数学分析开场白与预备知识.ppt

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1、数学分析开场白,感谢聆听 祝你成功！,今年的教师节，我收到了很多已经毕业的学生打来的电话或发来的短信，基本上都是祝福和问候，令我感动不已。但有一条短信时常萦绕在我的脑海里，挥之不去：毕业了,回头看自己所谓的大学生活，我想哭，不是因为离别，也不是因为还没找到工作，而是因为什么都没学，因而也什么都没学到！我不知道，简历该怎么写，也不知道今后的同学聚会时我将怎样面对，更不知道今后面对我的后代，我会怎样向他们讲述我的“大学时代”？！,一、做为父辈的几点忠告,感谢聆听 祝你成功！,大学是人生中最为关键的阶段。从入学的第一天起，你就应当对大学四年有一个正确的认识和规划。为了在学习中享受到最大的快乐，为了在

2、毕业时找到自己最喜爱的工作，每一个刚进入大学校园的人都应当掌握七项学习：自修之道、基础知识、实践贯通、培养兴趣、积极主动、掌控时间、为人处事。,感谢聆听 祝你成功！,大学是人生的关键阶段。这是因为，进入大学是你一生中第一次放下高考的重担，开始追逐自己的理想、兴趣。这是你第一次离开家庭生活，独立参与团体和社会生活。这是你第一次不再单纯地学习或背诵书本上的理论知识，而是有机会在学习理论的同时亲身实践。这是你第一次不再由父母安排生活和学习中的一切，而是有足够的自由处置生活和学习中遇到的各类问题，支配所有属于自己的时间。,感谢聆听 祝你成功！,大学是人生的关键阶段。这是因为，这是你一生中最后一次有机会

3、系统性地接受教育。这是你最后一次能够全心建立你的知识基础。这可能是你最后一次可以将大段时间用于学习的人生阶段，也可能是最后一次可以拥有较高的可塑性、可以不断修正自我的成长历程。这也许是你最后一次能在相对宽容的，可以置身其中学习为人处世之道的理想环境。,感谢聆听 祝你成功！,大学是人生的关键阶段。在这个阶段里，所有大学生都应当认真把握每一个“第一次”，让它们成为未来人生道路的基石；在这个阶段里，所有大学生也要珍惜每一个“最后一次”，不要让自己在不远的将来追悔莫及。在大学四年里，大家应该努力编织自己的梦想，明确自己的方向，奠定自己的人生基础。,感谢聆听 祝你成功！,大学是一生中学习能力转变最关键的

4、时候，是把“基础学习”和“进入社会”这两个阶段衔接起来的重要时期。因此，在大学四年中，要努力培养自己的学习能力，提高自己的学习境界，让自己成为一个擅长终身学习的人。大学时代每个人最多只有一次，大学四年应该这么度过,感谢聆听 祝你成功！,、自尊自爱自律自强,4、健康是金平安是福,2、诚信之心处事 感恩之心待人,3、机遇是付给汗水的利息 成功是对于拼搏的嘉奖,感谢聆听 祝你成功！,二、做为教师的几点建议-如何学好数学分析,数学分析是高等院校数学系各专业最重要的基础课程之一。该课程教学跨时最长（三个学期，有的院校为四个学期），教学时数最多（300多课时），学分数量最大（12学分），历来受到学校、院系

5、及教师、学生的高度重视。它的基本内容主要包括函数、极限与连续、微分学、积分学、无穷级数、多元函数、多元函数极限、多元微分学，重积分以及曲线曲面积分等。,感谢聆听 祝你成功！,数学分析能够成为分析数学系列课程的中心课程，是因为数学专业许多后续课程，如实变函数、复变函数、概率论与数理统计、拓扑学、泛函分析、微分方程等，都以数学分析为基础，有的甚至是数学分析的直接延伸，分析学的思想更是在诸多课程中广泛渗透。数学分析的教学进程对计算机、物理、化学、生物、地理、电教、电子、经济学等文理学科高等数学课程的教学产生直接、重要的影响。,感谢聆听 祝你成功！,数学分析不仅在内容上为后继课程的学习提供了必要的基础

