教师培训课件：数学学习的理论探讨.ppt

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1、数学学习的理论选讲,一、教师成为研究者,20世纪80年代以来，教师教育出现了一种“反思性转向”。以美国为开端，关于反思的讨论迅速在教师教育界兴起。这种讨论的结果就是形成了“教师即研究者”（Elliott，1990）的理念，也就是说，教师不应只是别人研究成果的消费者，更应是研究者。,教师即技师（Teacher as technician）,教师即研究者（Teacher as researcher）,学者教师,陈凤洁、黄毅英和萧文强（1994）提出了“学者教师”（scholar teacher）的想法，这种教师勇于迎接时代挑战，“无论对数学、教育及学生特点均能掌握，本身也须为思考者、研究者与课程设

2、计者”。萧文强（2007）认为，要成为一位“学者教师”，应该有“处处留心皆学问”的情怀，因此，数学教师需要进行数学研究，但这种数学研究与一位数学工作者通常进行的研究虽然精神相同，内容与性质都有别。因为教师必须运用学生懂得的语言去解释，也要照顾到学生的学业程度和知识背景。,学者教师的研究,教师成为研究者是教师本身专业发展的需要,“教师成为研究者”有利于教师去发现和解决发生在自己课室中的教学问题，或是教育上的问题，进而改进教学以及提升教育质量。“研究者”与“教师”看问题的视角往往是不一样的，“教师成为研究者”有利于促进教师对学生学习的理解。“学”是“教”的前提，只有理解了学生是怎么学的，教学才能对

3、症下药。在理解学生的学习方面，教师的经验固然重要，但由于学习行为是一种复杂的心理活动，因此，单纯的经验有时也会将教学引入歧途。“教师成为研究者”有助于促进教师之间、教师与专业研究人员之间、以及教师与其它行业之间的合作与交流。教师的经验由于带有太多的个性，一旦脱离了具体的情境，就难以被别人理解与借鉴，只有通过研究，将经验提升为一种带有共性的东西，才可能跨越时空和行业的界线。,教师专业发展的必由之路,职初教师,专家教师,合格教师,模仿学习,实践+反思,视频案例,教师成为研究者是教学研究领域的需要研究风格的转变,自上而下（演绎法）自下而上（归纳法）定性研究定量研究定性研究（质的研究）教育学方法（望远

4、镜）心理学方法（显微镜）数学教育研究方法（？）理论研究（改变理论）实证研究（检验假设）行动研究（改变行为）象牙塔（独立研究）课堂（合作研究）基于书面资料（博览群书）基于因特网（搜索与鉴别）,案例研究成为教师研究的主要途径！,教师成为研究者是课程改革的需要,数学新课程的实施，带来了许多新的东西，如：新的教学理念，新的教学方法，新的教学内容，以及传统教学内容的新的处理。随之而来的则是一些新的问题和老师们的种种困惑：如何看待我国的双基教学？传统的教学经验是不是不适用啦？什么是数学探究？如何评价教学的有效性？等等。为了解除困惑，老师们常常把目光转向专家和理论，而他们常常又会发现，专家们的观点似乎并不一

5、致，理论也似乎没有定论。于是，又形成了新的困惑。无怪乎，台湾的报纸用三个字来概括实施（台湾地区）新课程后老师们的心情，那就是：“忙、盲、茫”。要改变这种现象，“教师成为研究者”至关重要。因为面对新的情境，老的经验往往并不适用。只有采取研究的态度，才能透过表面的现象看清本质的东西，从而提高教师的洞察力和鉴别力，而不至于像墙头草那样，风吹两面倒。,教师参与研究的程度,汉森（Henson,1996）曾将教师参与研究的程度分为三级：第一级为“协助者”（helper）的角色，即仅提供教室与学生给外来的研究者使用；第二级为“初级研究者”（junior partner）的角色，即虽共同参与研究，但并不参与任

6、何研究上的决策；第三级为“实质研究者”（researcher）的角色，即不论单独进行或与他人合作研究，皆处于主导研究的地位。研究表明，唯有位于第三级的教师，才能确实利用研究来改进自身的教学。,几点建议,选择一个适合自己的研究方向,数学教育涉及的研究领域和方向很多，教师的工作又比较繁忙，不可能关注数学教育研究的方方面面，因此，首先要选择一个适合自己的研究方向，作为自己的立足之地，然后安营扎寨，踏踏实实地做一点自己的东西。现在学术界的新观点、新口号很多，但笔者以为，做研究不能赶潮流，因为引领潮流的毕竟只有极少数的人，大多数只能随波逐流，容易迷失方向。大约在7年前，笔者因为出国访学的事，罗列了自己的

