数值分析第7章非线性方程的数值解法46;.ppt
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1、1,在科学研究的数学问题中更多的是非线性问题,它们又常常归结为非线性方程或非线性方程组的求解问题。,2,第7章 非线性方程与方程组的数值解法/*Numerical Solutions of Nonlinear Equations*/,7.1 方程求根与二分法 7.2 不动点迭代法及其收敛性 7.3 迭代收敛的加速方法 7.4 牛顿法 7.5 弦截法与抛物线法 7.6 求根问题的敏感性与多项式的零点7.7 非线性方程组的数值解法,3,7.1 方程求根与二分法,引言,(1.1),单变量非线性方程的一般形式,其中 也可以是无穷区间.,f(x)是高次多项式函数或超越函数,(1.2),如果函数 是多项式
2、函数,即,其中 为实数,则称方程(1.1)为 次代数方程.,超越函数,不能表示为多项式的函数,如(x)=3x5-2x4+8x2-7x+1,(x)=e2x+1-xln(sinx)-2,高次代数方程,超越方程,4,若 是 的 重零点,且 充分光滑,则,次方程在复数域有且只有 个根(含重根,重根为 个根).,超越方程,它在整个 轴上有无穷多个解,若 取值范围不同,解也不同,因此讨论非线性方程(1.1)的求解必须强调 的定义域,即 的求解区间,如果实数 满足,则称 是方程(1.1)的根,或称 是 的零点.,若 可分解为,其中 为正整数,且 则称 为方程(1.1)的 重根,或 为 的 重零点,时为单根.
3、,结论,5,通常方程根的数值解法大致分为三个步骤进行:,非线性问题一般不存在直接的求解公式,要使用迭代法.,本章将介绍常用的求解非线性方程的近似根的几种数值解法,判定根的存在性。即方程有没有根?如果有根,有几个根?,确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔离开来,这个过程实际上是获得方程各根的初始近似值。,根的精确化。将根的初始近似值按某种方法逐步精确化,直到满足预先要求的精度为止.,6,如何求方程 的有根区间?,设 f(x)Ca,b,且 f(a)f(b)0,存在(a,b),使 f()=0.,根的存在性定理闭区间上连续函数的介值定理,有根区间,如果f(x)在a,b上还是单调递增或递减的,则f(x
4、)=0仅有一个实根。,(1)描图法,画出y=f(x)的略图,从而看出曲线与x轴交点的大致位置。也可将f(x)=0等价变形为g1(x)=g2(x)的形式,y=g1(x)与y=g2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间即为含根区间。,例1 求方程3x-1-cosx=0的有根区间。,方程等价变形为3x-1=cosx,,y=3x-1与y=cosx的图像只有一个交点位于0.5,1内。,7,对 的根进行搜索计算,,例2 求方程 的有根区间.,由此可知方程的有根区间为,(2)逐步搜索法,先确定方程f(x)=0的所有实根所在的区间为a,b,从x0=a 出发,以步长 h=(b-a)/n 其中n是正整数,在a,b内
5、取定节点:xi=x0ih(i=0,1,2,n)计算f(xi)的值,依据函数值异号及实根的个数确定有根区间,通过调整步长,总可找到所有有根区间。,解,8,二分法,求解方程f(x)=0的近似根的一种常用的简单方法。,原理,基本思想,设函数f(x)在闭区间a,b上连续,且f(a)f(b)0,则 f(x)=0在(a,b)内必有实根区间。,逐步将区间二等分,通过判断区间端点f(x)的符号,逐步将有根区间缩小,直至有根区间足够地小,便可求出满足精度要求的近似根。,具体做法,9,以此类推,由二分法的过程知,(1),(2),(3),作为根的近似,可得一个近似根的序列,10,(1.3),且,(4),只要二分足够