6、知识，而且它所体现的分析数学思想、逻辑推理方法、处理问题的技巧，在整个数学学习和科学研究中，起着奠基作用。正因为如此，数学分析一直是基础数学、应用数学乃至其他相关学科硕士研究生入学的必考科目之一。,感谢聆听 祝你成功！,(一)、数学分析内容的特点 数学分析内容有以下五个特点：1、变化的观点 这是贯穿在全部讨论中的一个基本观点，即用变化的观点去考察问题，从变化当中去认识事物。用变化的观点审视和解决问题，是学好数学分析的关键。,感谢聆听 祝你成功！,2、精确化 数学从诞生之日起，以严密、简洁、精确而著称，而数学分析更是集中体现了这一风格，所有内容都建立在极限语言（语言）之上，这两种语言的精确性，经

7、历了一百多年的锤炼，可以说是字字千金，滴水不漏。,感谢聆听 祝你成功！,3、抽象性 数学分析中的一些概念具有高度的抽象性，其主要表现是：定义了一系列新概念。概念一般从实际事物中经过抽象而得到，但它较原实际问题包含更丰富的内涵。可以这样说，数学分析学习的成败，一个重要方面，就是对概念的理解与掌握，概念是基础，概念是前提。学习抽象概念，要抓住以下三个环节：,感谢聆听 祝你成功！,要记住引入概念的1-2个实际例子，以掌握概念的原始模型；要记住与概念相悖的两个反例，以加深对概念的理解；要弄清新概念和已有概念的联系（例子、定理、公式）。4、丰富的技巧 数学分析中的技巧丰富多彩，要注意积累。这方面的能力，

8、需要用数学的方法去进行训练。,感谢聆听 祝你成功！,5、深刻的数学思想方法 转化思想、数形结合、类比方法、演绎归纳、分析综合等数学思想方法在数学分析中几乎无处不现。学习这些思想方法，对我们的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力等的培养是非常重要的。,感谢聆听 祝你成功！,(二)、如何听课 大学课程课堂教学学时一般比较少，一节课的知识容量较大，讲课的节奏也较快，如何有效地掌握课堂教学内容，提几点建议：1、课前预习。适当预习，可使听课有的放矢、重点、难点明确，从而提高听课效率。预习的目的不是看懂全部内容（当然，能看懂的决不放过），主要是要对教材的内容有一个大概的了解，要了解预习内容需要已学过的那

9、些知识，是否掌握，那些内容能看懂，那些看不懂，并对各种情况用不同的标记标出，以便在听课时分别弄懂。,感谢聆听 祝你成功！,2、听懂概念是重点，要了解概念的来龙去脉，搞清各概念间的关系，尤其是教师强调的地方，要引起注意，这往往是容易出错的地方。3、听定理证明讲授时，要听其证明的思路和方法，注意教师的分析，而不要过于拘泥证明过程中的每一个细小步骤，但对主要步骤要听懂，下课之后再自行补充，更不要在某一地方卡住之后，中止听课。4、要学会合理安排听课的精力和体力。整堂课上精力集中做不到，建议同学们把主要精力放在概念讲述，定理证明方法，易出错的地方的介绍等。,感谢聆听 祝你成功！,5、要养成听课记笔记的习

10、惯。在听课的同时做好笔记，这对集中注意力听好课以及复习巩固听课内容、掌握知识要点，培养独立思考深入钻研的良好学风，都有一定的作用。(三)、如何看书 大学的学习主要靠自学，而看书是自学的重要的环节，若仅把书上的那些简洁的不能再简洁的文字、符号，由此及彼看懂了，是起不到看书的作用，达不到看书的目的，学不好数学。对此，尽管是老生常谈，但强调几点：,感谢聆听 祝你成功！,1、多则惑，少则得。建议在读书中始终抓住每一节、每一章的几个主要概念、定理，尝试着用它们派生其它概念与结论，这即为常说的把书读“薄”，将知识分类、浓缩。2、加进去，写出来。书读薄后，应尝试把它变“厚”，这就是说，把你的体会，从别的书上

