数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器.ppt
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1、5.1 模拟滤波器基本概念及设计方法,输入、输出均为模拟信号的滤波器即模拟滤波器。通常用幅频响应和相频响应来表征一个滤波器的特性。对幅频响应,通常把能够通过的信号的频率范围定义为通带,而把受阻或衰减的信号频率范围称为阻带,通带和阻带的界限频率称为截止频率。按照通带和阻带的相互位置不同,模拟滤波器可分为低通、高通、带通和带阻四类。,图5.1 各种理想滤波器的幅频特性,模拟滤波器的设计方法 模拟滤波器的设计就是要将一组规定的设计要求,转换为相应的模拟系统函数Ha(s),使其逼近某个理想滤波器的特性,这种逼近是根据幅度平方函数来确定的,也就是说,模拟滤波器设计中,通常只考虑幅频特性。1.模拟低通滤波
2、器的设计指标及逼近方法 模拟低通滤波器的设计指标有p,p,s和s。其中p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率,p是通带(=0p)中的最大衰减系数,s是阻带s的最小衰减系数,p和s一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性,可表示成:,如果=0处幅度已归一化到1,即|Ha(j0)|=1,p和s表示为以上技术指标用图5-2表示。图中c称为3dB截止频率,因,(5-3),(5-4),(5-1),(5-2),图5-2 低通滤波器的幅度特性,滤波器的技术指标给定后,需要设计一个传输函数Ha(s),希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s,一般滤波器的单位冲激响应为实数,因此,如果能由p、s、p、c求出,那
3、么滤波器的设计就转化为如何由 求得Ha(s),分析如下:因为脉冲响应 ha(t)是实的,因而Ha(s)的极点(或零点)必成共轭对存在。Ha(s)Ha(-s)的极点、零点分布如图所示,是成象限对称的。,由于任何实际可实现的滤波器都是稳定的,因此其系统函数Ha(s)的极点一定落于s的左半平面,所以左半平面的极点一定属于Ha(s),而右半平面的极点必属于 Ha(-s)。零点的分布则无此限制,它只和滤波器的相位特性有关,如果要求是最小相位延时特性,则Ha(s)应取左半平面零点;如无特殊要求,则可将对称零点的任一半(应为共轭对)取为 Ha(s)的零点。由此,得到由 确定Ha(s)的方法:(1)由 得到象
4、限对称的s平面函数(2)寻找Ha(s)Ha(-s)的零点和极点。将左半平面的极点归于Ha(s),如无特殊要求,可取 Ha(s)Ha(-s)以虚轴为对称轴的对称零点的任一半(应是共轭对)作为Ha(s)的零点。j轴上的零点或极点都是偶次的,其中一半(应为共轭对)属于Ha(s)(3)求出Ha(s)的零极点和增益,即可确定系统函数Ha(s)。,2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示:,(5-7),图5-4 巴特沃斯幅度特性和N的关系,将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数:,(5-7),此式表明幅度平方函数有2N个极点,极点sk用下式表示:,k
5、=0,1,2N-1(5-8),这2N个极点分布在s平面半径为c的圆上(巴特沃斯圆),角度间隔/N弧度。为形成稳定的滤波器,取平面左半平面的N个极点构成 Ha(s)。,所以取左半平面的极点时,应满足,因,而k为整数,所以k=0,1,N-1。所以巴特沃斯滤波器的N个极点为,则滤波器的系统函数Ha(s)为,图5-5 三阶巴特沃斯滤波器极点分布,以N3为例,Ha(s)Ha(-s)极点分布如图,分别为,,,,,,,Ha(s)取左半平面极点,即,所以Ha(s)极点为s0,s1,s2,由于各滤波器的幅频特性不同,为使设计统一,将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化,归一化后的Ha(s)表示为
6、式中,s/c=j/c。令=/c,称为归一化频率;令p=j,p称为归一化复变量,这样归一化巴特沃斯的传输函数为,(5-11),(5-12),(3)频率归一化问题,式中,pk为归一化极点,因p=s/c,pk=sk/c用下式表示:将极点表示式代入(5-12)式,得到的归一化系统函数Ha(p)的表达式,所以求Ha(p)需先求滤波器阶数N,求得N后按式(5-13)或查表5-1即得Ha(p)。下面介绍阶数N的确定方法,(5-13),(5-6),(5-3),(5-4),将=p和s分别代入(5-6),得到p和s处的幅度平方函数,再将这两个频率点处的幅度平方函数分别代入(5-3)和(5-4),得,由(5-15)
7、和(5-16)式得到:,令,则N由下式表示:,(5-17),用上式求出的N可能有小数部分,应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率c,如果技术指标中没有给出,可以按照(5-15)式或(5-16)式求出,由(5-15)式得到:,由(5-16)式得到:,(5-18),(5-19),总结以上,低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下:(1)根据技术指标p,p,s和s,用(5-17)式求出滤波器的阶数N。(2)按照(5-13)式,求出归一化极点pk,将pk代入(5-12)式,得到归一化传输函数Ha(p)。(3)将Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p),得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。,表5-1
8、 巴特沃斯归一化低通滤波器参数,例5-1 已知通带截止频率fp=5kHz,通带最大衰减p=2dB,阻带截止频率fs=12kHz,阻带最小衰减s=30dB,按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解(1)确定阶数N。,(2)按照(5-13)式,其极点为,按照(5-12)式,归一化传输函数为,,,,,,,,,,,上式分母可以展开成为五阶多项式,或者将共轭极点放在一起,形成因式分解形式。这里不如直接查表5-1简单,由N=5,直接查表得到:极点:-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878;-1.0000,式中 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.236
9、1,b4=3.2361,(3)为将Ha(p)去归一化,先求3dB截止频率c。按照(5-18)式,得到:,将c代入(5-19)式,得到:,将p=s/c代入Ha(p)中得到:,6.1 数字滤波器基础,1.数字滤波器的分类(1)数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类,可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为:,图6-1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性,(2)从功能上分为低通、高通、带通、带阻滤波器。,2数字滤波器的技术要求 我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(e j)用下式表示:,图6-2 低通滤波
10、器的技术要求,通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示,通带内允许的最大衰减用p表示,阻带内允许的最小衰减用s表示,p和s分别定义为:,(6-1),(6-2),c=3db时,对应的频率记为wc,称为3db截止频率。,3.数字滤波器设计方法概述 IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。IIR滤波器设计方法有两类,经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是:先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s),然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。FIR滤波器通常直接在频域或时域内进行,借助窗函数法设计。,6.2 IIR数字低通滤波器的设计,IIR滤波
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