数字信号处理第1-2章.ppt
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1、第一章 离散时间信号与系统,1.1 离散时间信号序列 1.2 线性时不变系统 1.3 常系数线性差分方程 1.4 连续时间信号的抽样,1.1 离散时间信号序列,一个离散时间信号是一个整数值变量n的函数,表示为x(n)或x(n)。它既可以是实数也可以是复数。尽管独立变量n不一定表示“时间”(例如,n可以表示温度或距离),但x(n)一般被认为是时间的函数。,图 1-1 离散时间信号x(n)的图形表示,离散时间信号的获取方法:一可以对模拟信号(如语音)进行等间隔抽样而得到。例如,对于一个连续时间信号xa(t),以每秒fs=1/T个采样的速率采样而产生采样信号,它与xa(t)的关系如下:,二可以认为是
2、自然产生的离散时间序列,如每日股票市场价格、人口统计数和仓库存量等。,序列的运算,序列的移位,当m为正时,则x(n-m)是指序列x(n)逐项依次延时(右移)m位而给出的一个新序列;当m为负时,x(n-m)是指依次超前(左移)m位。图1-2显示了x(n)序列的延时序列w(n)=x(n-2),即m=2时的情况。,图 1-2 图1-1序列x(n)的延时,序列的翻褶,图 1-3 序列的翻褶(a)x(n)序列;(b)x(-n)序列,序列的和 两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成的一个新序列。和序列z(n)可表示为,序列的乘积 两序列相乘是指同序号n的序列值逐项对应相乘。乘积序列f(n)可表示
3、为,序列的标乘 序列x(n)的标乘是指x(n)的每个序列值乘以常数c。标乘序列f(n)可表示为,累 加,它表示y(n)在某一个n0上的值y(n0)等于在这一个n0上的x(n0)值与n0以前所有n上的x(n)之和。,差分运算前向差分 x(n)=x(n+1)-x(n)后向差分 x(n)=x(n)-x(n-1)由此得出x(n)=x(n-1),序列的时间尺度(比例)变换,其中m为正整数,卷积和,正如卷积积分是求连续线性时不变系统输出响应(零状态响应)的主要方法。对离散系统“卷积和”也是求离散线性移不变系统输出响应(零状态响应)的主要方法。,(1)翻褶:先在哑变量坐标m上作出x(m)和h(m),将h(m
4、)以m=0 的垂直轴为对称轴翻褶成h(-m)。(2)移位:将h(-m)移位n,即得h(n-m)。当n为正整数时,右移n位;当n为负整数时,左移n位。(3)相乘:再将h(n-m)和x(m)的相同m值的对应点值相乘。(4)相加:把以上所有对应点的乘积累加起来,即得y(n)值。,1.1.2 几种常用序列1 单位脉冲序列(n),这个序列只在n=0 处有一个单位值1,其余点上皆为0,因此也称为单位采样“序列”。单位采样序列如图1-4所示。,(1-1),图 1-4(n)序列,这是最常用、最重要的一种序列,它在离散时间系统中的作用,很类似于连续时间系统中的单位冲激函数(t)。但是,在连续时间系统中,(t)是
5、 t=0 点脉宽趋于零,幅值趋于无限大,面积为1的信号,是极限概念的信号,并非任何现实的信号。而离散时间系统中的(n),却完全是一个现实的序列,它的脉冲幅度是1,是一个有限值。,2 单位阶跃序列u(n),如图 1-5 所示。它很类似于连续时间信号与系统中的单位阶跃函数u(t)。,(1-2),图 1-5 u(n)序列,(n)和u(n)间的关系为,令n-m=k,代入此式可得,(1-3),(1-4),(1-5),3矩形序列RN(n),(1-6),矩形序列RN(n)如图1-6所示。,图 1-6 RN(n)序列,RN(n)和(n)、u(n)的关系为:,(1-7),(1-8),4实指数序列,式中,a为实数