11、学来的例子、新的证明方法加进去，使之丰富起来，使书变成像你“写出来”的一样。这一过程是读书的高级阶段，常常要去猜想、去探索，是真正学习数学方法，掌握数学技巧的主要来源。,感谢聆听 祝你成功！,推荐参考书：,3、合理选择参考书。建议同学们，要适当的阅读参考书，选定一本你认适合自己的数学分析辅助读物作为重点参考书，对提高学习效果不无益处。,1裴礼文.数学分析中的典型问题及方法.高等教育出版社，1993.5,2 菲赫金哥尔茨著.微积分学教程.高等教育出版社,3.华东师范大学.数学分析.高等教育出版社,感谢聆听 祝你成功！,4.费定晖等.吉米多维奇数学分析习题集题解.山东科学技术出版社,(四)、关于做

12、题 要学好数学分析，最好的办法莫过于经常动手去做题。解题能力的培养在数学分析学习中占有很重要的地位，这一点要特别提醒大家，有的同学做题时眼高手低，根源在此。,1、对概念题的练习应该受到重视，建议多花点时间；,感谢聆听 祝你成功！,2、对基本的运算题应多练习，并注意准确性与速度，少看书后的参考答案，有时参考答案也不是,3、对做错的题，不要轻易放过，找出原因，引以为戒；4、切记眼高手低，数学分析证明题多，详细写出解答过程，这样可以训练语言组织和表达能力；,感谢聆听 祝你成功！,百分之百正确，靠答案的辅助提示做题容易在考试时栽根斗；,5、当你做完一道题之后，请思考以下几个问题：该题主要检测那方面的概

13、念和知识；部分地改变题目的条件，能得出什么新结论；该题的解答方法是否具有普遍性，是否能成为一种程序化解题方法；解题中所用的技巧是如何想出来的。,感谢聆听 祝你成功！,学习是一种复杂的脑力劳动，要想在学习上取得进步，理想、勤奋、毅力、方法缺一不可。理想是力量的源泉，勤奋是取得成功的前提，毅力是克服困难的关键，方法选择正确，事半功倍，方法不当事倍功半。我们说，对学习目的明确，学习态度端正的同学，要想少走弯路，提高学习效果，关键是讲究学习方法。,感谢聆听 祝你成功！,三、初等数学与高等数学的区别,17世纪以前的数学称为初等数学，研究的是常量间的代数运算和孤立的、不变的几何形体内部及相互间的关系。,1

14、637年笛卡儿引入了坐标系，沟通了数与形之间的关系，这时数学研究的是变量和不规则的几何形体。微积分的创立，使数学的发展出现了一日千里之势，形成了内容丰富的数学分析、高等代数、高等几何三大分支。相对于初等数学，它们称为高等数学。,感谢聆听 祝你成功！,初等数学主要采用形式逻辑法，静止地、孤立地、一个一个地 进行研究；高等数学则是以运动的、变化的观点去研究问题。,数学分析是一门非常重要的基础理论课，它对后续课程有直接影响，关系到整个专业基础课学习的成败、关系到同学们的素质培养，对同学将来从事专业科学研究起着非凡的作用，其核心内容是微积分。,感谢聆听 祝你成功！,著名数学家柯朗说：“微积分学，或者数

15、学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学和人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具，这门学科乃是一种憾人心灵的智力奋斗的结晶；,这种奋斗已经经历了两千五百多年之久，它深深扎根于人类活动的许多领域，并且，只要人们认识自己和认识自然的努力一日不止，这种奋斗就将继续不已。”,感谢聆听 祝你成功！,恩格斯指出：“在一切理 论成就中，未必再有什么象 17世纪下半叶微积分学的发 明那样被看作人类精神的最 高胜利了。”他还说：“只有微积分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程、运动。”,感谢聆听 祝你成功！,微积分对科学技术的重要性就象望远镜之于天文学，显微镜之

