数值分析-第3章函数逼近与快速傅里叶变换.ppt
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1、2023/10/14,课件,1,第3章 函数逼近与快速傅里叶变换,3.1 函数逼近的基本概念3.2 正交多项式3.3 最佳平方逼近3.4 曲线拟合的最小二乘法3.5 有理逼近3.6 三角多项式与快速傅里叶变换,2023/10/14,课件,2,3.1 函数逼近的基本概念,函数逼近与函数空间,1、数值计算中经常要计算函数值,如计算机中计算 基本初等函数及其他特殊函数;,2、当函数只在有限点集上给定函数值,要在包含该 点集的区间上用公式给出函数的简单表达式.,问题,2023/10/14,课件,3,插值法就是函数逼近问题的一种.,记作,,本章讨论的函数逼近,是指“对函数类 中给定的函数,中求函数,,使
2、 与 的误差在某种度量,要在另一类简单的便于计算的函数类,意义下最小”.,函数类 通常是区间 上的连续函数,记作,,称为连续函数空间.,2023/10/14,课件,4,函数类 通常为 次多项式,有理函数或分段低次多项式等.,2023/10/14,课件,5,类似地,记 为具有 阶连续导数的函数空间.,记作.,对次数不超过(为正整数)的实系数多项式全体,,2023/10/14,课件,6,定义1,设集合 是数域 上的线性空间,元素,如果存在不全为零的数,,(1.1),则称 线性相关.,否则,若等式(1.1)只对 成立,,则称 线性无关.,使得,2023/10/14,课件,7,系数 称为 在基,并称空
3、间 为 维空间,,若线性空间 是由 个线性无关元素 生成的,,即对 都有,则 称为空间 的一组基,,记为,下的坐标,,记作,2023/10/14,课件,8,(1.2),它由 个系数 唯一确定.,考察次数不超过 次的多项式集合,,它是 的一组基,,是线性无关的,,且 是 的坐标向量,是 维的.,表示为,其元素,故,2023/10/14,课件,9,使误差,(为任给的小正数),,这就是著名的魏尔斯特拉斯定理.,2023/10/14,课件,10,使,定理1,在 上一致成立.,伯恩斯坦1912年给出的证明是一种构造性证明.,他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式,(1.3),2023/10/14,
4、课件,11,为二项式展开系数,并证明了,在 上一致成立;,若 在 上 阶导数连续,则,其中,这个结果不但证明了定理1,而且由(1.3)给出了 的一个逼近多项式,但它收敛太慢,实际中很少使用.,2023/10/14,课件,12,更一般地,可用一组在 上线性无关的函数集合,来逼近,,可表示为,(1.4),此时元素,2023/10/14,课件,13,范数与赋范线性空间,为了对线性空间中元素大小进行衡量,需要引进范数定义,它是 空间中向量长度概念的直接推广.,2023/10/14,课件,14,定义2 设 为线性空间,若存在唯一实数,满足条件:,(1)当且仅当 时,(正定性),(2)(齐次性),(3)(
5、三角不等式),则称为线性空间 上的范数,与一起称为赋范线性空间,记为,2023/10/14,课件,15,例如,在 上的向量 三种常用范数为,称为 范数或最大范数,,称为 1-范数,,称为 2-范数.,2023/10/14,课件,16,而满足1=1 的向量 则为对角线长度为1的菱形.,在 中,满足2=1,即 的向量为单位圆,,满足=1,即 的向量为单位正方形,,2023/10/14,课件,17,所以说,范数是对向量长度的度量,度量方式不同,,结果也不一样,但不同范数之间是存在等价关系的.,2023/10/14,课件,18,类似地,对连续函数空间,若,称为 范数,,称为 1-范数,,称为 2-范数
6、.,可以验证这样定义的范数均满足定义2中的三个条件.,可定义三种常用范数如下:,2023/10/14,课件,19,内积与内积空间,若将它推广到一般的线性空间,则有下面的定义.,(1.5),2023/10/14,课件,20,定义3,则称 为X上 与 的内积.,2023/10/14,课件,21,定义中(1)的右端 称为 的共轭,,当K为实数域R时.,如果,则称 与 正交,这是向量相互垂直概念的推广.,定义了内积的线性空间称为内积空间.,2023/10/14,课件,22,定理2,对 有,(1.6),称为柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式.,证明,当 时(1.6)式显然成立.,现设,,
