数学上第三章证明三.ppt

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1、退出,九年级数学(上)第三章 证明(三),3.1 平行四边形(三）三角形的中位线及性质,平行四边形的性质,定理:平行四边形的对边相等.,驶向胜利的彼岸,证明后的结论,以后可以直接运用.,四边形ABCD是平行四边形.AB=CD,BC=DA.,定理:平行四边形的对角相等.,四边形ABCD是平行四边形.A=C,B=D.,定理:平行四边形的对角线互相平分.,四边形ABCD是平行四边形.CO=AO,BO=DO.,定理:夹在两条平等线间的平等线段相等.,MNPQ,ABCD,AB=CD.,平行四边形的判定,驶向胜利的彼岸,定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.,定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四

2、边形.,定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.,定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的.,AB=CD,AD=BC,四边形ABCD是平行四边形.,ABCD,AB=CD,四边形ABCD是平行四边形.,AO=CO,BO=DO,四边形ABCD是平行四边形.,A=C,B=D.四边形ABCD是平行四边形.,等腰梯形的性质,定理:等腰梯形同一底上的两个角相等.,定理:等腰梯形的两条对角线相等.,在梯形ABCD中,ADBC,AB=DC,AC=DB.,在梯形ABCD中,ADBC,AB=DC,A=D,B=C.,证明后的结论,以后可以直接运用.,等腰梯形的判定,定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.

3、,在梯形ABCD中,ADBC,A=D或B=C,AB=DC.,定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.,在梯形ABCD中,ADBC,AC=DB.AB=DC.,证明后的结论,以后可以直接运用.,驶向胜利的彼岸,挑战分割三角形,你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?,连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形?,四个全等的三角形.,请你设法验证.,连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.,猜一猜,三角形中位线有什么性质?,三角形中位线的性质,定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.,已知:如图,DE是ABC的中位线.,分析:要证明线段的倍分关系到,可将DE加倍后证明与BC相等.从

4、而转化为证明平行四边形的对边的关系,于是可作辅助线,利用全等三角形来证明相应的边相等.,证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,连接CF.,AE=CE,AED=CEF,ABCCDA(SAS).,AD=CF,ADE=F.,BDCF.,BD=CF.,AD=BD,求证:DEBC,四边形ABCD是平行四边形.,DFBC,DF=BC.,DEBC,三角形中位线的性质,驶向胜利的彼岸,利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半”,请你证明下面分割出的四个小三角形全等.,已知:如图,D,E,F分别是ABC各边的中点.,求证:ABCABCABC.,证明:,D,E,F分别是ABC各边的中点.,(三角

5、形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半).,ADEDBFEFCFED(SSS).,分析:利用三角形中位线性质,可转化用(SSS)来证明三角形全等.,三角形中位线性质的应用,如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,四边形EFGH是怎样四边形?你的结论对所有的四边形ABCD都成立吗?,求证:四边形EFGH是平行四边形.,分析:将四边形ABCD分割为三角形,利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明.,证明:连接AC.,E,F,G,H分别为各边的中点,四边形EFGH是平行四边形.,已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别为各边的中点.,EFAC,HG

6、AC,做一做,想一想,驶向胜利的彼岸,1、已知，如图,A,B两地被池塘隔开,在没有任何测量工具的情况下,有通过学习方法估测出了A,B两地之间的距离:先在AB外选一点C,然后步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN的长,由此他就知道了A,B间的距离.你能说出其中的道理吗?,如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且ACBD顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2如此进行下去得到四边形AnBnCnDn.（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；（

7、3）写出四边形AnBnCnDn的面积；（4）求四边形A5B5C5D5的周长.,做一做,想一想,三角形的重心,驶向胜利的彼岸,我们知道,三角形的三条中线交于一点.这一点叫做三角形的重心.,三角形的重心分每一条中线的比为12(重心到每边的中点距离重心到所对角的顶点的距离).,你能证明这个命题吗?,与同伴交流你的想法和具体的证明方法.,三角形的重心有一个重要的几何性质:,三角形重心的几何性质,已知:如图,AE,BF,CD是ABC的三条中线,且相交于点G.求证:GEGA=GFGB=GDGC=12.,分析:要证明GEGA=12,可以考虑折半法(如取GA的中点M,GB的中点N).,转化为证明AM=MG=G

8、E,BN=NG=GF.,分别连接FE,EN,NM,MF.,从而借助于三角形的中位线构造平行四边形来获得证明.,怎么样,在老师的帮助下,你可以写出证明过程了吗?由此你又悟出了些什么?,已知.如图,AE,BF,CD是ABC的三条中线,且相交于点G.求证:GEGA=GFGB=GDGC=12.,证明:取GA的中点M,GB的中点N,分别连接FE,EN,NM,MF.,F,E是AC,BC的中点,FEMN,FE=MN.,四边形FENM是平行四边形.,MG=GE,NG=GF.,FEAB,MNAB,AM=MG=GE,BN=NG=GF.,GEGA=GFGB=12.,同同理,GDGC=12.,GEGA=GFGB=GD

9、GC=12.,你还能用另外的方法证明吗？,已知:如图,AE,BF,CD是ABC的三条中线,且相交于点G.求证:GEGA=GFGB=GDGC=12.,三角形中位线的性质,定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.,这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系的根据.,模型:连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形.,要重视这个模型的证明过程反映出来的规律:对角线的关系是关键.改变四边形的形状后,对角线具有的关系(对角线相等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决定了各中点所成四边形的形状.,DE是ABC的中位,DEBC,知识的升华,P79习题3.3 1,2,3,4题.祝你成功！,思考题？,1、如图，在ABC中，AB=AC，E为AB中点，延长AB到D，使BD=AB，连接CD、CE，求证：CD=2CE2、如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，DG是BCF的中位线。求证：,结束寄语,严格性之于数学家,犹如道德之于人.条理清晰，因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.,