16、于生物学。,微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是科学史上的一个创举。,微积分是学好其他理工课程的基础，也是学好专业课的工具，不掌握好微积分，在科学技术的征途中将困难重重。,感谢聆听 祝你成功！,四、本课程的基本要求,1、上课时不迟到、不聊天、不玩游戏。,2、累计旷课超过5次者平时成绩按0分计。,3、按时完成作业，严禁抄袭。作业缺交超过,三分之一者不许参加期末考试(学校规定)。,感谢聆听 祝你成功！,作为数学教授的大学校长：,丁石孙北京大学苏步青复旦大学谷超豪中国科大潘承洞山东大学齐民友武汉大学伍卓群吉林大学侯自新南开大学李岳生中山大学曹策问郑州大学杨思明湘潭大学展 涛 山东大学,黄达人中山

17、大学吴传喜湖北大学周明儒徐州师大王梓坤北师大陆善镇北师大王建磐华东师大史宁中东北师大路 钢华中师大邱玉辉西南师大王国俊陕西师大,预备知识-实数系统,一家人,数系扩充概述,连续统假设,感谢聆听 祝你成功！,德国著名数学家大卫希尔伯特曾经讲过一个精彩故事。在那里，希尔伯特成为一个旅馆的老板，这个旅馆不同于我们现实生活中的任何旅馆，它设有无穷多个房间。一天，该旅馆所有的客房已满。这时，又来了一位客人坚持要住下来。,Hilbert 的旅馆的故事,一、数系扩充概述,感谢聆听 祝你成功！,1.实数系扩充历史,自然数是“数”出来的，其历史最早可以追溯到五万年前。,感谢聆听 祝你成功！,分数（有理数）是“分”

18、出来的，早在古希腊时期，人类已经对有理数有了非常清楚的认识，而且他们认为有理数就是所有的数。,感谢聆听 祝你成功！,无理数是“推”出来的，公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发现了“无理数”。,毕达哥拉斯(约公元前560480年）,“无理数”的承认（公元前4世纪）是数学发展史上的一个里程碑。,感谢聆听 祝你成功！,负数是“欠”出来的，它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的。我国三国时期数学家刘徽（公元250年前后）首先给出了负数的定义、记法和加减运算法则。,刘徽（公元250年前后）,感谢聆听 祝你成功！,正数与负数，有理数与无理数，都是具有“实际意义的量”，称之为“实数”，构

19、成实数系统。实数系统是一个没有缝隙的连续系统，任何一条线段的长度都是一个实数。,感谢聆听 祝你成功！,复数（二元数）系是保持四则运算基本性质的最大数系,2.复数与超复数,感谢聆听 祝你成功！,1843年爱尔兰数学家哈密尔顿 发现有序四元实数组完全可以组成一个数系叫“四元数”，这是一个乘法不满足交换律的数系。,哈密尔顿（Hamilton,William Rowan,18051865）,感谢聆听 祝你成功！,1847年，英国数学家凯莱进一步发现了八元数。这个数系的乘法不满足交换律，也不满足结合律。,凯莱(Cayley,Arthur.1821-1895),感谢聆听 祝你成功！,自然数N 整数Z有理数

20、Q 实数R复数（二元）C四元数（乘法不可交换）八元数（超复数）（乘法不可交换，也不能结合）,感谢聆听 祝你成功！,3.数系扩充的科学道理,逆运算在数系的扩充中扮演着极为重要的角色：逆运算的运算法则来源于正运算，因此比正运算困难，以致可能出现无法进行的现象，从而必须引进新东西，使数系得以扩展。,感谢聆听 祝你成功！,自然数中减法产生0和负数，整数系统；整数中除法产生分数，有理数系统；自然数中开方产生无理数，实数系统；负数中开方产生虚数，复数系统。,感谢聆听 祝你成功！,数系的每一次扩充，基本都是运算的需要,感谢聆听 祝你成功！,4.实数的结构,实数中正、负数、有理数都是容易被认识的，而无理数则是

