数值分析中的(插值法).ppt
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1、数值分析第二章插值法,8 三次样条插值,2 Lagrange插值,1 引言,7 分段低次插值,6 Hermite插值,5 差分与等距节点插值公式,4 均差与Newton插值公式,3 逐次线性插值法(自学),9 评述,第二章 插 值 法,数值分析第二章插值法,第一节 引 言,一、一个实例,那么如何计算?,数值分析第二章插值法,二、插值问题的一般性提法,即简单函数P(x)的曲线要经过 上已知的n+1个点,数值分析第二章插值法,同时在其它点 上估计误差为,数值分析第二章插值法,若p(x)是次数不超过n的代数多项式,即(2.12)则称p(x)为插值多项式,相应的插值法称为多项式插值。若p(x)为分段多
2、项式,就是分段插值。若p(x)为三角多项式,就是三角插值,还有有理插值等。本章主要讨论多项式插值与分段插值。,注:插值法还有其他许多用途,如函数的近似表示;曲线曲面拟合;导出其它数值方法的依据(导出数值积分、数值微分、微分方程数值解)等。,数值分析第二章插值法,若满足条件的 存在,又如何构造?,三、多项式插值问题中需要研究的问题,满足插值条件的多项式 是否存在?唯一?,用 近似代替 的误差估计?,数值分析第二章插值法,定理1 设节点xi(i=0,1,n)互异,则满足插值条件Pn(xi)=yi 的次数不超过n的多项式存在且唯一。,下面先研究第一个问题,定理1不仅解决了问题1,其证明过程也给出了问
3、题2求插值多项式的一种方法。但一般不用这种方法,因为范得蒙矩阵一般是病态的。即使求解过程是精确的,多项式求值的误差也是可观的。,数值分析第二章插值法,拉格朗日插值多项式的优缺点,截断误差,拉格朗日插值多项式,数值实例,第二节 拉格朗日插值,数值分析第二章插值法,一、拉格朗日插值多项式,其中,1.两个互异节点(x0,y0),(x1,y1),且满足:,数值分析第二章插值法,2.三个节点(x0,y0),(x1,y1),(x3,y3),其中:,令,满足:,数值分析第二章插值法,3.有n+1个互异节点(x0,y0),(x1,y1)(xn,yn),我们称n次多项式Ln(x)为拉格朗日插值多项式,Li(x)
4、为插值基函数。,数值分析第二章插值法,注:(1)插值基函数l i(x)(i=0,1,n)仅由插值节点xi(i=0,1,n)确定,与被插函数 f(x)无关.,(3)对于插值节点,只要求它们互异,与大小次序无关。,(2)以 xi(i=0,1,n)为插值节点,函数 f(x)1作插值多项式,则由插值多项式的唯一性立即得到基函数的一个性质,数值分析第二章插值法,数值分析第二章插值法,关于截断误差Rn(x)=f(x)-Ln(x)有下面定理。,定理2 设f(x)在区间a,b上存在n+1 阶导数,xia,b(i=0,1,n)为n+1个互异节点,则对任何x a,b,有,且与x 有关),二、截断误差(插值余项),
5、数值分析第二章插值法,证 由插值条件和n+1(x)的定义,当x=xk 时,式子显然成立。且x0,x1,xn 都是函数n+1(x)的零点,也是Rn(x)的零点,从而 Rn(x)可表示为,其中K(x)是待定函数。,对于任意固定的xa,b,xxk,构造自变量t 的辅助函数,数值分析第二章插值法,由式 n+1(xk)=0 和式 Ln(xk)=yk(k=0,1,n),以及,可知:x0,x1,xn和x是(t)在区间a,b上的n+2个互异零点,因此根据罗尔(Rolle)定理,至少存在一点=(x)(a,b),使,即,所以,数值分析第二章插值法,数值分析第二章插值法,例 已知 sin0.32=0.314567,
6、sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用Lagrange插值计算sin0.3367的值,并估计截断误差。,解:f(x)=sinx,取,三、数值实例,数值分析第二章插值法,于是有,可以发现,结果与有六位有效数字的sin x表完全一致。,数值分析第二章插值法,截断误差为其中 故有,数值分析第二章插值法,记,数值分析第二章插值法,四、Lagrange插值公式优缺点,优点:结构清晰、紧凑,适用于作理论分 析;,缺点:当节点个数有所变动,整个插值公式发生变化,在实际应用时不方便。,数值分析第二章插值法,第四节均差与牛顿插值公式,数值分析第二章插值法,一、差商及其基本性质,英
7、1642-1727,数值分析第二章插值法,差商的计算步骤与结果可列成差商表如下:,数值分析第二章插值法,表41,数值分析第二章插值法,性质1 差商可以表示为函数值的线性组合,即,数值分析第二章插值法,性质2 若f(x)在a,b上存在n阶导数,且节点x0,x1,xn a,b,则至少存在一点 a,b 满足下式,例1 f(x)=-6x8+7x5-10,求f 1,2,9及f 1,2,10.,解 f(8)(x)=-68!,f 1,2,9=-6,f(9)(x)=0,f 1,2,10=0.,数值分析第二章插值法,二、牛顿插值多项式,设x是a,b上一点,由各阶差商定义得,数值分析第二章插值法,依次把后式代入前
8、式,最后得,其中:最后一项中,差商部分含有x,为余项部分,记作Rn(x);而前n+1项中,差商部分都不含有x,因而前n+1项是关于x 的n次多项式,记作Nn(x)。,数值分析第二章插值法,可见,Nn(x)为次数不超过n 的多项式,且易知 Rn(xi)=0 即 Nn(xi)=yi,(i=0,1,n)满足插值条件,称Nn(x)为牛顿均差插值多项式。,由插值多项式的唯一性知:Ln(x)Nn(x),即:,数值分析第二章插值法,余项公式,数值分析第二章插值法,数值分析第二章插值法,三、拉格朗日插值与牛顿插值的比较,(1)与 均是n次多项式,且均满足插值条件:由插值多项式的唯一性,因而两个公式的余项是相等
9、的,即,数值分析第二章插值法,则可知n 阶差商与导数的关系如下(性质2):,(2)当插值多项式从 n-1 次增加到n 次时,拉格朗日型插值必须重新计算所有的所有的插值基函数;而对于牛顿型插值,只需用表格再计算一个n阶差商,然后加上一项即可。节省计算量,便于编程。,(3)牛顿型插值余项公式对是由离散点给出或导数不存在时均适用。因此更具一般性。,数值分析第二章插值法,五、数值实例,例1 根据下表建立不超过三次的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式,并验证插值多项式的唯一性。,例2 教材P24例2.3,数值分析第二章插值法,数值分析第二章插值法,解 从均差表看到四阶均差近似常数。故取四次牛顿插值多项式
10、N4(x)做近似即可,数值分析第二章插值法,第五节 差分与等距节点插值公式,差分及其性质,等距节点的Newton向前插值公式,等距节点的Newton向后插值公式,数值实例,数值分析第二章插值法,一、差分及其性质,数值分析第二章插值法,一阶向前差分:,(一)差分的概念,二阶向前差分:,注:称为向前差分算子,表示向后差分算子。各阶差分可用下表表示。,n 阶向前差分:,数值分析第二章插值法,数值分析第二章插值法,除差分算子外,常用的算子符号还有:不变算子I:;移位算子E:由上面各种算子的定义可得算子间的关系:由可得,同理可得,数值分析第二章插值法,(二)差分的性质(步长均为h),性质1:各阶差分均可
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- 数值 分析 中的 插值法
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