教学课件：第五章-质点运动微分方程.ppt

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1、动力学,第5章 动力学基本定律与质点运动微分方程第6章 质心运动定理与动量定理第7章 动量矩定理第8章 动能定理第9章 达朗贝尔原理第10章 虚位移原理,第5章动力学基本定律质点运动微分方程,5-1 牛顿运动定律与惯性参考系,一、牛顿运动定律,1687 Sir Isaac Newton(1642-1727)发表了著名的自然哲学的数学原理,牛顿三大定律，它描述了动力学最基本的规律，是古典力学体系的核心,任何质点如不受外力作用，则将保持其原来静止的或匀速直线运动的状态。,第一定律(惯性定律),不受外力作用时，物体将保持静止的或匀速直线运动的状态，这是物体的属性，这种属性称为惯性。,第一定律也称为惯

2、性定律。,匀速直线运动也称为惯性运动。,第二定律（力与加速度之间关系定律）,质点动力学基本方程,质点受力作用时所获得的加速度的大小与作用力大小成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。,式中 m 为质点的质量；,质量是物体惯性的度量，质点的质量愈大，保持惯性运动的能力愈强。,物体的质量 m 与它的重量 W 之间的关系：W=mg,g 是重力加速度，取 g=9.8 m/s2,此方程只能直接应用于质点。,是作用于质点的所有力的合力矢。,或,第三定律(作用与反作用定律),两物体间相互作用的力总是同时存在，且大小相等、方向相反、沿同一直线。,作用与反作用定律对研究质点系动力学问题具有重要意

3、义。它给出了质点系中各质点间相互作用的关系，从而使质点动力学的理论能推广应用于质点系。,二、惯性参考系,适用牛顿定律的参考系称为惯性参考系。,什么样的参考系可以作为惯性参考系呢?,实践结果证明：,在绝大多数工程问题中，可取固结于地球的坐标系为惯性参考系。,对需考虑地球自转影响的问题（如由地球自转而引起的河流冲刷，落体对铅直线的偏离等）必须选取以地心为原点而三个轴指向三颗“遥远恒星”的坐标系作为惯性参考系，即所谓的地心参考系。,在天文计算中，则取日心参考系，即以太阳中心为坐标原点，三个轴指向三颗“遥远恒星”。,相对惯性参考系作匀速直线平动的参考系，也是惯性参考系。,三、单位制和量纲,1、单位制,

4、现在普遍采用国际单位制(SI)。,在F=ma中，涉及到四个量，每个量都必须用一适当的单位来度量。在应用公式时，并不是每个量的单位都可以任意规定的。其中只有三个量的单位是可以任意选取的，它们的单位称为基本单位，这三个量称为基本量；第四个量的单位可根据公式由基本单位导出，称为导出单位，这个量相应地称为导出量。,选取不同的基本单位，就形成不同的单位制。,国际单位制：以长度、时间和质量的单位为基本单位，分别为米(m)、秒(s)和千克(kg)；力是导出量，等于质量与加速度的乘积，力的单位是导出单位。,质量为1kg 的质点要产生 1m/s2 的加速度，作用在该质点上的力的大小为,1kg1m/s21kgms

5、2,2、量纲,表示某一物理量由哪几个基本量按什么规律组成的式子，称为该物理量的量纲或因次。,在国际单位制中，基本量为长度、时间和质量，它们的量纲分别用L、T、M表示，其它量的量纲都可表示为这三个量纲的函数。,例如：加速度的量纲是LT2，而力的量纲是MLT2。,力的单位是：kgms2。,令1kgms2=1N（称为1牛）,注意：量纲与单位是两个不同的概念。,一个物理量的量纲是一定的，但它的大小可用不同的单位来度量。,物理量的量纲还可以用来检验方程的正确性。,在同一方程中，各项的量纲必须相同。如果一个方程各项的量纲不尽相同，则可以断定该方程必定是错误的。,在作数字计算时，还必须做到同一个量的单位要相

6、同。,例如长度的量纲是L，但可用米、毫米、千米等作为度量长度的单位。,5-2 质点运动微分方程,2、质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影,或写为,质点动力学基本方程:,1、矢量形式的质点运动微分方程,一、质点运动微分方程,二、质点动力学的两类基本问题,第一类基本问题：已知运动求力.,第二类基本问题：已知力求运动.,混合问题：第一类与第二类问题的综合.,由于,故有,3、质点运动微分方程在自然轴上的投影,第一类基本问题：已知运动求力，属于微分问题。,例如已知质点运动方程：,将运动方程对时间求两阶导数，代入质点运动微分方程：,求作用于质点上的力Fx,即可求得力Fx,第二类基本问题：已知力求运动，属于

7、积分问题。,作用于质点的力可以是常力或变力，变力可能是时间、质点的位置坐标、速度的函数，只有当函数关系较简单时，才能求得微分方程的精确解；如果函数关系复杂，有时只能求出近似解。此外，求解微分方程时将出现积分常数，这些积分常数须根据质点运动的初始条件，即初速度和初位置坐标来确定。所以，对于这一类问题，除了需要已知作用于质点的力以外，还必须知道质点运动的初始条件，才能完全确定质点的运动。,例如，当作用于质点上的力Fx是常量或时间的函数时，求质点运动方程：,将质点运动微分方程 积分：,再积分一次，得运动方程,当作用于质点上的力Fx是位置坐标x的函数时，求质点的运动。,将质点运动微分方程 分离变量，以

