数学分析第十章课件数项级数.ppt

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1、第十章 数项级数,1 级数问题的提出,一些数学问题和实际问题经常用到：无穷多个函数相 加或无穷多个数相加。,例2.,非初等函数的表示,微分方程的解,例3.,和,问题：,1.无穷多项相加究竟是什么意思？加得起来吗？,2.对这种无穷项相加的“无穷级数”，它的运算规律与“有限和”有什么异同？,历史上：,很多是“形式运算”，后来由于应用的深入和广泛，形式运算常出现矛盾：,若把它写成,则其“和”为0，,若把它写成,则其“和”为1,“和”只能一个，矛盾。,例：无穷项相加,无穷项函数相加，对每一个固定的 x，每一项便变成一个数，因此，我们从无穷个数相加谈起，这种级数称为数项级数，或简称为无穷级数。,用加号把

2、这些数依次连接起来所得的式子,设有数列：,定义,称为无穷级数或数项级数，简称级数。,这仅是一种形式上的相加。,2 数项级数的收敛性及其基本性质,记为：,引入一个新的数列,称为级数的前n项部分和（简称部分和）,称为级数的部分和数列。,有极限存,的部分和数列,在（设为S），则称级数,收敛。,S称为级数的和，记作：,此时也称级数,收敛到S。若部分和数列,没有极限存在，则称该数列发散，此时它没有和。,若级数,定义10.1,一、数项级数的收敛,讨论级数,因为,解：前n项部分和为,收敛，其和为1，即,所以级数,的收敛性。,例1,解：前n项部分和,的收敛性。,发散。,因此，级数,讨论级数,例2,此时级数收敛

3、，其和为,（几何级数）讨论几何级数,即,这是中学学习过的。,例3,例3,的收敛性，其中 r 为公比。,解：,当 r=-1时，,当|r|1时,当 r=1时，,两个子数列的极限不相等。因此级数发散。,当a0时，极限不存在，这是因为,特别地，当 a=1 时级数就是,这是10.1中讨论过的级数，它发散，因此没有和。故,说它的和即等于1又等于0的推理，前提是不正确的。,综合起来，对几何级数 得到的结论是：,当|r|1 时,时收敛，当|r|1时,发散。,知,这样就把 e 用一个无穷级数表示出来。,其中 0 1，由,在8.1，我们曾得到公式,故,例4,例4,收敛，c为任意常数，则级数,也收敛，且,若级数,二

4、、数项级数的性质,定理10.1,也收敛，且,若级数,收敛，则级数,定理10.2,定理10.3,不改变级数的收敛性。,任意改变级数有限项的数值，,定理10.4,(收敛的必要条件),若级数,收敛，则一般,项趋向于0，即,发散。判断,1）用其逆否命题：若,说明：,，则,级数的发散性。,例：,2）是必要条件，而不是充分条件：前面例子。,3）最后：级数和数列的关系：,级数,其中：,部分和数列,级数,数列,最简单的级数,若级数的每一项都是非负的，则称此级数,正项级数。,为正项级数。,3 正项级数,定义10.2,正项级数,收敛的充要条件是：,证明：,必要性.按定义，级数,收敛，部分和数列,有上界。,有极限存

5、在，因此有上界。,充分性。由,单调上升，,知部分和数列,它有上界则必有极限存在，因此级数收敛。,这是一个基本定理，后面的判别法大都由此证明。,定理10.5,部分和数列,说明：,正项级数收敛的必要条件,例1:,证明“p 级数”,当 p 1 时收敛，当 p 1 时发散。,证明：,先证明 p=1 时级数发散。由定理10.5，只需证明,的项第二项依次按,部分和数列无上界。对任意正整数，都有,正整数 k，使,便得,例1,这时把部分和数列,项组合起来，,当 p 1时，由于对任意正整数 k，有,因此,当 p 1 时，设,在 p 1 也发散。,右边的部分和数列无上界推出左边也无上界，,类似于前面的做法，有,故