7、则,,且对任何数 有,取,,设X为一个内积空间,,代入上式右端,得,2023/10/14,课件,23,即得 时,2023/10/14,课件,24,定理3,(1.7),称为格拉姆(Gram)矩阵,,则 非奇异的充分必要条件是 线性无关.,设X为一个内积空间,,矩阵,2023/10/14,课件,25,证明,只有零解;,(1.9),(1.8),而,2023/10/14,课件,26,从以上等价关系知,,而后者等价于从(1.9)推出,即 线性无关.,在内积空间X上,可以由内积导出一种范数,即对于,(1.10),等价于从(1.8)推出,记,2023/10/14,课件,27,两端开方即得三角不等式,(1.1
8、1),利用,2023/10/14,课件,28,例1,与 的内积.,设,(1.12),向量2-范数为,2023/10/14,课件,29,相应的范数为,(1.13),若给定实数,称 为权系数,,当 时,,上的加权内积为,(1.13)就是前面定义的内积.,2023/10/14,课件,30,如果,,(1.14),这里 仍为正实数序列,为 的共轭.,在 上也可以类似定义带权内积.,带权内积定义为,2023/10/14,课件,31,定义4,(1)存在且为有限值,(2)对 上的非负连续函数,如果,则称 为 上的一个权函数.,则,2023/10/14,课件,32,例2,设,是 上给定的权函数,(1.15),由
9、此内积导出的范数为,称(1.15)和(1.16)为带权 的内积和范数.,上的内积.,则可定义内积,(1.16),2023/10/14,课件,33,常用的是 的情形,即,2023/10/14,课件,34,若 是 中的线性无关函数族,,(1.17),根据定理3可知 线性无关的充要条件是,它的格拉姆矩阵为,记,2023/10/14,课件,35,函数逼近主要讨论给定,求它的最佳逼近多项式的问题.,最佳逼近,若 使误差则称 是 在 上的最佳逼近多项式.,若 则称相应的 为最佳逼近函数.,通常将范数 取为 或,2023/10/14,课件,36,若取,即,(1.18),则称 是 在 上的最优一致逼近多项式.
10、,求 就是求 上使最大误差 最小的多项式.,2023/10/14,课件,37,若取,即,则称 是 在 上的最佳平方逼近多项式.,(1.19),若 是 上的一个列表函数,在 上给出,要求 使,则称 为 的最小二乘拟合.,(1.20),2023/10/14,课件,38,3.2 正交多项式,正交函数族与正交多项式,定义5,(2.1),则称 与 在 上带权 正交.,2023/10/14,课件,39,若函数族 满足关系,则称 是 上带权 的正交函数族.,若,则称之为标准正交函数族.,(2.2),2023/10/14,课件,40,三角函数族,就是在区间 上的正交函数族.,定义6,2023/10/14,课件
11、,41,(2.3),只要给定区间 及权函数,均可由一族线性无关的幂函数 利用逐个正交化手续构造出正交多项式序列:,2023/10/14,课件,42,正交多项式 的最高次项系数为1.而若 是正交多项式,则 在 上是线性无关的.,事实上,若,用 乘上式并积分得,2023/10/14,课件,43,利用正交性有,(1)任何 均可表示为 的线性组合.即,由于,故即 线性无关.,关于正交多项式,有,2023/10/14,课件,44,(2)与任一次数小于 的多项式 正交.即,除此之外,还有,2023/10/14,课件,45,这里,定理4 设 是 上带权 的正交多项式,对 成立关系,(2.4),其中,2023
12、/10/14,课件,46,定理5 设 是 上带权 的正交多项式,则 在区间 内有 个不同的零点.,证明 假定 在 内的零点都是偶数重的,则 在 符号保持不变,这与,矛盾.故 在 内的零点不可能全是偶数重的,现设 为 在 内的奇数重零点,不妨设,则 在 处变号.,2023/10/14,课件,47,令,于是 在 上不变号,则得,若,由 的正交性可知,这与 矛盾,故.而 只有 个零点,故,即 个零点都是单重的.,2023/10/14,课件,48,勒让德多项式,罗德利克(Rodrigul)给出了简单的表达式,(2.5),2023/10/14,课件,49,由于 是 次多项式,,所以对其求 阶导数后得,最