6、。当|a|1时,序列是发散的。a为负数时,序列是摆动的,如图1-7所示。,图 1-7 指数序列(a)|a|1;(c)a=-|a|,0a1,a1,-1a 0,5 正弦型序列x(n)=A sin(n0+)式中:A为幅度;为起始相位;0为数字域的频率,它反映了序列变化的速率。0=0.1时,x(n)序列如图1-8所示,该序列值每20个重复一次循环。其中,0=2 f0,图 1-8 正弦序列(0=0.1),6 复指数序列 序列值为复数的序列称为复指数序列。复指数序列的每个值具有实部和虚部两部分。复指数序列是最常用的一种复序列:,(1-11a),或,(1-11b),式中,0是复正弦的数字域频率。,对第一种表
7、示,序列的实部、虚部分别为,如果用极坐标表示,则,因此有:,1.1.3 序列的周期性 如果对所有n存在一个最小的正整数N,满足,(1-12),则称序列x(n)是周期性序列,周期为N。,若N0=2k,当k为正整数时,则,这时的正弦序列就是周期性序列,其周期满足N=2k/0(N,k必须为整数)。,可分几种情况讨论如下。(1)当2/0为正整数时,周期为2/0,见图1-8。(2)当2/0不是整数,而是一个有理数时(有理数可表示成分数),则,式中,k,N为互素的整数,则 为最小正整数,序列的周期为N。,(3)当2/0是无理数时,则任何k皆不能使N取正整数。这时,正弦序列不是周期性的。这和连续信号是不一样
8、的。同样,指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列的情况相同。如果一个正弦型序列是由一个连续信号采样而得到的,那么,采样时间间隔T和连续正弦信号的周期之间应该是什么关系才能使所得到的采样序列仍然是周期序列呢?,设连续正弦信号xa(t)为,这一信号的频率为f0,角频率0=2f0,信号的周期为T0=1/f0=2/0。如果对连续周期信号xa(t)进行采样,其采样时间间隔为T,采样后信号以x(n)表示,则有,如果令0为数字域频率,满足,式中,fs是采样频率。可以看出,0是一个相对频率,它是连续正弦信号的频率f0对采样频率fs的相对频率乘以2,或说是连续正弦信号的角频率0对采样频率fs的相对频率。用0
9、代替0T,可得,这就是我们上面讨论的正弦型序列。,下面我们来看2/0与T及T0的关系,从而讨论上面所述正弦型序列的周期性的条件意味着什么?,这表明,若要2/0为整数,就表示连续正弦信号的周期T0应为采样时间间隔T的整数倍;若要2/0为有理数,就表示T0与T是互为互素的整数,且有,(1-13),式中,k和N皆为正整数,从而有,即N个采样间隔应等于k个连续正弦信号的周期。,离散信号的周期是每个周期的采样点数。周期N总是整数。对于组合信号,N是各周期的最小公倍数。,例:若F=0.32,那么x(n)=cos(2 Fn)是否具有周期性?若F=呢?如果是周期的,那么它的周期N是多少?,解:若F=0.32,
10、因为F=0.32=32/100=8/25=k/N,所以x(n)具有周期性,它的周期N=25;若F=,因为F是一个无理数,不能表示为整数的比率,所以它不具有周期性。,1.1.4 用单位采样序列来表示任意序列 用单位采样序列来表示任意序列对分析线性时不变系统(下面即将讨论)是很有用的。设x(m)是一个序列值的集合,其中的任意一个值x(n)可以表示成单位采样序列的移位加权和,即,(1-14),由于,则,因此,式(1-14)成立,这种表达式提供了一种信号分析工具。,1.1.5 序列的能量 序列x(n)的能量E定义为序列各采样样本的平方和,即,(1-15),例:计算信号x(n)=的能量,这是一个一侧衰减