6、,(这里用到,数列有上界，故,这就证明了部分和,当 p 1 时收敛。,（比较判别法）设有两个正项级数,若对充分大的 n（即存在 N,当 n N 时）有,其中 c 0与 n 无关，则,1)当,收敛时，,发散。,收敛；,2)当,发散时，,定理10.6,比较判别法,证明：,从n=1开始,由定理10.3，不妨假定,故当,（n=1,2,）,因此,由定理10.5便推出定理10.6的结论。,无上界时，,有上界时，有上界，当,成立，记,另证：,设给定两正项级数,若,1.把定理10.7与p级数结合；,注：,则：,2.定理10.7的应用：必须已知某正项级数,的收敛性。,比较判别法的极限形式,定理10.7,通常：把

7、判别级数和几何级数，p级数比较。,而,的收敛性。,是收敛的。,判断级数,例2,例3,判断级数,的收敛性,，而调和级数是发散的。,再证：,设给定两正项级数,若当 n 充分大后有,收敛；由,收敛可推出,则由,取几何级数做标准，便得下面的判别法。,发散。,发散可推出,比较判别法的另一种形式,定理10.8,证明：,的每一项,都不为0，且满足,设正项级数,收敛；,则（1）当,时，级数,发散；,（2）当,时，级数,（3）当,时，需进一步判定。,达朗贝尔（DAlembert）判别法,定理10.9,证明要点,（3）讨论,当 时，有,讨论级数,故收敛,例4,例5,讨论级数,满足,设正项级数,时，需进一步判别。,

8、（3）当,定理10.10,柯西（Cauchy）判别法,讨论,（用两边夹的极限不等式证明），则,解：注意,的收敛性，其中,例6,故当 时,级数收敛，当 x=1 时,级数显然发散。,时，级数,则（1）当,的项满足,设正项级数,收敛；,（2）当,时，级数,发散。,定理10.11,拉阿比（Raabe）判别法,当,存在.,则正项级数 收敛的充分必要条件是极限,连续，单调下降，,在,若,它在,取,例：用积分判别法判别p级数的收敛性：,当,易知,且,非负，连续递减。,时，发散。当,从而,时,时，收敛。,定理10.12,柯西（Cauchy）积分判别法,的收敛性，其中,讨论,解：取,它在,非负，单调下降，,连续

9、.,时，,而当,时，已知,当,故,时收敛，当,当,时 发散。,例8,其中,1.交错级数,4 一般项级数,莱布尼兹判别法,例,2.Cauchy收敛原理与绝对收敛,由Cauchy收敛原理可证：,注：定理10.15的逆不成立,发散，,则称,条件收敛.,若,收敛，而,达朗贝尔（DAlembert）判别法,定理10.16,当 时，则,(1),绝对收敛；,当 时，则 发散。,(2),3.Dirichlet判别法与Abel判别法,求和数,设有两组数,变换：,引进,29页图,或,解释：（1）几何解释：,变换。,代入得：,于是,此上式称为,引进,引进,引进,引进,（2）它和分部积分公式十分相似：考察,比较：,记

10、,设,引理1,则,单调；,有界，即,证明：有阿贝尔变换与有界知，,设：（Dirichlet判别法）设：,(i)级数,要证 n 充分大，,的部分和,(ii)数列,单调趋于0。则级数,有界。即,能很小。而,证明：（思路）用Cauchy收敛原理与Abel引理：,收敛,另一方面：由,即可得。,有界和 M 能很小也能得证,很小,即下面定理：,定理10.17,（Abel判别法）设,因此只要,收敛。,单调有界。则级数,（ii）数列,收敛；,（i）级数,当,收敛知任给,由,存在 N,证明：用柯西收敛原理与阿贝尔引理证明。设,收敛。,故级数,对任意正整数 p，由阿贝尔引理，,时，对任意正整数 p，有,定理10.