21、神秘的、复杂的、难以被认识的；实数中，整系数代数多项式的根叫代数数，例如，1，1/2，31/2，其中有理数是整系数一次多项式的根；实数中不是代数数的数叫超越数，例如，e。,感谢聆听 祝你成功！,感谢聆听 祝你成功！,5.数集的地位,感谢聆听 祝你成功！,感谢聆听 祝你成功！,感谢聆听 祝你成功！,感谢聆听 祝你成功！,在这里：,感谢聆听 祝你成功！,1.有理数的代数属性,有理数集是最小的数域 有理数集在四则运算下是封闭的，而且加法、乘法满足结合律与交换律，并且满足乘法对加法的分配律，具有这种性质的数集叫做数域。,二、有理数集,感谢聆听 祝你成功！,有理数在数轴上是稠密的、和谐的。稠密性：任意两

22、个有理数之间，必然存在第三个有理数，而不管这两个有理数有多么接近。和谐性：有理数之间相处得亲密无间，对任意一个给定的有理数，永远找不到一个与之最接近的有理数。,感谢聆听 祝你成功！,2.有理数的几何属性,这里有有理数,这两位之间有有理数,感谢聆听 祝你成功！,3.有理数的集合特点,有理数是可数的与自然数一样多 比较两个有限数量的东西孰多孰少的基本思想是直接或间接的一一对应。1874年起，德国数学家康托开始研究这类问题，他将一一对应的思想应用于比较无穷集的元素多少问题。,感谢聆听 祝你成功！,康托（Georg Cantor;18451918）,1845年出生于圣彼得堡，犹太人后裔。11 岁时进入

23、德国，1867 年获柏林大学的博士学位，1872 年升为教授。1874 年开始研究比较无穷集的元素多少问题。,感谢聆听 祝你成功！,先数数偶数,这个世界上，正偶数多一些，还是正整数多一些呢？,12345678,246810121416,知道了：所有正整数和所有正偶数都一样多！,感谢聆听 祝你成功！,再数数平方数,这个世界上，平方数多一些，还是正整数多一些呢？,12345678,1222324252627282,知道了：所有平方数和所有正整数都一样多！,感谢聆听 祝你成功！,可数集,像自然数这样可以排成一列或者可以一个一个数下去（与自然数一一对应）的无限集叫做可数集。因此偶数数集、平方数集都是可

24、数集。,感谢聆听 祝你成功！,1(1,1),2(2,1)3(1,2),4(3,1)5(2,2)6(1,3),结论：格点数量=整数数量,看看格点与整数的比较,感谢聆听 祝你成功！,整数、格点与有理数的比较,123456(1,1)(2,1)(1,2)(3,1)(2,2)(1,3),结论：整数数量=格点数量=分数数量,感谢聆听 祝你成功！,有理数集是可数集,感谢聆听 祝你成功！,4.有理数的长度为0,有理数在数轴上所占的长度为0如果我们采取某种手段将全体有理数在数轴上挤压在一起，使其彼此之间没有重叠、也没有缝隙，它们能占用多大的长度？,感谢聆听 祝你成功！,有理数们，排出来！每“人”发一顶帽子戴一戴

25、！,感谢聆听 祝你成功！,量一量有理数帽子总宽度！,So small!有理数的长度为0!,感谢聆听 祝你成功！,5.有理点不能覆盖数轴,例1：证明,不是有理数.,证法一：略,证法二：略,仅有理数是不够的！,感谢聆听 祝你成功！,6.阿基米德(Archimedes)公理,阿基米德公理是一个简单的几何事实：,设,分别以,表示两线段,的长度，则必,即：,感谢聆听 祝你成功！,总结一下,从代数上看，有理数在四则运算下是封闭的，构成一个数域；从几何上看，有理数在数轴上是稠密的，因此，要去度量任何一件实际事物，不论要求多高的精度，只要有理数就够了；从测度上看，有理数很“轻巧”，它们是可数的，在数轴上所占用

