教学课件：第五章-套利定价理论.ppt

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1、2023/10/14,1,第五章,套利定价理论,2023/10/14,2,课堂讨论,索罗斯来干什么？,2023/10/14,3,第一节 因素模型第二节 套利交易行为第三节 套利定价理论第四节 资产流动性与资产定价,本章结构,2023/10/14,4,第一节 因素模型,一、含义,因素模型由威廉.夏普在1963年提出，它是建立在证券关联性基础上，用于描述证券收益与各种因素或指数变动之间的关系。夏普认为，证券间的关联性是由于某些共同因素的作用所致，不同证券对这些共同的因素有不同的敏感度。对所有证券都产生影响的共同因素便是系统性风险，而这正是因素模型所抓住的影响因素。,2023/10/14,5,第一节

2、 因素模型,一、含义,在因素模型中，因素通常以指数形式出现，因而又称为指数模型，这些指数或因素通常包括GDP指数、股价指数和物价指数等。相对CAPM而言，因素模型主要是为了解决两个问题。一是，提供一种简化应用CAPM的方式；二是，细分影响总体市场环境变化的宏观因素，如国民收入、通胀率、利率、能源价格等具体带来的系统性风险的因素。,2023/10/14,6,第一节 因素模型,一、含义,因素模型主要用于描述资产收益与各种因素或指数变动之间的关系，从而为投资经理们提供了一个根据各因素可能的变化来确定资产预期收益率的框架。按照模型中因素个数可以分为单因素模型和多因素模型，因素的增加通常会提高模型的精确

3、度。,2023/10/14,7,第一节 因素模型,二、单因素模型,（一）方程形式：其中：是证券i在t时期的收益率；是宏观因素在t期的值；是证券i对宏观因素的敏感度，是均值为零的随机变量，是回归方程的残差项。是当宏观因素均值为零时证券的收益率。,2023/10/14,8,第一节 因素模型,二、单因素模型,（二）模型假设 1.收益率的生成过程由上述回归方程描述 2.对每个证券i而言，都有：3.每一证券的残差与宏观因素不相关，这意味着因素的结果对随机误差的结果没有任何影响。,2023/10/14,9,第一节 因素模型,二、单因素模型,（二）模型假设 4.证券i与j的残差不相关，这意味着一种证券的随机

4、误差结果对任意其他证券的随机误差结果不产生任何影响。换句话说，两种证券的回报率仅仅通过对因素的共同反应而相关联。,2023/10/14,10,第一节 因素模型,二、单因素模型,（三）模型计算 1.证券i的期望收益可以表示成：2.证券i的方差可以表示成：3.证券i和证券j的协方差可以简化成：,2023/10/14,11,第一节 因素模型,二、单因素模型,（三）模型计算在正是因为可以用这种简单方式计算协方差，使指数模型能够克服马柯威茨模型的庞大计算量的困难。如果组合里有n项资产，计算组合的方差协方差矩阵需要进行1/2n(n+1)次方差-协方差的测算，但现在只需要测算n个 和1个 就可以了。,202

5、3/10/14,12,第一节 因素模型,二、单因素模型,（四）风险分类 在单因素模型中，表示非系统性风险。非系统性风险是指公司特有的风险，诸如企业陷入法律纠纷、罢工、新产品开发失败等等，即每一证券的风险来源是独立的。这种风险与整个市场的波动无关，投资者可以通过投资分散化来消除这部分风险。,2023/10/14,13,第一节 因素模型,二、单因素模型,（四）风险分类 在单因素模型中，表示系统性风险。其中，表示宏观因素均值为零时的期望收益。系统性风险是指，整个市场所承受到的风险，如经济的景气情况、市场总体利率水平的变化等因为整个市场环境发生变化而产生的风险，即每一证券的风险来源是一样的。由于市场风

6、险与整个市场的波动相联系，因此，无论投资者如何分散投资资金都无法消除和避免这一部分风险。,2023/10/14,14,第一节 因素模型,二、单因素模型,（五）市场模型 市场模型实际上是一种特殊的单因素模型，它假设市场指数是影响证券价格的唯一因素。假设一定时期内的股票收益率与同期市场指数（如标准普尔500指数）的收益率相联系，即如果行情上扬，则很可能该股票价格会上升；市场行情下降，则该股票很可能下跌。因此，该证券的收益率,2023/10/14,15,第一节 因素模型,二、单因素模型,（五）市场模型 就可以表示成市场指数收益率的函数关系式：其中：代表某一给定时期证券i的收益率 代表相同时期市场指数