6、多次(即 充分大),便有,这里 为预定的精度.,要使,解:,例3 用二分法求方程 在区间 上的根,误差限为,问至少需对分多少次?,11,二分法的算法,步骤1 准备 计算 在有根区间 端点处的值,步骤2 二分 计算 在区间中点 处的值,步骤3 判断 若,则 即是根,计算过程结束,否则检验.,12,13,例4 求方程,在区间 内的一个实根,要求准确到小数点后第2位.,欲使,只需,即只要二分6次,便能达到预定的精度.,解,得到新的有根区间,14,二分法对多个零点的情况,只能算出其中一个零点。即使 f(x)在a,b上有零点,也未必有 f(a)f(b)0。,不管有根区间多大,总能求出满足精度要求的根,且
7、对函数f(x)的要求不高,只要连续即可,计算亦简单。,优点,缺点,注:用二分法求根,最好先给出 f(x)草图以确定根的大概位置。或用搜索程序,将a,b分为若干小区间,对每一个满足 f(ak)f(bk)0 的区间调用二分法程序,可找出区间a,b内的多个根,且不必要求 f(a)f(b)0。,15,7.2 不动点迭代法及其收敛性,不动点与不动点迭代法/*Fixed-Point Iteration*/,(2.1),若 满足,则;反之亦然,称为函数 的一个不动点.,求 的零点就等价于求 的不动点.,基本思想,(2.2),称为迭代函数.,得到的序列 有极限,如果对任何,由迭代,不动点迭代法,16,则称迭代
8、法收敛,且 为 的不动点,,不动点迭代是一种逐次逼近的方法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度要求的结果。,对预先给定的精度要求,只要某个k满足,即可结束计算并取,迭代终止的判定,17,几何意义,交点的横坐标,y=x,18,19,例5 求方程,(2.3),在 附近的根,设将方程改写成,建立迭代公式,解,各步迭代的结果如下表,即为所求的根.,如果仅取6位数字,结果 与 完全相同,,发散,说明:迭代函数不唯一,迭代点列可能收敛,也可能发散,迭代收敛与否不仅与迭代函数有关,还与初始点有关。,20,7.2.2 不动点的存在性与迭代法的收敛性,不动点的存在唯一性定理,证明
9、,存在性,若 或,则不动点为 或,,因,,以下设 及,,定义函数,显然,,且,由零点定理知存在,使,即,21,唯一性,设 都是 的不动点,,故 的不动点是唯一的.,则由,即为 的不动点.,得,矛盾.,(2.5),L 越 收敛越快,小,事前估计:选取k,预先估计迭代次数。,22,证明,设 是 在 上的唯一不动点,,由条件,可知,因,故当 时序列 收敛到.,又由,误差估计,收敛性,由,(2.6),得,反复递推得,23,迭代过程的控制,只要相邻两次计算结果的偏差 足够小,即可保证,近似值 具有足够精度.,事后估计,事前估计:选取k,预先估计迭代次数。,注:,定理1、2的条件(2)可替换为,(2.7)
10、,如果 且对任意 有,则由中值定理可知对 有,24,例5,又因,,而当 时,在区间 中 不满足定理条件.,当 时,,在区间 中,,所以迭代法是收敛的.,25,7.2.3 局部收敛性与收敛阶,迭代序列 在区间 上的收敛性,,全局收敛性,定义1 设 有不动点,如果存在 的某个邻域 对任意,迭代 产生的序列 且收敛到,则称迭代法局部收敛.,定理3 设 为 的不动点,在 的某个邻域连续,且,则迭代法 局部收敛.,局部收敛性,证明,由连续函数的性质,存在 的某个邻域,使对于任意 成立,所以,,对于任意,,总有。,因为,26,迭代序列的收敛速度,例6 用不同方法求方程 的根,解,构造不同的迭代法,27,取
11、,对上述4种迭代法,计算三步所得的结果如下表.,从计算结果看到迭代法(1)及(2)均不收敛,且它们均不满足定理3中的局部收敛条件.,注意.,迭代法(3)和(4)均满足局部收敛条件,且迭代法(4)比(3)收敛快,因在迭代法(4)中.,28,求方程xex-1=0在0.5附近的根,精度要求=10-3。,可以验证方程xex-1=0在区间0.5,0.61内仅有一个根。,例7,改写方程为x=e-x,建立迭代格式,由于(x)=e-x,在0.5,0.61上有|(x)|e-0.50.6 1,且(x)0.5,0.61,所以迭代法收敛。,取x0=0.5,得,解,29,所以,取近似根x10=0.56691满足精度要求
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