13、高项系数为1的勒让德多项式为,(2.6),于是得首项 的系数,2023/10/14,课件,50,勒让德多项式重要性质:,性质1,(2.7),证明,令,则,设 是在区间 上 阶连续可微的函数,由分部积分知,正交性,2023/10/14,课件,51,下面分两种情况讨论:,(1)若 是次数小于 的多项式,,则,故得,2023/10/14,课件,52,则,(2)若,于是,由于,故,2023/10/14,课件,53,性质2,(2.8),由于 是偶次多项式,经过偶次求导仍为偶次多项式,经过奇次求导则为奇次多项式,故 为偶数时 为偶函数,为奇数时 为奇函数,于是(2.8)成立.,奇偶性,2023/10/14
14、,课件,54,性质3,考虑 次多项式,两边乘 并从-1到1积分,,递推关系,它可表示为,得,故得,2023/10/14,课件,55,当 时,,其中,左端积分仍为0,,故,于是,为奇函数,,2023/10/14,课件,56,由,从而得到以下的递推公式,(2.9),利用上述递推公式就可推出,2023/10/14,课件,57,图3-1,图3-1给出了 的图形.,2023/10/14,课件,58,在区间 内有 个不同的实零点.,性质4,2023/10/14,课件,59,切比雪夫多项式,当权函数,区间为 时,由序列 正交化得到的正交多项式就是切比雪夫(Chebyshev)多项式.,它可表示为,(2.10
15、),若令,,则,2023/10/14,课件,60,性质1,切比雪夫多项式有很多重要性质:,这只要在三角恒等式,中,,令 即得.,递推关系,(2.11),2023/10/14,课件,61,由(2.11)可推出,的函数图形见图3-2.,2023/10/14,课件,62,图3-2,由递推关系(2.11)还可得到 的最高次项系数是,2023/10/14,课件,63,性质2,(2.12),令,,则,,于是,2023/10/14,课件,64,若令,则 是首项系数为1的切比雪夫多项式.,性质4,在区间 上有 个零点,性质3,这个性质由递推关系直接得到.,性质5 的首项 的系数为,2023/10/14,课件,
16、65,若记 为所有次数小于等于 的首项系数为1的多项式集合,对 有以下性质:,定理6 设 是首项系数为1的切比雪夫多项式,则,且,2023/10/14,课件,66,定理6表明在所有首项系数为1的 次多项式集合 中,所以 是 中最大值最小的多项式,即,(2.13),利用这一结论,可求 在 中的最佳(一致)逼近多项式.,2023/10/14,课件,67,由定理6可知,,多项式 与零偏差最小,,解,由题意,所求最佳逼近多项式 应满足,当,时,,故,例3,2023/10/14,课件,68,就是 在 上的最佳2次逼近多项式.,由于切比雪夫多项式是在区间 上定义的,对于一般区间,要通过变量替换变换到,可令
17、,(2.14),则可将 变换到,2023/10/14,课件,69,切比雪夫多项式 在区间 上有 个零点,切比雪夫多项式零点插值,和 个极值点(包括端点),这两组点称为切比雪夫点,它们在插值中有重要作用.,2023/10/14,课件,70,从图3-3可以看到切比雪夫点恰好是单位圆周上等距分布点的横坐标,这些点的横坐标在接近区间 的端点处是密集的.,图3-3,利用切比雪夫点做插值,可使插值区间最大误差最小化.,设插值点 为相应的 次拉格朗日插值多项式,则余项,2023/10/14,课件,71,于是,其中,是由被插函数决定的.,如果插值节点为 的零点,2023/10/14,课件,72,则由(2.13
18、)可得,由此可导出插值误差最小化的理论.,定理7 设插值节点 为切比雪夫多项式 的零点,被插函数 为相应的插值多项式,则,(2.15),2023/10/14,课件,73,对于一般区间 上的插值只要利用变换(2.14)则可得到相应结果,此时插值节点为,2023/10/14,课件,74,例4 求 在 上的四次拉格朗日插值多项式,插值节点用 的零点并估计误差,解 利用 的零点和区间变换可知节点,即,对应的拉格朗日插值多项式为,2023/10/14,课件,75,利用(2.15)可得误差估计,而,于是有,2023/10/14,课件,76,在第2章中曾经指出,高次插值会出现龙格现象,一般 不收敛于,因此并