7、I的收益率 代表市场指数，是随机误差项。,2023/10/14,16,第一节 因素模型,二、单因素模型,（五）市场模型 对于股票A而言，。如果市场预期的回报率为10%，则该证券的预期回报率为14%；如果市场的预期回报率为-5%，则该证券的预期回报率为-4%。但是，由于随机误差项的存在，证券A的实际回报率与预期回报率也存在一定偏差。,2023/10/14,17,第一节 因素模型,二、单因素模型,（六）均衡模型 当证券市场达到均衡时，并且该指数代表了整个证券市场指数时，单因素模型就变成了CAPM中的证券市场线SML，两个贝塔值也就变成了同一个数值。此时，。而证券i的风险补偿与市场组合的风险补偿的协

8、方差即为：,2023/10/14,18,第一节 因素模型,二、单因素模型,（六）均衡模型 两个模型都有一个被称为值的斜率，并且这两个模型或多或少地包含了市场，但其主要区别在：首先，CAPM模型是一个均衡模型，它描述证券的价格如何确定；市场模型是一个因素模型。其次，CAPM模型是相对于整个市场组合而言的，即相对于市场中所有证券的集合。而市场模型是相对于某个市场指数而言，即基于市场中的一个样本。,2023/10/14,19,假定分析A公司股票的收益率时，只考虑其与预期的国内生产总值的增长率相关。为A公司股票在t时期的收益率；为GDP在t时期的预期增长率；为A公司股票在t时的个别或者特有的收益率；为

9、公司股票对预期GDP增长率的敏感性；为GDP无关的因素的作用。,第一节 因素模型,二、单因素模型,2023/10/14,20,1.在excel表格中输入(或计算出)两组数据X,Y。2.将两组数据X,Y绘图(图表类型选用XY散点图)。3.鼠标右键点击曲线，选择添加趋势线。4.在择添加趋势线中，类型中选用线性，选项中选项显示公式和显示R平方值两项（）后就会自动进行线性回归计算了。用EXCEL提供的函数LINEST和回归分析工具进行线性回归分析，并利用EXCEL的插入图表功能做线性回归拟合图。也示例说明了线性回归产生的测量不确定度的计算。,第一节 因素模型,二、单因素模型,2023/10/14,21

10、,金融分析师不仅使用Excel构建金融模型，也需要做大量的数据处理。单因素模型可以扩展到t时期包括任意证券i的情况，方程如下：其中，为t时期因素的预期值，是证券i对该因素的敏感性；是随机误差项，也就是一个均值为零，标准差为 的随机变量。,第一节 因素模型,二、单因素模型,2023/10/14,22,当投资风险分为系统风险与非系统风险时，贝塔系数便度量了资产的系统风险。资产的贝塔系数不稳定，是由于不同阶段影响市场的因素各不相同，而各种资产受不同因素影响的程度也是不同的。因此，要想正确或较为准确地预测资产在未来一段时期内的收益与风险，就必须将单因素模型改成为多因素模型，将资产的投资风险作进一步的细

11、分，即将原来的系统风险分解为一系列的因素风险。,第一节 因素模型,三、多因素模型,2023/10/14,23,当考虑多个因素对证券收益率的影响时，则产生多因素模型，多因素模型能够更加清晰而明确地解释系统性风险，从而有可能展示不同的股票对不同的因素的不同敏感性，因而可能会使精确性得以提高。这些因素通常包括经济增长速度、利率水平变化、石油等原料价格的变化、技术创新及劳动力成本的变化等。一般来说，因素的增加会使模型的精确度提高。,第一节 因素模型,三、多因素模型,2023/10/14,24,（一）两因素模型：一般形式 其中，和 代表所考虑的影响收益率的两个因素；和 分别是证券i对两个因素的敏感性。与

12、单因素模型一样，是随机误差项，也就是一个均值为零，标准差为 的随机变量。是当两个因素的取值为零时，证券i的预期收益率。,第一节 因素模型,三、多因素模型,2023/10/14,25,证券i的预期收益率：,证券i收益率的方差：,证券i和j之间的协方差：,n个证券组合的双因素模型为：,第一节 因素模型,三、多因素模型,（一）两因素模型：,n个证券组合的方差为：,2023/10/14,26,第一节 因素模型,三、多因素模型,（二）多因素模型 预期收益的方差以及资产预期收益之间的协方差：是因素j的方差；是随机误差项 的方差。,2023/10/14,27,（二）多因素模型 一旦运用上述方程估计出每种证券

