样安排每次乘船方案，才能安全渡河呢？,例2 商人过河问题（状态转移）,模型建立：,设第k次渡河前此岸的商人数为xk,随从数为yk,k=1,2,xk,yk=0,1,2,3，称二维向量 为状态。安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记为S，则允许状态

6、集合为：,从图中可以发现经过下面的11步状态变化，可以使得所有人员安全过河：（3,3）（3,1）（3,2）（3,0）（3,1）（1,1）（2,2）（0,2）（0,3）（0,1）（0,2）（0,0）。,建模实例-人口增长模型,给出美国人口从1790年到1990年间的人口如表1（每10年为一个间隔），请估计出美国2010年的人口。,规则型的建模,模型分析,通过直观观察，猜测人口随时间的变化规律（即某种类型的函数），再用函数拟合的方法确定其中的未知参数。,指数增长模型马尔萨斯提出(1798),x(t)时刻t的人口,基本假设:人口(相对)增长率 r 是常数,参数估计,根据最小二乘法,x0和r是以下函数

7、的最小值:,其中xi是ti时刻美国的人口数。,然后再代回函数计算新的时间t所对应的人口数：,结果分析,人口将以指数规律无限增长 1810-1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大,没考虑饱和性,阻滞增长模型（Logistic模型）,随着人口的增加，人口增长率会降低，可假设为人口数的减函数,人口数量最终会饱和，趋于某一个常数,当 时，增长率应为0，即,模型求解,解微分方程得到：,r=0.5,xm=500百万（50亿）取xm/2的时候，增长率最大,增长速率曲线,参数估计与结果分析,同样用最小二乘法可估计参数得到：r=0.2083,xm=457.6 x(2010)=

8、297.9结果如右图，对数据拟合得很好。,评述与总结,给定数据预测趋势的问题思路描点作图，找趋势，找到基函数用最小二乘法估计参数与实际相比较评价改进如果找不到基函数，可用多项式函数拟合，但有时效果不好,数学建模的基本方法,1、理论分析方法（机理分析法）：应用自然科学中已经被证明的正确理论、原理和定律，对被研究的有关因素进行分析、演绎和归纳，从而建立数学模型。2、模拟方法：对于一些模型，了解了其结构和性质，但是无法对模型求解或者无法进行定量描述，此时可以使用模拟的方法（实战中用的最多的模拟方法有图论模拟、物理模拟和随机模拟的方法），创造出一个结构和性质完全相同的模型，将新的模型看成是原来模型的模

9、拟，对后一个模型进行试验。,3、类比分析法：根据两个模型某些属性或者关系的相似性，去猜想两者的其他属性或者关系也可能相似的一种方法。4、数据分析法：对于结构性质不大清楚的模型，无法从理论分析中得到模型的内在规律，但是由若干能表征问题规律，描述系统状态的数据可以利用，这是可通过描述系统功能的数据分析了解系统的结构模型，在这种情形下，回归分析法是最有效的工具。,数学建模的基本方法,数学建模的一般过程,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个比较清晰的问题,1、需要解决什么问题,2、假设与简化：,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,对假设

10、的说明,对实际问题建立数学模型时，将涉及众多的因素，所以需要分清主要因素和次要因素，恰当地抛弃次要因素，并且将主要因素用公式、变量、图表的形式描述出来。同时考虑假设对模型的可解性的影响。模型成败的前提艺术性、技巧性有规律可循但是有时需要很高的技巧。,数学建模的一般过程,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,能用简单的方法解决的问题就不要用复杂的方法解决,3、建立模型：,4、求解模型：,各种数学方法、软件、计算机技术,数学建模的一般过程,5、模型的检验与评价：,如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析,与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性,数学建模的一般过程,6

11、、模型的改进：,现实世界,形成问题,模型应用,简化问题,归结模型,模型评价,模型检验,通过评价的结果，进一步改进模型,模型求解,符合实际,不符合实际,交付使用，从而可产生经济、社会效益,实际问题,抽象、简化、假设 确定变量、参数,建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数,用实际问题的实测数据等来检验该数学模型,建模过程示意图,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想像力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，参加课题实践。,如何学习数学建模,需要掌握的数学知识,微分方程规划（优化）：静态规划（线性、整数、非线性），

12、动态规划概率统计（回归）、随机模拟图论（最短路问题，匹配，网络流）组合数学层次分析（简单、自学）变分法,学习数学建模的意义,培养学以致用的能力灵活应用知识动手实践利用计算机来学习和应用数学二者的结合是发展趋势越来越多的研究用计算机模拟取代传统的实验。,数学建模竞赛,东华大学生数模竞赛全国大学生数模竞赛美国数学建模竞赛,全国大学生数学建模竞赛,时间：每年9月中下旬。内容：题目由工程技术、管理科学中的实际问题简化而成，没有标准答案。对象：全国本专科学生，专业不限，分甲乙组形式：3人一组，三天三夜，自由完成目的：培养学生独立进行研究的能力，运用数学和计算机的能力，团结合作精神和进行协调的组织能力等。