19、不适用.但若用切比雪夫多项式零点插值却可避免龙格现象,可保证整个区间上收敛.,2023/10/14,课件,77,例5 设,在 上利用 的零点作插值点,构造10次拉格朗日插值多项式.与第2章得到的等距节点造出的 近似 作比较.,解 在 上的10次切比雪夫多项式 的零点为,作变换 它们是 内的插值点,由此得到 在 上的拉格朗日插值多项式,2023/10/14,课件,78,的图形见图3-4,从图上可见 没有出现龙格现象.,图3-4,2023/10/14,课件,79,其他常用的正交多项式,区间 及权函数 不同,则得到的正交多项式也不同.,除上述两种最重要的正交多项式外,下面是三种较常用的正交多项式.,
20、1.第二类切比雪夫多项式,在区间 上带权 的正交多项式称为第二类切比雪夫多项式.,2023/10/14,课件,80,表达式为,(2.16),令,,即 是 上带权 的正交多项式族.,可得,2023/10/14,课件,81,递推关系,2023/10/14,课件,82,2.拉盖尔多项式,在区间 上带权 的正交多项式称为拉盖尔(Laguerre)多项式.,其表达式为,(2.17),正交性质,2023/10/14,课件,83,递推关系,2023/10/14,课件,84,表达式,(2.18),正交关系,3.埃尔米特多项式,2023/10/14,课件,85,递推关系,2023/10/14,课件,86,3.3
21、 最佳平方逼近,2023/10/14,课件,87,最佳平方逼近及其计算,对 及 中的一个子集,若存在,使,(3.1),则称 是 在子集 中的最佳平方逼近函数.,2023/10/14,课件,88,由(3.1)可知该问题等价于求多元函数,(3.2),的最小值.,是关于 的二次函数,,即,利用多元函数求极值的必要条件,2023/10/14,课件,89,于是有,(3.3),这个关于 的线性方程组,称为法方程.,由于 线性无关,故,于是方程组(4.3)有唯一解,从而得到,2023/10/14,课件,90,即对任何,下面证明 满足(3.1),,(3.4),为此只要考虑,有,2023/10/14,课件,91
22、,由于 的系数 是方程(3.3)的解,,从而上式第二个积分为0,,故(3.4)成立.,这就证明了 是 在 中的最佳平方逼近函数.,故,于是,2023/10/14,课件,92,若令,(3.5),则平方误差为,2023/10/14,课件,93,此时,若用 表示 对应的矩阵,,(3.6),称为希尔伯特(Hilbert)矩阵.,即,2023/10/14,课件,94,记,(3.7),的解 即为所求.,则,2023/10/14,课件,95,例6,设,解,得方程组,利用(3.7),得,2023/10/14,课件,96,解之,故,平方误差,最大误差,2023/10/14,课件,97,用正交函数族作最佳平方逼近
23、,设,若 是满足条件(2.2)的正交函数族,,而,故法方程(3.3)的系数矩阵,则,2023/10/14,课件,98,为非奇异对角阵,,(3.8),于是 在 中的最佳平方逼近函数为,(3.9),且方程(3.3)的解为,2023/10/14,课件,99,由(3.5)可得均方误差为,(3.10),由此可得贝塞尔(Bessel)不等式,(3.11),2023/10/14,课件,100,若,,按正交函数族 展开,,(3.12),称这个级数为 的广义傅里叶(Foureir)级数,,讨论特殊情况,设 是正交多项式,可由 正交化得到,则有下面的收敛定理.,得级数,系数,按(3.8)计算,,系数,称为广义傅里
24、叶系数.,它是傅里叶级数的直接推广.,2023/10/14,课件,101,定理8,设,考虑函数,(3.13),则有,展开,,由(3.8),(3.9)可得,按勒让德多项式,2023/10/14,课件,102,根据均方误差公式(3.10),平方误差为,(3.15),由定理8可得,其中,(3.14),2023/10/14,课件,103,如果 满足光滑性条件,还有 一致收敛于 的结论.,公式(2.6)给出了首项系数为1的勒让德多项式,,定理9,则对任意 和,当 充分大时有,设,由(3.13)给出,,它具有以下性质.,2023/10/14,课件,104,证明,定理10,勒让德多项式 在 上与零的平方误差
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