7、一些研究成果去拜访张奠宙先生。先生的评价是：你的研究只是东一榔头、西一榔头，看不出自己的研究特长。这让我很是振动。从此，我就在努力寻找适合自己的研究领域。,从“小”做起,喜欢做大做空，是我国传统教育研究的一个通病，为此，张奠宙先生曾多次呼吁要改一改我们的文风。从研究角度来看，大体上有两种：一种是“望远镜”式的，高瞻远瞩，整体把握；另一种是“显微镜”式的，选一个小的切入点，逐步深入。从目前的国际趋势来看，更喜欢后一种方式；而从我们教师的实际情况看，比较合适的也是后一种。本刊的老主编唐复苏教授经常挂在嘴上的一句话是：文章不在长短，有一得之见即可。这一得之见指的是自己的独到见解，而不是泛泛而谈。我们

8、不能期望一篇短文能够讲出许多的大道理。,注意相关文献的积累,做研究不能靠拍脑袋。虽然论点的选择可以来自经验，但经验不能代替有效的论据。在一些学术期刊的文章中，我们仍然可以看到：“我认为”这类比较随意的断言，却始终没有给出为什么可以这样认为的证据，则不是研究的态度。当然，像中学数学月刊这样兼顾学术性和实用性的刊物，并不排斥有效教学经验的分享，但要成为一个研究者，就不能仅仅是经验之谈。提高研究水平的一条具体措施就是注意相关文献的搜集与积累，也就是要理清楚在自己的研究方向上，别人已经做了哪些工作。这样才不会原地踏步，或者做重复劳动。我国老一代数学教育研究者戴再平教授在这方面可以说是一个典范，他不仅自

9、费订阅几乎全部的中小学数学类期刊，而且制作了大量的学术卡片。正是这种勤奋，使得他几乎可以著作等身。虽然在网络时代，研究资料的搜集更为便捷，但也同样需要日积月累。,掌握基本的研究方法,长期以来，学科教育研究常常受到学科专家的质疑，其根本原因就是研究方法的科学性。与自然科学不同的是，教学假设是不能用纯逻辑的方法来论证的，教学实验也通常是不可复制的。因此，研究方法的适用性及信度和效度就成为关键的因素。近年来流行的教学研究方法包括：案例研究，问卷调查，深度访谈，出声思维，录像带分析，教学实验等等。这些方法并不需要高深的理论知识，用几次就熟悉了。,增加合作与交流,现代社会越来越强调人与人的合作交流，数学

10、教育研究也是一样。这里的合作交流不仅仅指研究结果的呈现，更在于研究过程的开放性。近年来，国外的一些研究人员往往从选题开始就在网络上公布，并毫无保留地展现自己的研究过程，包括其中的困惑，希望引起别人的关注与介入。这种做法，于人于己都有益处。,提纲,I.前言II.范希尔的几何思维水平III.克鲁切茨基的数学能力心理学IV.韬尔的高等数学思维研究V.安德森的ACT-R理论VI.杜宾斯基的APOS理论,I.前言,呼唤数学领域自身的学习理论！,理论的意义,支持预测；为研究提供框架；具有解释的能力；能够应用于广泛的现象；有助于组织对复杂的相关现象的思考；作为数据分析的工具；提供一种深层次的交流观点的语言。

11、,数学学习领域的理论建构,两条途径：第一条途径是“一般学习理论+数学例子”，也就是将一般的学习原理应用于具体的数学学习情境，然后根据数学学习的特点修正原来的理论，或者提出新的假设去寻找更合适的理论依据。另外一条途径则源自数学学习中的问题与经验,通过建立模型去解释数学学习的心理过程。这一类研究人员通常是数学专业出生，对数学有较为深入的理解，但在教育学和心理学的理论功底上有所欠缺，其研究的重点主要在于大学生和中学生的数学学习。相比之下，心理学界对数学学习的讨论主要集中在小学阶段。,学习理论研究的趋势：走进课堂,三十年前,教育工作者们很少关注认知科学家的工作,在认知科学研究的初期,研究者们的工作是远

12、离课堂的.今天,认知研究者们更多的是与教师合作,在真实的课堂情景中检验和改进他们的理论,因为在教室里,他们才能看到不同的课堂情境和不同的课堂交往是如何影响他们的理论在课堂中的应用.摘自人是如何学习的,II.范希尔的几何思维水平,起因,在50年代的荷兰，几何教学所面临的问题是很普遍的（Freudenthal,1958）。范希尔夫妇（Pierre Van Hiele&Dina Van Hiele）作为荷兰一所中学的数学教师，每天都亲身经历着这些问题。最让他们感到困惑的是教材所呈现的问题或作业所需要的语言及专业知识常常超出了学生的思维水平，这使得他们开始关注皮亚杰的工作。经过一段时间的研究，他们提出