11、的指数函数,它的信号能量是:,1.2 离散时间系统时域分析,一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。若以T来表示这种运算,则一个离散时间系统可由图1-2-1来表示,即,离散时间系统中最重要、最常用的是“线性时不变系统”。,图 1-2-1 离散时间系统,1.2.1 线性系统 满足叠加原理的系统称为线性系统,即若某一输入是由N个信号的加权和组成,则输出就是系统对这几个信号中每一个的响应的同样加权和组成。如果系统在x(n)和x2(n)单独输入时的输出分别为y1(n)和y2(n)即:,那么当且仅当上两式都成立时,该系统是线性的.,和,式中,a为任意常数。上述第一个性质称为可加性,第二个称
12、为齐次性或比例性。这两个性质合在一起就成为叠加原理,写成,式中对任意常数a1和a2都成立。该式还可推广到多个输入的叠加,即,式中,yk(n)就是系统对输入xk(n)的响应。,例1-1 以下系统是否为线性系统:y(n)=2x(n)+3很容易证明这个系统不是线性的,因为此系统不满足叠加原理。,证,很明显,在一般情况下,所以此系统不满足叠加性,故不是线性系统。,同样可以证明,,1.2.2 时不变系统 若系统响应与激励加于系统的时刻无关,则这种系统称为时不变系统(或称移不变系统)。这个性质可用以下关系表达:若输入x(n)的输出为y(n),则将输入序列移动任意位后,其输出序列除了跟着移位外,数值应该保持
13、不变,即若Tx(n)=y(n),则 Tx(n-m)=y(n-m)(m为任意整数)满足以上关系的系统就称为时不变系统。,例1-2 证明,不是时不变系统。,证,由于二者不相等,故不是时不变系统。同时具有线性和时不变性的离散时间系统称为线性时不变(LTI)离散时间系统,简称LTI系统。除非特殊说明,本书都是研究LTI系统。,习题:,不具有线性但有时不变性.,是线性的,但随时间变化.,具有线性和时不变性.,是非线性的,但具有时不变性.,是线性的,但随时间变化.,1.2.3 单位脉冲响应与系统的输入输出关系 线性时不变系统可用它的单位脉冲响应来表征。单位脉冲响应是指输入为单位脉冲序列时系统的输出。一般用
14、h(n)表示单位脉冲响应,即h(n)=T(n)有了h(n)我们就可以得到此线性时不变系统对任意输入的输出。下面讨论这个问题:设系统输入序列为x(n),输出序列为y(n)。从式(1-14)已经知道,任一序列x(n)可以写成(n)的移位加权和,即,则系统的输出为,由于系统是线性的,可利用叠加原理式(1-40),则,又由于系统的时不变性,式(1-41)对移位的单位脉冲的响应就是单位脉冲响应的移位。,因此,如图1-2-2所示。上式称为序列x(n)与h(n)的离散卷积,为了同以后的圆周卷积相区别,离散卷积也称为“线性卷积”或“直接卷积”或简称“卷积”,并以“*”表示之。,图 1-2-2 线性时不变系统,
15、1.2.4 线性时不变系统的性质,1 交换律由于卷积与两卷积序列的次序无关,即卷积服从交换律,故,这就是说,如果把单位脉冲响应h(n)改作为输入,而把输入x(n)改作为系统单位脉冲响应,则输出y(n)不变。,2 结合律可以证明卷积运算服从结合律,即,这就是说,两个线性时不变系统级联后仍构成一个线性时不变系统,其单位脉冲响应为两系统单位脉冲响应的卷积,且线性时不变系统的单位脉冲响应与它们的级联次序无关,如图1-18所示。,3 分配律卷积也服从加法分配律:,也就是说,两个线性时不变系统的并联等效系统的单位脉冲响应等于两系统各自单位脉冲响应之和,如图1-19所示。以上三个性质,交换律前面已经证明了,
