数列和函数极限的概念.ppt
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1、,E-mail:,济南大学数学科学院,主讲教师,张长温,微 积 分,引言,(一)上大学学什么?(清华大学老师),珍惜时光,三个方面,做人之道,治学之方,健身之术,学会向书本、老师、周围学,学会自学,尝试研究性的学习方法:,提出问题、研究问题、解决问题,注重持续性学习:,有计划地安排学习,(二)学数学学什麽?,数学的基本特征,抽象性,演绎性,广泛性,(研究对象),(论证方法),(应用),假设,结论,logic,理性思维,微积分基本内容简介,微积分,微分,极限,积分,一元函数极限,二元函数极限,一元函数积分,二元函数积分,连续,导数,一元函数连续,二元函数连续,一元函数导数,二元函数偏导数,级数,
2、微分方程,推荐参考书:,同济大学编高等数学(第六版)(上、下)高等教育出版社,几个新概念,第一章 函数,1 集合的笛卡尔乘积,特例:,为平面上的全体点集.,定义 设有数集A 与 B.对任意的,所有,二元有序数组(x,y)所构成的集合,称为集合A 与 B 的笛,卡尔乘积,,即,2 邻域的概念,数集,邻域,,点x0 的左 邻域:,点x0 的右 邻域:,3 函数的有界性,使,称,为D 上的有界,定义 设函数 f(x)定义在 集合 D 上,如果对于,函数.否则,称函数 f(x)在集合 D 上无界.,说明:还可定义函数 f(x)在集合 D 上有上界、有下界,若函数 f(x)在集合 D 上是有界函数,,也
3、称函数,f(x)在集合 D 上是有界的,例如 函数 sin x,cos x 在其定义域内有界.,函数 y=x 在其定义域内无界.,如果存在一个实数 M,对每一个,都有,则称函数 f(x)在集合 D 上有上界.,如果存在一个实数 N,对每一个,都有,则称函数 f(x)在集合 D 上有下界.,如果函数 f(x)在集合 D 上即有上界又有下界,则,f(x)在集合 D 上有界.,无界函数的定义,如果对任意的正实数 M,总存在,使得,例如函数,但是,,4 反函数,在函数定义中,要求函数是单值的,即,如果,则在定义域D与值域 f(D)之间就有如下关系:,这是一个由 f(D)到D之间的新的对应关系:,称为函
4、数,的反函数,,记作,由定义可以知道:,反函数 的定义域是函数 f 的,值域 f(D);,函数 的值域是函数 f 的定义域 D.,例如函数,由于,严格单调,,有反函数.,再例如函数,严格单调,,有反函数.,习惯上,记,5 隐函数,因变量 y 是自变量 x 的函数,但 y 不能用x 的一,个数学表达式表示出来.这样的函数称为隐函数.,隐函数一般由方程 F(x,y)=0 确定.,也就是已知,y 是 x 的函数,,且 y 和 x 的关系满足方程F(x,y)=0.,数学表达式表示出来.这样的函数称为显函数.,因变量 y 是自变量 x 的函数,且 y 能用x 的一个,例如 y是 x 的函数且 y 和 x
5、 的关系由方程,确定的函数.,6 初等函数,(1)基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数.,常数、,(2)初等函数,由基本初等函数,否则称为非初等函数.,例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤,所构成,称为初等函数.,可表为,故为初等函数.,非初等函数举例,符号函数,当 x 0,当 x=0,当 x 0,取整函数,当,注意:,二、收敛数列的性质,三、极限存在准则,一、数列极限的定义,数列极限的内容:,第二章 极限与连续,1)极限内容:,数列的极限、,函数的极限.,一、数列(无穷数列)的极限的定义,首先看下面几个例子:,例如,趋势不定,收 敛,
6、发 散,数列极限的描述性定义:,定义 对于数列,,如果当n无限增大时,数列,趋近于一个确定的常数 A,,时,数列,则称当n 趋于无穷大,以 A 为极限,记作,亦称数列 收敛于;,是发散的,如果数列 没有极限,,就称,数列极限就是当n无限增大时,数列的变化趋势.,趋于一个常数 A的含义:,与常数 A“无限接近”.,数列极限的严格数学定义(定义),定义,如果对于任意给定的正数,总存在一个正,整数 N(或者),,恒成立,,的极限为,则称当n 趋于无穷大时,数列,A,记作,亦称数列 收敛于;,是发散的,如果数列 没有极限,,就称,当 n N 时,总有,即,几何解释:,例1.设,证明等比数列,的极限为
7、0.即,(常用结论.记住!),注意:,二、收敛数列的性质,1.收敛数列的极限唯一.,2.收敛数列一定有界.,即如果,则一定,存在一个正数,使得对所有的n,,成立.,3.收敛数列的局部保号性.,即如果,则一定存在一个正整数 N,使得当,C 为常数.,三、极限存在准则,1.两边夹法则;2.单调有界法则.,1.两边夹法则(准则1),例.证明,证:利用两边夹法则.,由,后面可以知道,,2.单调有界数列必有极限(准则2).,即单调增有上界,或者单调减有下界的数列一定收敛.,二、自变量趋于有限值时函数的极限,自变量变化过程的六种形式:,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容:,函数的极限,一、自变量趋
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