8、便积分,当作用于质点上的力Fx是速度vx的函数时，求质点的运动。,将质点运动微分方程 分离变量，以便积分,例 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度 转动,OA=r,AB=l,当 比较小时,以O 为坐标原点,滑块B 的运动方程可近似写为,如滑块的质量为m,忽略摩擦及连杆AB的质量,试求当 和 时，连杆AB所受的力.,解:研究滑块,其中,当,属于动力学第一类问题。,例 套筒重P，在介质中沿导杆下滑，受到大小为F0.2Pv（v以m/s计）的阻力的作用，试求：1、套筒能达到的最大速度；2、套筒达到2m/s速度所需要的时间。,解 取套筒研究,F0.2Pv,1、求套筒能达到的最大速度,当套筒达到的最大

9、速度时，a=0。,得,称为极限速度。,令,F0.2Pv,2、求套筒达到2m/s速度所需要的时间,属于动力学第二类问题。,例 一圆锥摆,如图所示。质量 m=0.1kg 的小球系于长 l=0.3 m 的绳上，绳的另一端系在固定点O，并与铅直线成 角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度 v 与绳的张力F。,属于混合问题。,其中,解：研究小球,m=0.1kg,l=0.3 m,例 粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在时才掉下来。求滚筒每分钟的转数 n。,当 时，球不脱离筒壁。,解：研究铁球,其中,当 时，解得,例

10、 销钉 的质量为 0.2 kg，由水平槽杆带动，使其在半径为,的固定半圆槽内运动。设水平槽杆以匀速,向上运动，不计摩擦。,的作用力。,求 在图示位置时圆槽对销钉,解 取销钉M 研究,受力分析,水平槽对 M 的约束力为FN，圆槽对 M 的约束力为F。,速度与加速度分析,动点：销钉，动系：水平槽杆,将式,在 y 轴上投影，得,将质点动力学基本方程在x轴上投影，得,5-3 质点在非惯性参考系中的运动,在自然界和工程技术中有很多问题，需要研究质点相对非惯性参考系的运动，所以要讨论物体在非惯性参考系中的运动与其所受的力之间的关系，也就是建立ar与F之间的关系。,例如：考虑地球自转时，河流的运动；,机电排

11、灌中要研究水轮机中水流相对于转动的叶片的运动等。,惯性参考系（静系）：Oxyz,非惯性参考系（动系）：Oxyz,质点 M，质量为 m，在力F 作用下运动，有,令,牵连惯性力,科氏惯性力,则有,质点相对运动动力学方程,关于“惯性力”，有学者把它称为“虚拟力”，以此强调该力起源于坐标系的加速度，而不是来自于物体间的相互作用。,质点相对运动微分方程,几种特殊情况：,1、动系作平行移动,动系平移时质点相对运动方程,2、动系作匀速直线平行移动,牛顿运动定律在此参考系中成立,动系作匀速直线平移时，此动系也是惯性参考系。,此式说明，在一个封闭的系统内部所做的任何力学试验，都不能决定该系统是静止的还是作匀速直

12、线平移。这一结论称为“古典力学的相对性原理”。,3、质点的相对平衡与相对静止,质点的相对平衡是指相对非惯性参考系作匀速直线运动,是常矢量,即,质点相对平衡方程,相对静止时，有,质点相对静止方程,请你思考,置于圆桶的水，若圆桶以w 绕其中心轴匀速转动，水表面将呈何状态？试写出水面在 Oxy 平面内的曲线方程。,水表面为一旋转抛物面。,水面在 Oxy 平面内的曲线方程：,例 一质点 M 沿离心泵的光滑导叶向外运动，如图所示。设离心泵以匀角速度 转动，初瞬时，质点在导叶内端r=ri 处（r 为质点与泵轴心的距离），而。试将质点沿导叶运动的速度 及导叶作用于质点的力FN 表示为 r 的函数，并求质点相

13、对导叶的运动方程。,解 1、求,在沿半径方向投影,两边乘以dr，并积分,得,应用质点相对运动动力学方程求解较方便,在垂直于半径的方向投影,将方程,得,2、求,3、求,将式,改写为,积分,得,例 图为单摆，已知 l、m、aO，求此摆微幅振动的周期。,解：以单摆的悬挂点为坐标原点，建立平动参考系Oxy。小球相对动系的运动相当于绕固定点的O的摆动。,受力分析：真实力 mg、FT，惯性力 FIemaO FIc0（动系平动）,，,相对运动微分方程：,在轴上投影：,令,其解为,摆动的周期,例 由于地球自转的影响，地面上各处（除两极及赤道附近外）的铅直线并不沿着地球半径，而是下端偏向赤道。试求偏角 与纬度 的关系,设地球是半径为R的圆球。考虑地球自转，小球处于相对静止状态。,作用在小球上的真实力：G、F,小球的惯性力：FIe,其相对静止平衡方程为,解：在纬度为 的地面上用绳悬挂一小球M，使其静止。,铅直线沿绳，即沿力F 作用线。,取 x 轴垂直于铅直线,由于 的值很小,故FIe远远小于地球引力G，可以认为,绳的拉力 F 与小球的重力 W构成二力平衡，故有,式中,因为 极小，故有,将方程 在 x 轴上投影,得,取,则,在纬度 45处，偏角 有最大值,由于偏角很小，可以忽略不计，故可认为重力指向地心，铅直线则沿地球半径方向。,作业：51、54、514、525,