数字信号处理第3章离散傅里叶变换DF.ppt
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1、课件,1,3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质3.3 频率域采样3.4 DFT的应用举例,第3章 离散傅里叶变换(DFT),课件,2,3.1 离散傅里叶变换的定义,3.1.1 DFT的定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列,则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为,X(k)的离散傅里叶逆变换为,课件,3,式中,N称为DFT变换区间长度NM,通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。,例 3.1.1 x(n)=R4(n),求x(n)的8点DFT 设变换区间N=8,则,课件,4,3.1.2 DFT和Z变换的关系 设序列x(n)的长度为N,其Z变换和DFT
2、分别为:,比较上面二式可得关系式,课件,5,图 3.1.1 X(k)与X(e j)的关系,课件,6,3.1.3 DFT的隐含周期性 前面定义的DFT变换对中,x(n)与X(k)均为有限长序列,但由于WknN的周期性,使(3.1.1)式和(3.1.2)式中X(k)隐含周期性,且周期均为N。对任意整数m,总有,均为整数,所以(3.1.1)式中,X(k)满足,同理可证明(3.1.2)式中 x(n+mN)=x(n),课件,7,实际上,任何周期为N的周期序列 都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列,而x(n)则是 的一个周期,即,为了以后叙述方便,将(3.1.5)式用如下形式表示:,课件,
3、8,图 3.1.2 有限长序列及其周期延拓,课件,9,式中x(n)N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列,(n)N表示n对N求余,即如果 n=MN+n1,0n1N-1,M为整数,则(n)N=n1 例如,,则有,所得结果附合图所示的周期延拓规律。,课件,10,如果x(n)的长度为N,且(n)=x(n)N,则可写出(n)的离散傅里叶级数为,(3.1.8),(3.1.9),式中,(3.1.10),课件,11,3.2 离散傅里叶变换的基本性质,3.2.1 线性性质 如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列,长度分别为N1和N2。y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中a、b为常数,即N=maxN1,
4、N2,则y(n)N点DFT为Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k),0kN-1(3.2.1)其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。,课件,12,3.2.2 循环移位性质 1.序列的循环移位 设x(n)为有限长序列,长度为N,则x(n)的循环移位定义为 y(n)=x(n+m)NRN(N)(3.2.2),课件,13,图 3.2.1 循环移位过程示意图,课件,14,2.时域循环移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列,y(n)为x(n)的循环移位,即 y(n)=x(n+m)NRN(n)则Y(k)=DFTy(n)=WN-kmX(k)其中X(k)=DFTx(
5、n),0kN-1。,课件,15,3.频域循环移位定理如果X(k)=DFTx(n),0kN-1 Y(k)=X(k+l)NRN(k)则 y(n)=IDFTY(k)=WNnlx(n)(3.2.4),课件,16,3.2.3 循环卷积定理 有限长序列x1(n)和x2(n),长度分别为N1和N2,N=max N1,N2。x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为:X1(k)=DFTx1(n)X2(k)=DFTx2(n)如果 X(k)=X1(k)X2(k)则,),课件,17,循环卷积过程中,两个N长的序列的循环卷积长度仍为N。显然与一般的线性卷积不同,故称之为循环卷积,记为,由于,所以,即循环卷积亦满足交换律
6、。,课件,18,3.2.4 复共轭序列的DFT 设x*(n)是x(n)的复共轭序列,长度为N X(k)=DFTx(n)则 DFTx*(n)=X*(N-k),0kN-1(3.2.7)且 X(N)=X(0),课件,19,3.2.5 DFT的共轭对称性 1.有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 为区别于傅里叶变换中所定义的共轭对称(或共轭反对称)序列,用xep(n)和xop(n)分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列,则二者满足如下定义式:xep(n)=x*ep(N-n),0nN-1(3.2.9)xop(n)=-xop*(N-n),0nN-1(3.2.10),当N为偶数时,将上式中的n换成N/2-
7、n可得到,课件,20,上式更清楚地说明了有很长序列共轭对称性的含义。如图所示。图中*表示对应点为序列取共轭后的值。,课件,21,图 3.2.3 共轭对称与共轭反对称序列示意图,课件,22,如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样,任何有限长序列x(n)都可以表示成共轭对称分量和共轭反对称分量之和,即 x(n)=xep(n)+xop(n)0nN-1(3.2.11)xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n)(3.2.13)xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n)(3.2.14),课件,23,2.DFT的共轭对称性(1)如果x(n)=xr(n)+jxi(n),X(k)=DFTx(n
8、)=Xep(k)+Xop(k),Xep(k)=DFTxr(n),X(k)的共轭对称分量Xop(k)=DFTjxi(n),X(k)的共轭反对称分量,课件,24,(2)如果x(n)=xep(n)+rop(n),0nN-1(3.2.17)X(k)=DFTx(n)=XR(k)+jXI(k)(3.2.18)其中 XR(k)=ReX(k)=DFTxep(n)jXI(k)=jImX(k)=DFTxop(n),课件,25,设x(n)是长度为N的实序列,且X(k)=DFTx(n),则(1)X(k)=X*(N-k),0kN-1(3.2.19)(2)如果 x(n)=x(N-m)则X(k)实偶对称,即X(k)=X(N
9、-k)(3.2.20)(3)如果x(n)=-x(N-n),则X(k)纯虚奇对称,即 X(k)=-X(N-k)(3.2.21),课件,26,利用DFT的共轭对称性,通过计算N点DFT,可以得到两个不同实序列的N点DFT,设x1(n)和x2(n)为两个实序列,构成新序列x(n)如下:x(n)=x1(n)+jx2(n)对x(n)进行DFT,得到 X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k),课件,27,由(3.2.16)式、(3.2.13)式和(3.2.14)式得到Xep(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k)Xop(k)=DFTjx2(n)=1/2X(k)-X*(N-k)所
10、以X1(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k)X2(k)=DFTx2(n)=-j1/2X(k)-X*(N-k),课件,28,3.3 频率域采样,设任意序列x(n)的Z变换为,且X(z)收敛域包含单位圆(即x(n)存在傅里叶变换)。在单位圆上对X(z)等间隔采样N点得到,xN(n)=IDFTX(k),0nN-1,课件,29,由DFT与DFS的关系可知,X(k)是xN(n)以N为周期的周期延拓序列(n)的离散傅里叶级数系数(k)的主值序列,即,课件,30,如果序列x(n)的长度为M,则只有当频域采样点数NM时,才有 xN(n)=IDFTX(k)=x(n)即可由频域采样X(k)恢复原
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- 数字信号 处理 离散 傅里叶变换 DF

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