16、另外两个性质由卷积的定义可以很容易加以证明。,图 1-2-3 具有相同单位脉冲响应的三个线性时不变系统,图1-2-4 线性时不变系统的并联组合及其等效系统,1.3.5 因果系统 所谓因果系统,就是系统某时刻的输出y(n)只取决于此时刻,以及此时刻以前的输入,即x(n),x(n-1),x(n-2),。如果系统的输出y(n)还取决于x(n+1),x(n+2),,也即系统的输出还取决于未来的输入,这样在时间上就违背了因果关系,因而是非因果系统,也即不现实的系统。根据上述定义,可以知道,y(n)=nx(n)的系统是一个因果系统,而y(n)=x(n+2)+ax(n)的系统是非因果系统。,从卷积公式,我们
17、可以看到线性时不变系统是因果系统的充分必要条件是 h(n)=0 n0(1-47)依照此定义,我们将n0,x(n)=0 的序列称为因果序列,表示这个因果序列可以作为一个因果系统的单位脉冲响应。,证:充分条件 若n0时h(n=0),则,因而,必要条件 利用反证法来证明。已知为因果系统,如果假设n0时,h(n)0,则,在所设条件下,第二个式至少有一项不为零,y(n)将至少和mn时的一个x(m)值有关,这不符合因果性条件,所以假设不成立。因而n0时,h(n)=0是必要条件,我们知道,许多重要的网络,如频率特性为理想矩形的理想低通滤波器以及理想微分器等都是非因果的不可实现的系统。但是数字信号处理往往是非
18、实时的,即使是实时处理,也允许有很大延时。这是对于某一个输出y(n)来说,已有大量的“未来”输入x(n+1),x(n+2),,记录在存储器中可以被调用,因而可以很接近于实现这些非因果系统。,1.2.6 稳定系统 稳定系统是指有界输入产生有界输出(BIBO)的系统。如果对于输入序列x(n),存在一个不变的正有限值M,对于所有n值满足|x(n)|M则称该输入序列是有界的。稳定性要求对于每个有界输入存在一个不变的正有限值P,对于所有n值,输出序列y(n)满足|y(n)|P,一个线性时不变系统是稳定系统的充分必要条件是单位脉冲响应绝对可和,即,证 充分条件:,若,如果输入信号x(n)有界,即对于所有n
19、皆有|x(n)|M,则,即输出信号y(n)有界,故原条件是充分条件。,必要条件:利用反证法。已知系统稳定,假设,我们可以找到一个有界的输入,输出y(n)在n=0 这一点上的值为,也即y(0)是无界的,这不符合稳定的条件,因而假设不成立。所以 是稳定的必要条件。要证明一个系统不稳定,只需找一个特别的有界输入,如果此时能得到一个无界的输出,那么就一定能判定一个系统是不稳定的。但是要证明一个系统是稳定的,就不能只用某一个特定的输入作用来证明,而要利用在所有有界输入下都产生有界输出的办法来证明系统的稳定性。,显然,既满足稳定条件又满足因果条件的系统,即稳定的因果系统是最主要的系统。这种线性时不变系统的
20、单位脉冲响应应该既是因果的(单边的)又是绝对可和的,即:,这种稳定因果系统既是可实现的,又是稳定工作的,因而这种系统正是一切数字系统设计的目标。,例:设某线性时不变系统,其单位抽样响应为,(1)讨论因果性:n0时,h(n)=0,故此系统是因果系统。(2)讨论稳定性:,习题,1、因果性,2、稳定性,非因果的,因果的,稳定的,稳定的,1.3常系数线性差分方程 连续时间线性时不变系统的输入输出关系常用常系数线性微分方程表示,而离散时间线性时不变系统的输入输出关系常用以下形式的常系数线性差分方程表示,即,所谓常系数是指决定系统特征的a1,a2,aN,b1,b2,bM都是常数。若系数中含有n,则称为“变
