数值分析20定积分计算与积分和式.ppt

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1、定积分计算与积分和式插值型求积公式求积公式的代数精度复合梯形公式MATLAB求积分命令,数值分析 20,椭圆:,x=a cos t y=b sin t,0 t 2,2/18,其中,周长:,问题:1.定积分与线积分的计算?2.重积分的数值计算?3.椭球面积的计算？4.由离散数据计算三维体积？,3/18,4/18,定积分与积分和式,右矩形和,5/18,左矩形 梯形 右矩形4.4429 4.8669 5.29084.6804 4.8924 5.10444.8139 4.8987 4.98354.8572 4.8996 4.9420,数值求积公式的一般形式,Rf 数值求积公式余项x0,x1,xn 求积

2、结点A0,A1,An 求积系数,例1.梯形公式:,6/18,A0=(b a)/2A1=(b a)/2,插值型求积公式对 a，b做分划:a x0 x1 x2 xnb,令,7/18,Lagrange插值,插值型求积公式的余项,例2.梯形公式的误差(余项),即,8/18,例3.取 x0=a,x1=0.5(a+b),x2=b,则 h=0.5(b a),A0=(b-a)/6A1=2(b-a)/3A2=(b-a)/6,即著名的 Simpson 公式,9/18,定义:对不高于m次的多项式P(x),求积公式余项,10/18,(n+1)点插值型求积公式代数精度至少为n阶.,所以,Rxk=0,(k=0,1,2,n

3、),类似有:Simpson公式具有3阶代数精度,对于n次Lagrange插值基函数,有恒等式,11/18,解:取f(x)=1,x,x2 若求积公式准确成立,则有,容易验证,对f(x)=x3 求积公式式不能准确成立.因此这一公式只具有2次代数精度,12/18,取等距结点xj=a+jh时,插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,定理:当n为偶数时,n阶Newton-Cotes公式至少有(n+1)阶代数精确度。,Newton-Cotes公式代数精度至少为n,13/18,复合梯形求积公式,将积分区间a,b n 等分.取 h=(b-a)/n.xj=a+jh,14/18,15/18,取,递推，得,

4、给定允许误差界0,当,时，结束计算并以T2n作为定积分的近似值.,16/18,T1 T2 T4 Tn T2n,f=inline(sqrt(7782.5*sin(x).2+59621550*cos(x).2);T=0.25*pi*(f(0)+f(pi/2);n=1;h=pi/2;e=1;k=0;while e0.01 s=0.5*(T+h*sum(f(.5*h:h:pi/2);e=abs(s-T);T=s;n=2*n;h=h/2;k=k+1end4*T,ans=4.8707e+004,(循环次数k=2),复合梯形公式计算,17/18,L=48707(公里),MATLAB求定积分命令 quad(fun,a,b),高阶求积分命令q=quad8(fun,a,b)重积分计算命令dblquad(fun,inmin,inmax,outmin,outmax),18/18,f=inline(x.3./(exp(x)-1);q(1)=quad(f,eps,1);for k=1:4 q(k+1)=q(k)+quad(f,k,k+1);end,