13、,全国高校规模最大的课外科技活动,奖项设置：首先各省分别评奖，占三分之一左右,参赛人数走势图,全国数模竞赛所涉及的方法,93A 非线性交调的频率设计（拟合、规划）93B 足球队排名次（矩阵论、图论、层次分、整数规划）94A 逢山开路（图论、插值、动态规划）94B 锁具装箱问题（图论、组合数学）95A 飞行管理问题（非线性规划、线性规划）95B 天车与冶炼炉的作业调度（非线性规划、动态规划、层次分析法、PETRI方法、图论方法、排队论方法）96A 最优捕鱼策略（微分方程、优化）96B 节水洗衣机（非线性规划）97A 零件的参数设计（非线性规划）,97B 截断切割的最优排列（动态规划、图论模型、随

14、机模拟）98A 一类投资组合问题（多目标优化、模糊线性规划、非线性规划）98B 灾情巡视的最佳路线（图论、组合优化、线性规划）99A 自动化车床管理（随机优化、计算机模拟）99B 钻井布局（0-1规划、非线性规划、图论方法）00A DNA序列分类（欧氏距离、马氏距离分类法、Fischer判别模型、神经网络方法）00B 钢管订购和运输（离散优化、运输问题）01A 血管三维重建（曲面重建、曲线拟合）01B 公交车调度问题（多目标规划）02A 车灯线光源的优化（非线性规划）02B 彩票问题（单目标决策、多目标决策）,05A长江水质的评价和预测(数据处理、拟合、预测、规划）05B DVD在线租赁（图论

15、、规划）06A 出版社的资源配置（预测、模糊综合评判、优化）06B艾滋病疗法的评价及疗效的预测（数据拟合、预测、综合处理）,美国建模竞赛Mathematical Competition in Modeling,从1983年起，在美国就有一些有识之士开始探讨组织一项应用数学方面的竞赛的可能性。经过论证、争论、争取资助的过程，终于在1985年开始有了美国的第一届大学生数学建模竞赛，简称MCM（1987年以前的全称是Mathematical Competition in Modeling，1987年改为Mathematical Contest in Modeling，其缩写均为MCM）。竞赛由美国工

16、业与应用数学学会（SIAM）和美国运筹学会联合主办。从1985年起每年举行一届，在每年的二月下旬或三月初的某个星期五到星期日举行,比赛的结果,专家们在评卷时并不对论文给出分数，也不采用“通过”、“失败”这种记分，而只是将论文分成一些等级：Outstanding（中国人称它为特等奖）、Meritorious（一等奖、Honorable Mention（二等奖）、Successful Participation（成功参赛奖）。评卷的标准并不是看答案对不对，而主要看论文的思想方法好不好，以及论述是否清晰。Outstanding的论文作为优秀论文在专业杂志上发表。而所有参赛的队员和教练都能得到一张奖状

17、。,成绩的评定,翻开已发表的MCM的优秀论文，会发现：同一个考题的几篇优秀论文甚至连答数都不一样，却同样都优秀；优秀论文甚至被专家的评阅意见指出一大堆毛病，却仍不失为优秀。在这里，正确和错误是相对的，优秀和不优秀也是相对的。但既然数学建模赛是考察解决实际问题的能力，那就一切都以解决实际问题的过程为准。解决实际问题需要查资料，需要使用计算机，需要课题组的人相互交流和讨论，因此数学建模竞赛也就允许使用这些“非生命的资源”。同样，实际问题的解决，常常没有绝对的正确与错误，也没有绝对的优秀,竞赛准备,一本好的教材+获奖范文+实战演练数学高手+计算机高手+写作高手基本的数学知识：优化方法、动力系统、概率

18、统计、数据拟合和预测计算机能力：掌握基本的数学软件：Matlab、Lingo；其他编程技能论文写作能力关键。将作出的东西表述出来，有条理、清晰、简洁易懂。基本功+创造力+团队协作,竞赛优秀论文,(2001年起)CUMCM网站:http:/,数学软件,matlab,matlab程序设计与应用,有电子版教程lindo,lingo,有电子版教程数学建模要求知道实际问题与某些数学知识之间的对应关系（如哪些问题可用线性规划求解，或线性规划可解决哪些问题），以及用它们建立模型的方法，模型的求解可交给数学软件。,多读优秀论文，写法和建模思路是需要关注的主要内容掌握建模的基本方法，平时多学多动手实践。基本数学软件的使用，如Matlab和Lingo,