数值分析06-一致逼近.ppt

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1、阜师院数科院第六章 函数逼近,6-1,第六章,函数逼近（最佳一致逼近）,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-2,第六章目录,1 最小二乘法原理和多项式拟合2 一般最小二乘拟合 2.1线性最小二乘法的一般形式 2.2非线性最小二乘拟合3 正交多项式曲线拟合 3.1离散正交多项式 3.2用离散正交多项式作曲线拟合4 函数的最佳平方逼近5 最佳一致逼近,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-3,5 最佳一致逼近多项式,（达到最小），这就是最佳一致逼近（不要产生最大误差，均匀一些），通常仍 然取(x)为多项式，即求多项式(x)使残差：绝对值的最大值 达到最小。或可写为：在H中求满足(x)（f 的逼近函数(x

2、)）：,即在H中(x)与f(x)之差的绝对值的最大值是最小的，H中任一(x)与f(x)之差的绝对值的最大值都比它大，这样的(x)为f(x)在H中的最佳一致逼近函数。,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-4,最佳一致逼近多项式（续）,特别：若,则满足上面关系式的,称为f(x)在a,b上的n次最佳一致逼近多项式。,偏差点：,则称x0为(x)的偏差点，偏差点为正，称为正偏差点，偏差点为负，称为负偏差点,可以从下面例中理解有关概念。,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-5,引例,例如：要求区间0,1上y=arctgx的一次近似式可以有多种方法：,（1）Talor公式：tg1x x,误差R(x)=tg1x-

3、x，在x=0附近很小，x=1时误差最大，R(x)|x=1=0.2146；,（2）插值:x=0,1作节点=L1(x)=x/4，tg1x x/4，其误差在,处，即在1附近较大为0.0711；,（3）最小二乘法（例10 4中）,误差在x=1处最大为0.0493（比前二式误差小）。,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-6,问题：由最小二乘法得到的arctgx0.0429+0.7918x是在最小二乘意义下的最佳逼近多项式，是不是最好的？这里“最好”的标准是什么？这个标准就是“一致逼近”的概念，它应使最大偏差尽可能小（或者说达到最小）。,引例（续1）,0,1上y=tg1x的近似一次式就是曲线y=tg1的近似

4、直线，图6-3中，OA为arctgx的曲线，OA为OA的弦，CB为平切线，F为切 点，作为近似直线：OA是不是最好的？回答是否定的！在x=处产生较大偏差或者说误差最大。那么CB是不是最好的？结论仍然是否定的！,几何上：如图6-3，,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-7,引 例（续2）,在x=0，x=1处产生较大偏差不仅如此：作DE（OA与CB的中线），在OA到DE间，CB到DE间直线都不是最好的，若最好的近似直线在OA到DE间，必然在x=处产生较大偏差，若在CB到DE间则必然在x=0及x=1处产生较大偏差。只有DE才是符合这里“标准”的最好近似直线（误差均匀），不产生最大偏差标准下的使最大偏差

5、达到了最小。这样的DE如何求：设为a0+a1x，误差R(x)=arctgx-a0-a1x。R(x)在x=0,1这三点处绝对值最大，别的地方误差不会比这三点处的误差大，（图上清楚）。在x=0处，直线在上，曲线在下；而R(x)在x=处曲线在上，直线在下，R(x)的符号正负相间；在 x=1处，直线在上，曲线在下；可假定最大偏差值为E，则有：,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-8,引 例（续3）,此近似式在x=处（几何直观）误差最大为E=0.0356，比前面得到任何一次近似式的最大误差都小。,好的近似直线：偏差均匀（一样大），即在0,1三个点（偏差点）处偏差值相同且最小。所以可利用偏差点使偏差值最小，

6、例题说明：一次最佳一致逼近多项式容易求，因为偏差点偏差能找到。,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-9,最佳一致逼近概念（按偏差）,按偏差，最佳一致逼近问题为：,在n次多项式中，求一个,与其它任一个n次多项式(x)对f(x)的偏差,相比较是最小的，亦即：,其最小值,称为最小偏差，(x)是f(x)在a,b上的n次最佳一致逼近多项式。下面的切比雪夫定理表明：这样的最佳一致逼近多项式 是唯一存在的这个理论问题。,(x)，在a,b上使(x)对f(x)的偏差,也可写作：对于Hn（n次多项式的集合）中不同的(x)，有不同的偏差值,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-10,切比雪夫定理,定理6.6,Pn(x)H