13、了几何思维的五个水平。这一成果最初发表在他们夫妇于1957年在乌特勒克大学共同完成的的博士论文上。,评价,前苏联学者很快就注意到了范希尔的思想，他的论文（1959）在1963年就由皮什卡罗（A.M.Pyshkalo）作了详尽的报道。10年之后，美国人才开始了解范希尔的工作。在1974年召开的大西洋城NCTM年会上，芝加哥大学的威兹普（Isaak Wirszup）将范希尔的思想正式介绍给了美国学者，并同时介绍了前苏联几何教学的“惊人进展”。威兹普的报告后来以“几何教学心理学中的一个重大突破”为标题发表在Martin 和Bradbard主编的著作上（Wirszup，1976）。与此同时，弗赖登塔尔

14、也提供了思维水平在数学归纳法学习中的范例。他发现，数学归纳实际上也是沿着五个思维水平发展的（Freudenthal,1973,p123）。所有这一些，使范希尔理论引起了全世界的广泛关注，并成为上世纪80年代几何教学研究的一个热点。,水平的划分,层次0视觉(visuality)层次1分析(analysis)层次2非形式化的演绎(informal deduction)层次3形式的演绎(formal deduction)层次4严密性(rigior),层次0视觉(visuality),儿童能通过整体轮廓辨认图形，并能操作其几何构图元素（如边、角）；能画图或仿画图形，使用标准或不标准名称描述几何图形；能

15、根据对形状的操作解决几何问题，但无法使用图形之特征或要素名称分析图形，也无法对图形做概括的论述.如：儿童可能会某个图形是三角形，因为它看起像一个三明治。,层次1分析(analysis),儿童能分析图形的组成要素及特征，并依此建立图形的特性，利用这些特性解决几何问题，但无法解释性质间的关系，也无法了解图形的定义；能根据组成要素比较两个形体，利用某一性质做图形分类，但无法解释图形某些性质之间的关联，也无法导出公式和使用正式的定义。如：儿童会知道三角形有三条边和三个角，但能解如果内角愈大，则对边愈长的性质。,层次2非形式化的演绎(informal deduction),儿童能建立图形及图形性质之间的

16、关系，可以提出非形式化的推论，了解建构图形的要素，能进一步探求图形的内在属性和其包含关系，使用公式与定义及发现的性质做演绎推论。但不能了解证明与定理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立证明结果的成立，也未能建立定理网络之间的内在关系。如：学生解了等腰三角形的性质后，他们会推出等腰直角三角形同时也是直角三角形的一种，因为等腰直角三角形较直角三角形多一些性质的限制。因此，学童能作一些非正式的说明但还能作系统性的证明.,层次3形式的演绎,学生可以了解到证明的重要性和了解“不定义元素”、“定理”和“公理”的意义，确信几何定理是需要形式逻辑推演才能建立的，理解解决几何问题必须具备充分或必要条件；能猜测并尝

17、试用演绎方式证实其猜测，能够以逻辑推理解释几何学中的公里、定义、定理等，也能推理出新的定理，建立定理间的关系网络，能比较一个定理的不同证明方式；能理解证明中的必要与充分条件，例如至少有一个边对应相等或至少一个角对应相等是证明两个三角形全等的必要条件，两角夹边对应相等则是两三角形全等的充分条件；能写出一定理的逆定理，如平行四边形的对角线互相平分，其逆定理是对角线互相平分的四边形是平行四边形。,层次4严密性,在这个层次能在不同的公理系统下严谨地建立定理以分析比较不同的几何系统，如欧氏几何与非欧氏几何系统的比较。,水平的修正（Van Hiele，1986）,直观水平（visual level）整体地

18、认识几何对象。Fuys,geddes,Lovett和Tischler（1988）认为这一阶段是“学习者依据几何图形的外表来认识，命名，比较，和画出这些图形的时候，像三角形，角度，平行线”。描述水平（descriptive level）通过几何性质认识几何对象。在这一阶段学生按照图形的组成部分和这些组成部分之间的联系来分析图形。学生依据经验确立图形的性质和使用这些性质解决问题。理论水平（theoretical level）利用演绎推理证明几何关系。在描述阶段中由Murray（1997）提出的概念网络图在这一阶段完整和稳定了。学生理解和接受了准确的定义，学生谈论形状时涉及到这些定义，学生理解图形内

19、部和图形之间的联系。这一阶段学生能够运用“如果那么”思想，并由此发展逻辑推理能力。,几何教学阶段,学前咨询(information)，教师和学生就学习对象进行双向交谈，教师了解学生如何理解指导语，并且帮助学生理解要学习的课题。学生提出问题，对课题的对象和运用的词汇做出观察，确定下一步的学习。引导定向(guided Orientation)，教师为学生仔细安排活动顺序，使学生认识到学习进行的方向，逐渐熟悉这一结构的特性。在这个阶段中，许多活动都是引起一个特定的反应的一步（简单）作业。,几何教学阶段,阐明(explication)，通过前面的经验和教师最小程度的提示，学生明确了词汇的意义，表达自己