26、的长度为0,感谢聆听 祝你成功！,说说有理数的缺陷,感谢聆听 祝你成功！,1.实数理论的建立,由于有理数有许多不完备的地方，如果不对有理数进行扩充，关于极限的运算就无法进行，从而也就不会有微积分。有理数扩充的直接结果是实数集。关于实数，长期以来，人们只是直觉地去认识：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，有理数与无理数统称为实数。,三、实数集,感谢聆听 祝你成功！,19世纪，德国数学家康托（G.Cantor,1845-1918）、戴德金(J.W.R.Dedekind,18311916)、魏尔斯特拉斯（K.W.T.Weierstrass,18151897）通过对无理数本质进行深

27、入研究，奠定了实数构造理论。,感谢聆听 祝你成功！,魏尔斯特拉斯K.W.T.,Weierstrass,K.T.W Weierstrass(18151897)德国数学家先修财务、管理、法律，后学数学1854年，哥尼斯堡大学名誉博士；1856年，柏林科学院院士数论、几何、复分析,感谢聆听 祝你成功！,戴德金R.(Dedekind,Richard _1916),戴德金R.(Dedekind,Richard)1831年10月 6日生于德国不伦瑞克；1916 年2月12 日卒于不伦瑞克。数学家。,感谢聆听 祝你成功！,1.1 无理数的导入,定义：设,称,为,的一个分划，,分别称为,分划的下组和上组.,例

28、1：,感谢聆听 祝你成功！,，,显然：,无最大数，,有最小数1.,有最大数1，,无最小数.,无最大数，,无最小数（在中）.,事实上：设,则必有：,即：,由：,感谢聆听 祝你成功！,只要：,由Archimedes公理知结论成立.,显然，分划,唯一确定了一个,有理数，称为这个分划的界数.,反之,任何一个有理数，都可以作为一个分,划的界数.,但是分划,不能确定一个有理数，称为,无理数.,感谢聆听 祝你成功！,1.2 实数集的确界,定义1：设 A 是一个 有上界的无限集，即：,则称M是A的一个上界.,显然:若A有上界,则必不唯一.,定理1：若A有上界,则必有最小上界(上确界),证明 考虑二种情形:,(

29、1)若A中有最大数,即为A的上确界.,感谢聆听 祝你成功！,若数集A不是有界集,则称A为无界集.,若数集A既有上界又有下界,则称A为有界集.,(2)若A中无最大数,令,为A的所有上界,之集,显然：,为R的一个分划，会产生唯一的一,界数，设为,显然,是A的一个上界,且,是,的最小元，即上确界.,感谢聆听 祝你成功！,说明:(1)符号supA.,(2)supA的精确表达：,(3)集合A有界,描述性定义，只强调M的存在性，不计较真值.,(4)集合A无界,应注意到概念否定的“对偶原则”及无界集的,感谢聆听 祝你成功！,诗情画意“一枝红杏出墙来”,推论：若对,都成立,感谢聆听 祝你成功！,定理1是数学分

30、析中的基本定理之一，称为确界原理，解决了非空有上(下)界集合的上(下)确界存在性问题.若全序集中任一非空有上界的子集合必有上确界，我们称该全序集是完备(连续)的。定理1刻划了实数集是完备的。这一性质是实数集和有理数集的本质区别。,感谢聆听 祝你成功！,2.实数集的代数属性,实数集是数域 实数集在四则运算下是封闭的，而且加法、乘法满足结合律与交换律，并且满足乘法对加法的分配律。要严格地证明这一点是困难的，它需要考虑实数的有序性、四则运算的具体定义等。,感谢聆听 祝你成功！,3.实数集的几何属性,实数在数轴上是连续的、无缝的。（1）数学分析中有六个等价命题单调有界数列收敛原理；致密性定理；Cauchy收敛准则;确界定理；聚点原理；闭区间套定理；有限覆盖定理.,感谢聆听 祝你成功！,（2）可以进行极限运算这是微积分建立的基础,感谢聆听 祝你成功！,4.实数集的集合特点,实数集是不可数的与自然数不能建立1-1对应。,感谢聆听 祝你成功！,假如实数可数，先把(0,1)内的编号吧！,证一证,感谢聆听 祝你成功！,假如可将0与1之间的实数编号：,矛盾！,构造一个（0，1）区间的数,感谢聆听 祝你成功！,实数集是不可数集！,感谢聆听 祝你成功！,