21、系数”线性差分方程。差分方程的阶数等于未知序列(指y(n))变量序号的最高值与最低值之差。上 式即为N阶差分方程。,所谓线性是指各y(n-k)以及各x(n-k)项都只有一次幂且不存在它们的相乘项(这和线性微分方程是一样的);否则就是非线性的。离散系统的差分方程表示法有两个主要的用途,一是从差分方程表达式比较容易直接得到系统的结构,二是便于求解系统的瞬态响应。求解常系数差分方程可以用离散时域求解法,也可以用变换域求解法。,离散时域求解法有两种:(1)迭代法,此法较简单,但是只能得到数值解,不易直接得到闭合形式(公式)解答。(2)卷积计算法,这用于系统起始状态为零时的求解。,差分方程在给定的输入和
22、给定的初始条件下,可用递推迭代的办法求系统的响应。如果输入是(n)这一特定情况,输出响应就是单位脉冲响应h(n)。例如,利用(n)只在n=0 取值为1的特点,可用迭代法求出其单位脉冲响应h(0),h(1),h(n)值,下面举例说明。,例1-3 常系数线性差分方程,输入为 x(n)=(n)初始条件为 y(n)=0 n0试给出系统的实现结构并求其单位脉冲响应。,解 系统的实现结构如图1-20所示。图中 代表加法器,代表乘法器,z-1表示一阶延迟。由于初始条件已给定了n=0 以前的输出,所以系统的输出响应只要从n=0 开始求起。又因为输入x(n)=(n),所以系统的输出y(n)即为系统的单位脉冲响应
23、h(n)。先由初始条件及输入求h(0)值:,再由h(0)值及输入推导h(1),并依次推导得h(2),h(3),。因而有:,故系统的单位脉冲响应为,即,这样的系统相当于因果系统,而且系统是稳定的。一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统,初始条件不同,则可能得到非因果系统。利用同一例子,分析如下。,图 1-3-1,例1-4 设x(n)=(n),但初始条件假设y(n)=0,n0,可得n0时h(n)=y(n)=0,将式(1-53)改写为另一种递推关系 y(n-1)=2y(n)-x(n)或y(n)=2y(n+1)-x(n+1)又利用已得出的结果h(n)=0(n0),则有:,所以,也可表示为,这样的系
24、统是非因果系统,而且是非稳定的。,1.4 连续时间信号的取样,在某些合理条件限制下,一个连续时间信号能用其取样序列来完全给予表示,连续时间信号的处理往往是通过对其取样得到的离散时间序列的处理来完成的。,取样器可以看成是一个电子开关,设开关每隔T秒短暂地闭合一次,将连续信号接通,实现一次取样。,当T时,取样脉冲就接近于函数性质。,图 1-4-1 连续时间信号的取样过程,连续时间信号的采样过程,1.4.1 理想取样 理想取样就是假设取样开关闭合时间无限短,即0的极限情况。此时,取样脉冲序列p(t)变成冲激函数序列s(t)。这些冲激函数准确地出现在取样瞬间,面积为1。取样后,输出理想取样信号的面积(
25、即积分幅度)则准确地等于输入信号xa(t)在取样瞬间的幅度。冲激函数序列s(t)为,以 表示理想取样的输出,以后我们都以下标a表示连续信号(或称模拟信号),如xa(t);而以它的顶部符号()表示它的理想取样,如。这样我们就可将理想取样表示为,由于(t-nT)只在t=nT时不为零,故,1.4.2 理想取样信号的频谱 我们首先看看通过理想取样后信号频谱发生了什么变化。由于在连续时间信号与系统中已学过,时域相乘,则频域为卷积运算。若各个信号的傅里叶变换分别表示为:,则应满足,现在来求S(j)=Fs(t)。由于s(t)是以取样频率重复的冲激脉冲,因此是一个周期函数,可表示为傅里叶级数,即,(1-23)
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