20、对内在结构的看法。通过这一阶段，学生开始形成学习的关系系统。van Hiele（1984b）指出：在这个阶段的过程中，经验的获得取决于正确的语言符号和学生们在课堂上学习透过讨论去表达他们所观察到的结构之意见，老师只需注意这些讨论所使用的习惯措词。关连系统在这阶段就有一部份形成了,几何教学阶段,自由定向(free orientation)，在这个阶段，学生碰到多步作业或能以不同方式完成的作业。在寻找方法和解决问题过程中，学生获得了经验。通过自己确定学习领域的方向，他们对学习对象之间的关系越来越明确。按照van Hiele（1984b）的观点：这个阶段是自由探索，调查的范围是大多数学生知道的，但学

21、生仍需迅速地找到他的方向。,几何教学阶段,整合(integration)，学生回顾自己所用的方法并形成一种观点，对象和关系被统一并内化进一个新的思维领域。教师对学生理解的东西作一个全面的评述，帮助学生完成这一过程，在此，教师要小心，不要提出新的或不一致的观点,范希尔理论的特点,次序性(sequential)：学生几何思维水平的发展是循序渐进的，要在特定的水平顺发展，必须具有前一水平的各个概和策。也就是说，学生在没通过第n-1层次之前，无法到达第n层次。进阶性(advancement)：学生几何思维水平的提升是经由教学，而是随龄成长或心成熟自然而然的。没有一种教学方法能让学生跳过某一水平而进入下

22、一水平，由一水平进入下一水平并非一蹴而就的。内隐性及外显性(intrinsic and extrinsic)：某一水平的内隐性质成为下一水平的外显性质，如某一个水平上的个人化的模糊概念在下一水平上通过外显的表征工具(如符号)而得到澄清。语言性(linguistics)：每一层次有其专属的阶段性语言符号。在某一层次使用的语言符号，可能到另一层次就必须调整为另一语言符号，因此每一层次有其独特的语言符号，谓之语言性。适配性(mismatch)：如果学生的思维处于一个水平,而教师的教学处于另一个水平,那么就不可能取得预期的教学效果.尤其是当教师的教材内容、教具选择及语汇使用均属于较高层次时，学生将无法

23、解、思考其过程与结果。,SOLO理论,SOLO是“学习结果的结构性观察”（Structure Of the Observed Learning Outcome）的缩写，由澳大利亚学者Collis和Biggs（1982）所创，SOLO分类法的理论基础是结构主义学说和皮亚杰认知发展阶段理论,SOLO水平分类,范希尔理论与SOLO理论的比较,SOLO 分类与范希尔理论在许多方面是相似的，如两者都为教师提供了一种评价学生推理的途径；两者都可以作为一种教学的框架；在各级水平（特别是最高水平和最低水平）上学生的反应指标有些类似；等。但两者之间的区别也是存在的，如SOLO系统侧重于评价学生的学习结果，而范希

24、尔的目标则是学生个体的能力变化（Jurdak，1989，p.156）；SOLO分类可以应用于所有的学科，而范希尔一般只适用于几何课程；SOLO系统除了五个结构层次外，还给出了不同层次之间的“过渡水平”，目的是帮助学生从一个层次向另一个层次过渡，而范希尔的教学阶段则聚焦于每个层次上的教学设计,几何思维水平的评估,范希尔理论在几何评价上的应用主要包括相关的两个方面：一是在每个思维水平上设计出相应的测试题；二是利用编制好的测试题考查学生的范希尔思维水平。在这方面的工作中，第一个，也是最经典的一项研究是芝加哥大学的一个题为“中学几何课上学生认知的发展和成就”的研究课题。这项研究的目的是确定学生的认知发

25、展阶段以及学生在一个数学基础知识测验上的成绩对他们掌握几何概念和证明的影响（Usiskin，1982）。这项课题的对象包括了六个州的学习高中几何课程的近2900名学生。,Usiskin得到的初步的研究结果,以纸笔测验进施测，有8的初初中生可达到van Hiele 层次3之上。范希尔几何思考层次和几何测验分数间有显著的相关。部分学生的解答介于两个水平之间，难以指派到某一层次。完成中学几何课程后，仍有40学生的几何发展仍在层次3以下。范希尔层次在性别间有差异现象。利用van Hiele 几何思考层次可预测学生在标准几何学习上会遇到困难,需要进一步研究的问题,是否存在其它的几何思维水平？如何细化各水