7、n是f(x)Ca,b的最佳一致逼近多项式的充要条件是Pn(x)在a,b上至少有n+2个不同的依次轮流为正，负的偏差点（这些点称为切比雪夫交错点组）。,切比雪夫定理给出了最佳一致逼近多项式的特征，性质，在最佳一致逼近理论中起着重要作用。,推论1,如果f(x)Ca,b，则在Hn中存在唯一的最佳一致逼近多项式。,设f(x)Ca,b，则f(x)在Hn中的最佳一致逼近多项式Pn(x)，就是f(x)在a,b上的某个n次Lagrange插值多项式。,推论2,（推论2证明下屏）,（n+2个点是唯一的）,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-11,推论3,设f(x)在(a,b)内的n+1阶导数存在，且f(n+1)(

8、x)定号或为正（为负），则区间端点a,b都属于f(x)的n次最佳一致逼近多项式的那n+2个偏差点。,Pn(x)有n+2个偏差点，亦即使f(x)Pn(x)在a,b上至少有n+2个点交替换正负号，亦就是说f(x)Pn(x)=0在a,b上有n+1个根存在n+1个点：a x0 xn b使f(xi)Pn(xi)=0 即：f(xi)=Pn(xi)(i=0,1,2,n),所以，以此作为插值条件可得到Pn(x)，因此，Pn(x)就是以x0,x1,xn为插值节点的n次值多项式。,切比雪夫定理（续1）,切比雪夫定理不仅给出了最佳一致逼近多项式的特征，并从理论上给出了寻找最佳一致逼近多项式的方法：,（紧接下屏）,阜

9、师院数科院第六章 函数逼近,6-12,切比雪夫定理（续2）,则Pn(x)的n+1个系数a0,a1,an，最小偏差值En及n+2个偏差点a x0 x1xn+1 b，一共2n+4个未知数，应满足方程组：,对第一个方程是利用偏差点：两边开方有（k=0为正，k=1为负），轮流下去；而第二个方程中：xk或为左端点，xk或为右端点，xk或为极值点（偏差极值点）。解方程组较困难，因此仅是从理论上解决了寻求最佳一致逼近多项式的方法。,设f(x)在（a,b）内可微，其最佳一致逼近多项式为：,对于引例：n=1时，已有了n+2=3个偏差点中的2个（区间a,b的两个端点a、b为偏差点）仅需确定a0,a1,En及一个偏

10、差点（n=1：2n+4本应为6个未知数和6个方程，因为已有两个已知，所以剩下4个参数，仅需4个方程确定）,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-13,零次最佳一致逼近多项式,但对于n=0的P0(x)有：P0(x)=(M+m)/2（6-14）其中M、m分别为f(x)的最大值和最小值。f(x)Ca,b，由闭区间上连续函数性质；在a,b上存在两点x1,x2使f(x1)=M,f(x2)=m，即：x1,x2为偏差点（负,正）使：,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-14,一次最佳一致逼近多项式,对n=1的最佳一致逼近多项式P1(x)有：设f(x)在a,b上二阶可微，且f(x)在(a,b)内定号（设为正），下面

11、求P1(x)=a0+a1x.,由切比雪夫定理，在a,b上存在三个偏差点，设为x0,x1,x2，设最小偏差为E，有f(xi)-P1(xi)=E（i=0,1,2）f(x)0(0)定号即在a,b上不变号，保持凹（凸），故f(x)在a,b上单调增（减）。在（a,b）内只有一个零点x1(x0,x2取a,b两点，（只剩 一个）也就是唯一的一个偏差点（极值点）使f(x1)P(x1)=0,（紧接下屏）,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-15,一次最佳一致逼近多项式（续）,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-16,一次最佳一致逼近多项式举例,例11,解设P1(x)=a0+a1x是f(x)的最佳致逼近一次式。由定理