11、18,说明：Leibniz定理是Dirichlet判别法的一个特例,取,则级数,即为形如,的级数，它满足,Dirichlet判别法的条件。,讨论级数,的敛散性。,解：取,由Dirichlet判别法知，,例4：,则,因此,同理可证：,例5：若,收敛则,都收敛。,如果无穷级数收敛，则它有一个和。,是否具有有限,即是否满足：三律,（1）结合律。,（2）交换律。,（3）分配律。,但这是无穷个数的和，,个数的和的性质：,10.5无穷级数与代数运算,一先看结合律,即一个收敛级数,，对其项任意加括号后,所成级数仍为收敛，且其和不变。,证明：新级数的部分和数列为,的子数列。,注意：加括号后的级数为收敛时，不能

12、断言,原来未加括号的级数也收敛。,定理10.19,二看交换律,定义：对于一个级数,，将它的项重新排列后所得,到的级数,绝对收敛级数,称为,的重排级数或更序级数,的重排级数,仍绝对,收敛，且其和不变。,(Riemann定理)若,条件收敛，则,（1）适当重排，可使新级数发散；,（2）对任意实数，可找到,的重排，,使其和为,定理10.20,定理10.21,例.已知,条件收敛设其和为,即,将此级数作如下重排：按级数原有正项与负项的顺序：,一个正项两个负项交替排列：即,假设此级数收敛。由定理10.19（结合律）对其加括号：,由此：重排级数即使收敛，其和与原级数的和也,不一定相等。,三看分配律,即两个无穷

13、和的乘积：,例：给定两个收敛,的级数,，仿照有限和的乘积规则把所有,可能的项,写出来：,（1）列成表。,（2）常见排列方式两种,(Cauchy)若级数,均绝对收敛，,其和分别为 s,t，则它们各项之积,按任何方式排列所构成的,级数也绝对收敛切其和为,例1.级数,在,时绝对收敛。,将这个级数自乘，按斜对角线法排列并项，可得：,在,时成立。,定理10.22,内容小节,一、数项级数的收敛判别法,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.正项级数收敛判别法,必要条件,发 散,满足,比值收敛判别法,根值收敛法,收 敛,发 散,不定,比较收敛法,用其它法判别,积分判别法,部分和极限,3.任意项级数收敛

14、判别法,为收敛级数,Leibniz判别法:若,且,则交错级数,收敛,概念:,且余项,二、求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数:先求收敛半径 R,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性.,求部分和式极限,三、幂级数和函数的求法,求和,映射变换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值,求部分和等,初等变换法:分解、套用公式,（在收敛区间内）,数项级数 求和,四、函数的幂级数和付式级数展开法,直接展开法,间接展开法,练习:,1.将函数,展开成 x 的幂级数.,利用已知展式的函数及幂级数性质,利用泰勒公式

15、,解:,1.函数的幂级数展开法,习题,例1.若级数,均收敛,且,证明级数,收敛.,证:,则由题设,收敛,收敛,收敛,例2.设正项级数,和,也收敛.,提示:因,存在 N 0,又因,利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.,都收敛,证明级数,当n N 时,例3.设级数,收敛,且,是否也收敛？说明理由.,但对任意项级数却不一定收敛.,问级数,提示:对正项级数,由比较判别法可知,级数,收敛,收敛,级数,发散.,例如,取,例4.求幂级数,法1 易求出级数的收敛域为,例5.,解:分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在,原级数=,其收敛半径,注意:,补充题,2.设,将 f(x)展开成,x 的幂级数,的和.(01考研),解:,于是,并求级数,解:原式=,的和.,例2、求级数,解:(1),显然 x=0 时上式也正确,故和函数为,而在,x0,例3、求下列幂级数的和函数：,级数发散,(4),作业,P9:2.3P21:1.2.4.6P32:1.2.4.5.6,