26、平的评价指标？如何刻画不同几何教学内容/活动的范希尔思维水平？如何编制符合我国教学实际的范希尔水平测试题？如何考察不同年级学生的范希尔思维水平？我国学生在范希尔水平上是否存在性别差异？如何帮助学生在不同思维水平之间的过渡？范希尔理论对我国的几何课程设计与评价有什么意义？能否把范希尔理论推广到其它数学内容？,III.中小学生数学能力心理学,简介,前苏联心理学家克鲁切茨基从50年代末开始就对中小学生数学能力进行了长达十二年的研究.他运用深度访谈、问卷调查、跟踪分析、出声思维等质的研究方法，分析了不同能力的学生解题时的心里特性，以及数学能力组成成分中的类型、年龄、性别差异以及数学能力与个性的关系。这

27、些研究成果集中反映在其著作中小学生数学能力心理学中。这本书的俄文版在1968年出版后，于1976年被基尔帕特里克等人翻译成英文版（Krutetskii,1976）。分别于1983、1984和1993年由我国上海教育出版社、教育科学出版社和九章出版社出版的中译本均译自这本英文版。,评价,“可以毫不夸张地说，这本书对从事数学教育的人来说，和皮亚杰的著作有同样的影响力。正像皮亚杰的实验题目曾为教师和研究人员所改编和使用一样，克鲁切茨基的实验题目更接近于学校的数学课程，因而同样地能为教师和研究人员加以改编和使用；正如皮亚杰关于智力发展的概念曾使教育工作者认识到不同年龄儿童思维上的差异一样，克鲁切茨基关

28、于数学能力结构的概念，能使他们认识到能力的不同组成和它们是怎样在共同起作用的；正如皮亚杰曾经扩大了我们关于什么是恰当的研究方法一样，克鲁切茨基则更进一步扩展了这个概念。”基尔帕特里克,三个基本问题,数学能力特殊性问题。数学能力本身是作为一种特殊形式存在，与一般智力范畴不同呢，还是数学能力是一般心理过程和人格品质的特殊化呢？也就是说，一般智力是与数学能力一起发展的吗？换句话说，人们能说数学能力不外是一般智力加上对数学的兴趣和学习数学的倾向性吗？数学能力的结构性问题。数学禀赋是单一性的（单独的、不可再分的）还是综合性的（复杂的）？如果是综合性的，人们就可追问关于数学能力的结构问题，也就是复杂心理形

29、式的组成成分问题。数学能力的类型差异问题。是否存在着不同类型的数学秉赋或者有一个主要成分而只是在对某些数学分支的兴趣和倾向上出现差别？,（一）能力结构,两类数学能力,作为创造性（科学）的能力在数学科学活动中的能力。这种能力产生对人类有意义的新成果与新成就。这是在社会上有价值的成品。作为学校的能力在学习（学会、掌握）数学（在这种情况下是学校的数学课程）上的能力，迅速而成功地掌握适当知识和技能的能力。,数学能力的调查研究,（1958-1962，62名教师）能较快地掌握数学知识、技能和习惯，对教师的讲解领会得迅速（95%）思维的逻辑性和独立性（82%）学习数学时足智多谋与机敏（67%）能迅速而牢固地

30、记忆数学材料（50%）有高度发展的概括、分析和综合数学材料的能力（50%）上数学课很少感到疲劳（3%）迅速地从正面的思维进程转变到反面的思维进程的能力（1。5%）,概括的能力（98%）推理的逻辑性（98%）智力的足智多谋和敏捷（88%）数学的记忆力（82%）抽象的能力（）思维的灵活性（73%）,求助于视觉手段（63%）具有空间观念（57%）从正面的思维进程转变到反面的思维进程的能力（52%）力求节约脑力（48%）推理过程的缩短（38%）数学课大会很少疲劳（30%）,（1965，56名教师）,数学能力的调查研究,（数学家、21人）清晰的目的性（3）专心致志（4）勤奋（2）对数学的爱好（6）由特殊

31、到一般的能力（12）从无关紧要的细节中摆脱出来的能力（11）思维的准确、简洁与清晰（6）寻找最漂亮的解答的需要（3）数学的想象力或幻想（3）从思维的一种水平到另一种水平的迅速转换能力（3）能通过推理的中间阶段迅速地抓住事物的本质和透视问题的深处的能力，以及缩短推理的一些环节进行思考的能力（3）形式推理的一般数学模式的技能（1）,中小学生数学能力结构,1.获得数学信息 A.对于数学材料形式化感知的能力；对问题形式结构的掌握能力。2.数学信息加工在数量和空间关系，数字和字母符号方面的逻辑思维能力；对数学符号进行思维的能力。B.迅速而广泛地概括数学对象、关系和运算的能力。C.缩短数学推理过程和相应的

