数学分析(9-15)知识点总结.ppt
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1、一、主要内容,1、定积分的定义,第九章 定积分,定积分是个数,与被积函数在有限个点处的定义无关;,与积分变量记号的选择无关。,(2)利用牛顿-莱布尼兹公式。,2、定积分的计算,在已知定积分存在的前提下,可用下面两种方法求出其值:,3、定积分的几何意义,面积的代数和。,4、定积分的性质,线性、,关于积分区间的可加性、,估值不等式、,积分第一、第二中值定理。,5、定积分与不定积分的联系,(1)变上限积分的导数公式;,保号性、,(2)牛-莱公式。,(3)可积函数不一定有原函数,有原函数的函数不一定可积。,因为“含有第一类间断点的函数”都没有原函数,,而“含有有限个第一类间断点的函数”都可积。,所以可
2、积函数不一定有原函数。,即说明有原函数的函数不一定可积。,6、可积条件,必要条件 若函数f在a,b上可积,则f在a,b上必定有界。,充要条件(1)函数f在a,b可积当且仅当:,使得属于T的所有小区间中,,充要条件(2)函数f在a,b可积当且仅当:,对应于振幅 的那些小区间 的总长,7、可积函数类,1、在a,b上连续的函数在a,b可积。,2、在a,b上只有有限个间断点的有界函数在 a,b上可积。,3、在 a,b上单调的有界函数在a,b上可积。(允许有无限多个间断点),但并非可积函数只有这3类。如:黎曼函数不属于这3类的任何一类,但它是可积的。,在a,b上函数的间断点形成收敛的数列,则函数在a,b
3、可积。,8、利用不定积分计算定积分,(1)线性;,恒等变形;,换元;,分部积分;,一些特殊类型函数的积分。,(2)与不定积分法的差别,(3)利用对称性、周期性及几何意义。,牛-莱公式,积分限的确定,换元要换积分限,原函数求出后不需回代。,(4)开偶次方时,要带绝对值。,9、杂记,(1)定积分可用于计算某类特殊数列的极限。,(2)对D(x)和R(x)的可积问题多一些关注。,1、微元法的理论依据,第10章,2、名称释译,3、所求量的特点,4、解题步骤,平面图形的面积,直角坐标,参数方程,极坐标,弧微分,弧长,旋转体体积,旋转体侧面积,?,5、定积分应用的常用公式,(1)平面图形的面积,直角坐标情形
4、,上曲线减下曲线对x积分。,A,x=f(y),(图5),x=g(y),右曲线减左曲线对y积分。,一般解题步骤:,(1)画草图,定结构;,(2)解必要的交点,定积分限;,(3)选择适当公式,求出面积(定积分)。,注意:答案永远为正。,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,参数方程所表示的函数,极坐标情形,(2)体积,平行截面面积为已知的立体的体积,(3)平面曲线的弧长,弧长,A曲线弧为,弧长,B曲线弧为,C曲线弧为,弧长,(4)旋转体的侧面积,(5)变力所作的功,(6)液体压力,(7)引力,(8)函数的平均值,第11章,一、两类反常积分的概念,a为任意常数,如果a,b都是瑕点,则定义,c
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