12、6.6函数P1(x)在0,1上至少有三个等幅振动点，设为0 x1x2 x3 1，由于,求 在0,1上的一次最佳一致逼近多项式。,在(0,1)上单调减少，且仅有一驻点，故f(x)P1(x)在(0,1)内只有一个偏差点x2，它满足,另两个偏差点为x1=0,x3=1于是,所以：,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-17,例11（续）,将（6-16）(6-17）(6-18)联立求解得：a1=1,x2=1/4,a0=1/8。所以,在0,1上,的一次最佳一致逼近多项式为:,如图6-4所示，,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-18,切比雪夫插值法,对定义在任意区间a,b上的函数f(x)，作变换：,即可将定义在

13、a,b上的f(x)，化为定义在-1，1上的函数g(t)：,因此，下面仅对区间-1，1进行讨论。,切比雪夫插值法是将切比雪夫多项式的性质与插值结合，来求出函数的近似的最佳一致逼近多项式。其基本思想是：,上面已谈到最佳一致逼近多项式难求，下面讨论求近似的最佳一致逼近多项式。,（紧接下屏）,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-19,切比雪夫插值法（续1）,以切比雪夫多项式Tn+1(x)的n+1个零点：为节点构造f(x)的n次插值多项式n(x)，而以n(x)作为n次最佳一致逼近多项式的近似。,定理6.7（切比雪夫性质）设H为最高项系数为1的n次多项式的集合，则有,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-20,

14、由切比雪夫多项式的性质，在-1，1上在n+1个偏差点（极值点）：,证明）用反证法）：假设存在 使得：,因为 于是 令：,处有：,（紧接下屏）,定理6.7（切比雪夫性质）证明,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-21,即在n+1个偏差点处Q(x)轮流取上负值，因此由连续函数介值定理，在-1，1上应具有n个零点。但：和Pn(x)都是最高次项系数为1的n次多项式，Q(x)作为它们的差，至少是n-1次多项式，不可能有n个零点，所以定理得证。,因此有：,定理6.7证明（续）,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-22,切比雪夫插值法（续4）,因此，对于-1，1上的f(x)，若以Tn+1(x)的n+1个零点作n

15、次插值多项式n(x)，其插值余项为：,（紧接下屏）,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-23,切比雪夫插值法（续5）,这表明以 n(x)作n次插值多项式，比采用其它n+1个节点插值所产生的误差都要小，因而n次切比雪夫插值多项式可作为n次最佳一致逼近多项式的近似。,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-24,切比雪夫插值法步骤,用切比雪夫插值法求f(x)在a,b的n次最佳一致逼近多项式n(x)的步骤为：1.变换区间a,b-1,1（切比雪夫多项式定义在-1,1上）,2.,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-25,求三次逼近多项式举例,例9,分别用Taylor展开，Newton插值及Chbyshev插值求f

16、(x)=xex在0,1.5上的三次逼近多项式。,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-26,例9解（2）Newton插值,三次Newton插值多项式为：,其误差为：,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-27,例9解（3）Chebyshev插值,以xk(k=0,1,2,3)为节点求插值多项仍用Newton插值计算，结果见下表：,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-28,例9解（3）Chebyshev插值（续1）,所以三次最佳一致逼近多项式为：,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-29,例10,上的三次最佳一致逼近多项式。,分析：要求f(x)的最佳一致逼近多项式p3(x),即要使,达到最小此时,也达到最小,

17、是首项系数为1的四次多项式,考虑到,由切比雪夫性质（定理6.7）知道，当取,为首项系数为1的四次切比雪夫多项式 时，,上与0的偏差最小。,于是可取,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-30,例10（续）,一般地，在区间-1，1上首项系数为an的n次多项式f(x)的n-1次最佳一致逼近多项式,-1，1 上首项系数为1的n次切比雪夫多项式,若区间为a，b可,1.先做区间变换:,2.,3.最后得到f(x)的n-1次最佳一致逼近多项式,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-31,第六章,结 束,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-32,上机练习题：不同拟合模型的比较,已知观测数据如下表所示，按下述方案求最小二乘拟合函数，并求出偏差平方和Q，比较拟合曲线的优劣。,方案I 拟合函数取为如下形式的三次多项式：,方案II 用离散正交多项式求三次拟合多项式,方案III 用离散正交多项式求四次拟合多项式,方案IV 拟合函数取为如下形式的函数：,阜师院数科院第六章 函数逼近,6-33,观测数据表,