32、运算系统的能力；以简短的结构进行思维的能力。D.在数学活动中心理过程的灵活性。E.力求解答的清晰、简明、经济与合理。F.迅速而自如地重建心理过程的方向、从一个思路转向另一个相反思路的能力（数学推理中心理过程的可逆性）。3.数学信息保持A.数学的记忆（关于数学关系，类型特征，论据和证明的图式，解题方法及探讨原则的概括性记忆）。4.一般综合性组成成分 A.数学气质。,数学禀赋结构中非必要成分,以时间为特征的心理过程的敏捷性。数学家可以慢慢地思考，但是却想得非常透彻和深刻。计算能力。法国著名数学家庞卡莱说，他自己即使做加法也要出错误。对符号、数字和公式的记忆。正如科尔莫戈罗夫指出的那样，许多著名数学

33、家在这方面的记忆并不突出。关于空间概念的能力；对抽象数学关系和相依关系形象化的能力。,（二）研究中小学生数学能力的实验题体系,普通测验：考查学生知道什么和会什么。能力测验：考查学生解题的容易程度和迅速程度,选择实验题的依据,选用的实验题目或是不需要特殊的知识、技能或习惯就可以解决的，或是它所需要的知识对全体学生来说都是具备的。实验题目对学生来说是新的，所用的材料也是他们不熟悉的，因此，也就大大减弱了过去经验的影响。如果他们的材料是新近学过的，那么就使我们有可能去探索学生掌握新技能的特点（解答相应类似题目的技能）。我们运用了一些具有数学创造性成分的题目非常规的题目。,系列1：没有提出问题的题目,

34、考查目的：本系列题目中，既没有直接提出问题，也没有间接提出问题，但题中所给的数量关系可以合乎逻辑地引申出问题。目的是弄清学生是否能提出问题，是否能发现题目中已知关系的逻辑依从性，是否能理解这些关系的本质，以此来考查学生对数学题的心理知觉的某些特征。考查方法：由算术、代数、几何三套测验组成，学生拿到一张带题目的卡片之后就立即阅读并立即提出问题。主试要弄清被试的整个推理过程，并记下测验所用的时间。,系列2：信息不完全的题目,考查目的：本系列题目中有些信息缺少了，看起来对所提的问题似乎不可能有正确答案，而当补充了信息以后，就能得到正确的答案。目的是弄清学生能否指出解题必需具备的条件，并注意到丢失的信

35、息，以此考查学生能否看出题目的形式结构。考查方法：由算术和几何两套测验组成，当学生肯定地回答不能解决问题时，要求他说明原因，并补上丢失的信息。,系列3：有多余信息的题目,考查目的：本系列题目中插进了附加的、不必要的信息，或者没有用的提示，以掩盖解题所需要的论据，目的是弄清学生能否辨别解题所需要的条件体系，以揭示他们头脑中理解数学题的一些特点。考查方法：一般用两组题：“总是缺少必要的条件”“都有多余的事实”同时进行，可在学生学习了典型例题的一课、一周或一月之后进行，用以考查学生是否记住了：1）题目的类型；2）特殊的事实；3）多余的信息。,系列4：具有互相渗透因素的题目,考查目的：研究学生分析综合

36、知觉几何图形的一些因素，特别是从不同观点辨别和确定几何图形渗透成分的技能，从背景中区分出图形和图形成分的技能，把一个成分包含在不同图形中，并给予恰当的不同解释的技能。考查方法：主要几何测验，其图形中有些要素是“互相渗透的”，如看出棋盘中有多少个长方形。,系列5：单一类型的题目体系,考查目的：通过学生怎样从不同的题目中看出一般的类型、如何从解决同一类型简单的题目到解决复杂的题目、以及他们怎样从外表类似的另一类型的题目中区分出这一类型的题目，来考查他们的概括能力。并通过分析学生连续解一个类型的问题时的推理过程，来判断他们“缩短”推理的能力。考查方法：对不同层次的学生用两组不同难度的测验，每组测验由

37、8道题，由易到难体现了一个类型从容易到复杂的“阶梯式”。测试时，先做第8题，不行就做第1题，然后再做第8题，不行再做第2题，如此下去，只要求学生回答解题的思路，而不必完整解题。,其它系列,系列6：不同类型的题目体系系列7：从具体到抽象逐渐过渡的 题目体系系列8：按照特定的类型编题系列9：证明题系列10：运用题目的各种条件列 方程式系列11：不现实的题目系列12：形成人工概念系列13：有几种解法的题目系列14：变化内容的题目系列15：重建一种运算的题目系列16：暗示“自我限制”的题目,系列17：正向和反向的题目系列18：启发（探索）性课题系列19：关于理解和逻辑推理的题目系列20：系列题目系列2

38、1：数学诡辩题系列22：项目难记的题目系列23：在解答中具有不同程度直观 性的题目系列24：既有语言又有直观表达的题系列25：有关空间概念的题目系列26：揭露非智力活动方面的直观 形象与语言逻辑成分之间关 系的题目,（三）能力差异,克鲁切茨基坚决主张有所谓“有数学头脑”即倾向于以数学方式来解释世界的人。在数学禀赋好的学生身上可以清楚地看到这一点。他还提到，这种倾向甚至在人一生下来就可能有所表现。他区分出三种数学头脑的基本类型：分析型（倾向以言语逻辑的关系来思考）、几何型（倾向以视觉形象的关系来思考）和调和型（兼具前两种类型的特征）。“能力问题也就是个别差异问题。如果每个人在各方面的发展和在从事

39、任何活动上都有同样的能力，那么讨论能力问题也就没有意义了。我们谈论能力问题，就等于预先假定了人们之间有某些个别差异。没有一个人在任何事情上都是无能的，每个人都有最适宜从事某种活动的能力，不过，同是从事一样的工作，也有能力水平上的差异。”（克鲁切茨基，1984）,1.天才儿童的个案研究,个案1：索尼娅（2年级，1950年生于莫斯科，小传完成于1958-1959年）,她有一个7年级的哥哥，发育正常，没有表现出数学才能，她的近亲中只有外祖母据说酷爱数学，但无据可查。索尼娅个子矮小，动作缓慢，讲话从容（甚至是慢吞吞地），情感表达较差；除了算术成绩优良外，其它各门功课学习正常，成绩一般。写作很差，阅读也

40、不流畅，不大喜欢做作业。她有高度集中的能力。当她思想集中时，她不能安静地坐着，而是走来走去，坐立不安，有时甚至会做出各种反常的动作。有一次，她竟在解答一道难题时，突然站起来跑到床上，像演员表演似地翻了一个筋斗又回来坐到椅子上。但当她从事过于简单的事情时，会明显地表现出心不在焉。这就是为什么她常常10以内的加法做错的原因。,在实验中，她用60节课就学完了5-7年级的全部数学课程。15岁时成为莫斯科大学数学力学系的学生,心理特点,推理和心理定向敏捷。这是索尼娅最显著的特征之一。通常她能以惊人的速度找到她所能理解的一种解题方案。可以说，她对数学材料有一种独特的分析和综合的“眼力”，她能立刻找到一个解

41、题方法或看出证明的逻辑。,心理特点（续）,逻辑推理，有系统、有顺序的思考力。这也是索尼娅最显著的特征之一。她对定理的意义、求证的含义都理解得相当透彻。她能很容易地从前提得出结论，但并不简单地相信它。她在论证上逻辑严密，且有说服力。她解答数学题都毫无例外地经过逻辑上的验证。,解题分析1,问题：一个牧人对另一个牧人说：“你给我8只羊，我们两人的羊数就相等了”。另一个牧人回答说：“不，你给我8只羊，我的羊就成了你的两倍。”,索尼娅的解答,“假如一个牧人给另一个牧人8只羊，他们两个人的羊数就一样多，就是说，两者的差数是16只羊。另一方面，如果另一个人拿出了8只，他们的差数就成了32只，这样可以知道，一

42、个人比另一个人多两倍，或者说多32只，就是说他们的羊数是32和64。他们交换之前的羊数是40和56。”她只用了40秒。,解题分析2,例2：索尼娅证明了三角形的内角和等于平角之后，应实验者的要求，很容易地又证明了四边形的内角之和等于两个平角，及五边形的内角和等于3个平角并画了图（图1）。然后，她想了想说：“任何多边形都是如此：三角形的数目永远比边的数目少2。所以，要求内角和，就必须从边数中减2，再乘以2d。”,心理特点（续）,思维的灵活性。索尼娅不受陈腐思想的束缚和一般解题方法的限制，她能很容易地从一种心理运算转为另一种运算，从一种解题方法转为另一种解题方法，而且通常能找出多种解法。,解题分析3

43、,例3：小鸡和兔子在外面跑，一共有35个头，94只脚，问鸡兔各有多少？索尼娅的解答是：“如果全部是35个头，那么鸡兔总共有35只。假如全是小鸡，就有70只脚，就是说另外多出了24只脚。因为在院子里跑的除了小鸡外，还有兔子，每只兔子比小鸡多两只脚，这意味着有12只兔子和23只小鸡。还可以这样做：一共有94只脚，假如全是小鸡，就有47只，但总共只有35个头少了12个头。这12个头，每头应有4只脚而不是2只脚。所以是12只兔子和23只小鸡。”,心理特点（续）,能自如地从正面的思维进程转到反面的思维进程。解答问题时推理的迅速简略和“压缩”的倾向。“节约思考”的明显倾向。索尼娅的一个显著特点是，力求找出

44、一种最简便的解题方法，解答力求简单、明了。对数学材料的迅速而牢固的记忆。虽然她对具体材料和数只有在解题的时候才记住，但对求证的基本过程、题目的类型和解题原则以及推理的基本模式却记得很牢。对数学作用很少感到疲劳。此外，她特别倾向于在许多生活现象中寻找它在数学与逻辑学上的意义，并把它纳入逻辑与数学范畴的结构中来加以认识。,有关数学天才儿童的初步结论,数学才能在童年早期就能形成，其中大部分是以计算能力的形式出现。数学才能的早期形成并非总是跟环境与培养上的有利条件联系着的。才能的早期发展是与算术兴趣的形成和乐于钻研的倾向分不开的。这常常表现为不懈地努力计算、解题和自己编题，而这又和他们能够长时间的紧张

45、工作而不感疲劳有关。数学才能表现比较早的儿童，他们的心理活动具有下列特点：概括数学材料的能力（能在表面上互不相同的，或者互不联系的事物中，看出存在一般性的能力）；心理过程的灵活性；力求找出最简洁明了的解题方法；对一般化的关系、推理的模式和解答典型问题的方法有良好的记忆力；推理过程的缩短和减少推理的个别环节；对周围环境有一个初级形式的“数学”直觉许多事物或现象似乎都是透过数学关系的棱镜折射出来的。有数学才能的儿童，在他们的童年的早期就可以看出，他们解题时，对视觉形象与言语逻辑这两种智力活动的成分的依赖程度是不同的。他们之间存在着类型上的差异。,陶哲轩:一个华裔数学天才的传奇,2006菲尔兹奖（数

46、学界的诺贝尔奖）的一个显著特点是，四位获奖者中的两位，俄罗斯的佩雷尔曼和澳大利亚的陶哲轩，均为昔日奥数金牌得主。相形之下，中国虽然也有不少奥数奖牌得主，却没有人能够取得像他们那样的杰出成就，有些人甚至远离了数学。这是一个值得思考的问题。南方周末,7岁开始自学微积分，8岁半升入中学，12岁获得奥数金牌，20岁获得普林斯顿大学博士学位，24岁被洛杉矶加州大学聘为正教授，31岁获得菲尔兹奖。他就像莫扎特，数学是从他身体中流淌出来的研究天才教育的新南威尔士大学教授米那卡格罗斯（Miraca Gross）在陶哲轩11岁时出版的一篇论文中写道，陶哲轩的智力明显超过班上其他孩子，但他不知道怎么与那些比自己大

47、两岁的孩子相处，而学校的老师面对这种状况也束手无策。,第11届数学资优生教育国际论坛（2006.4.6-8,韩国）,2.好、中、差三类学生的差异性研究,克鲁切茨基的研究：根据能力结构分析三类学生的差异匈菲尔德的研究：专家新手的对比分析青浦实验：几何能力差异性研究,一个假设：,IV.高等数学思维研究,英国沃瑞克大学（Warwick University）,Modern Records CentreUniversity of Warwick LibraryCoventry CV4 7AL,一、斯根普的工作,March 10,1919 June 22,1995,代表作,The Psychology

48、of Learning Mathematics(1971)in several different versionsIntelligence Learning and Action(1979)Mathematics in the Primary SchoolUnderstanding Mathematics(a series of text-books for secondard school)Structured Activities in Intelligent Learning(a series for Primary School).Further information about

49、these and other publications will appear shortly.,Instrumental Understanding and Relational Understanding The Silent Music of Mathematics Theoretical Foundations of Problem-Solving:A Position Paper(1993),著作,论文,对斯根普的工作的评价,斯根普（Richard Skemp）可以称得上是数学教育心理学的先驱之一。在2002年出版的一本纪念斯根普的著作中，作为主编的韬尔与托马斯（Michael T

50、homas）在序言中写道：“理查德斯根普是数学教育中的独一无二的人物他是广大教师和教育者的一个思想先知，他们从他的工作中获得了启示；他也是创建国际数学教育心理学协作组（International Group for the Psychology of Mathematics Education）的精神领袖。,“他走进的是一片空地，留下的却是伟大的建筑。”（Sfard,2002）,工具性理解与关系性理解,前者是指“只管公式，不管理由”，而后者则“不仅知道要做什么，而且知道理由”。,工具性数学的优点,工具性数学一般比较容易理解。有些课题，如两个负数相乘，或分数相除，很难从关系上去理解。“负负得正”