13、的预期收益率、方差和协方差，证券i的风险就可分解为一系列的因素风险，与因素没有关系的残差风险（非因素风险）。尽管具体证券对各种因素的敏感性具有相对的稳定性，但投资者却可以通过证券组合的方法来获得自己所期望的因素敏感性。利用因素模型，我们可以细分投资的风险，可以清楚地了解证券或组合风险的内部结构，因而投资者就可以有针对性地进行风险管理。,第一节 因素模型,三、多因素模型,2023/10/14,28,（二）多因素模型 石油公司股票的投资者2006年以来关注两个关键因素：市场指数与国际石油价格。预期风险包括市场风险和油价风险，其他综合因素构成的风险 假设收益率生成过程中包含有两个因素，因而得到如下预

14、期收益率的表达式：,第一节 因素模型,三、多因素模型,2023/10/14,29,（二）多因素模型 其中:,第一节 因素模型,三、多因素模型,其中 为组合内各证券投资的权重资产组合总风险也可以由两部分构成,2023/10/14,30,（二）多因素模型 假设投资于每种证券的数量相等，可用1/N代替，代入上式得到：,第一节 因素模型,三、多因素模型,2023/10/14,31,（二）多因素模型 1.证券组合的因素敏感系数是组合内各证券敏感性系数的加权平均。（1）对任何因素模型，组合投资分散化会导致因素风险的平均化和非因素风险的降低（2）如果投资者刻意将某些特殊的证券组合在一起，就有可能使得组合具有

15、特定的因素敏感性。比如：石油公司与航空公司,第一节 因素模型,三、多因素模型,2023/10/14,32,（二）多因素模型 2.在因素模型的框架下，投资者可以通过组合构造来实现对各种投资风险的管理，投资者可以选择承担什么风险，不承担什么风险。3.组合投资通过分散化可以使组合的非因素风险大幅度下降。,第一节 因素模型,三、多因素模型,2023/10/14,33,第二节 套利交易行为,索罗斯这次出什么牌呢？,2023/10/14,34,索罗斯会出什么牌？,2023/10/14,35,第二节 套利交易行为,一、一价定理与套利二、套利交易的基本方式三、套利交易发生地条件,2023/10/14,36,在

16、竞争性市场中，两项相同资产的均衡价格应该相同,一价定理是通过套利过程实现的。定义：套利是指投资者利用证券间价格的不合理性进行资金转移，通过构造一个风险为零的资产组合，实现既赚取利润又不承担风险的行为。特征：（1）买入，卖出同时完成；（2）交易者不承担任何风险；（3）收益为正或交易利润大于无风险利率,第二节 套利交易行为,一、一价定理与套利,2023/10/14,37,第二节 套利交易行为,假设有四只可交易的股票，收益情况如表：,一、一价定理与套利,2023/10/14,38,各股票的基本统计数据为：A、B、C构成等权重的证券组合，将其和D进行对比卖空股票D，然后买入股票A、B、C等权重组合。,

17、2023/10/14,39,套利与投机的区别（一）盈利的理念不同（二）操作的方式不同（三）套利的风险较小（四）套利的成本较低,第二节 套利交易行为,一、一价定理与套利,2023/10/14,40,热钱与人民币升值发生在我们身边的套利（江铜）,案 例,第二节 套利交易行为,一、一价定理与套利,2023/10/14,41,一次套利机会？(1),三种证券的价格和可能的收益,第二节 套利交易行为,一、一价定理与套利,2023/10/14,42,利用证券A和B来构造一个投资组合，使得该组合的收益与证券C的收益完全相同。,第二节 套利交易行为,一、一价定理与套利,2023/10/14,43,假设卖出100

18、0单位的证券C套利的结果：,第二节 套利交易行为,一、一价定理与套利,2023/10/14,44,一次套利机会？(2),假设现在6个月即期年利率为10%（连续复利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，试问这样的市场行情能否产生套利活动？,第二节 套利交易行为,一、一价定理与套利,2023/10/14,45,答 案,套利过程是：第一步，交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假设1000万元）第二步，签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借入资金1051万元（等于1000e0.100.5）。第三步，按12%

19、的利率贷出一笔1年期的款项金额为1000万元。第四步，1年后收回1年期贷款，得本息1127万元（等于1000e0.121），并用1110万元（等于1051e0.110.5）偿还1年期的债务后，交易者净赚17万元（1127万元-1110万元）。,2023/10/14,46,二、套利交易的基本方式,跨品种套利 跨市场套利 期现套利 跨期套利 无风险套利,第二节 套利交易行为,2023/10/14,47,跨品种套利：利用两种不同的，但相互关联的品种的合约的价格差异进行套利。即买入某一交割月份某种品种的合约，同时卖出另一相同交割月份，相互关联的品种的合约。,做空宗教、做多殖民,2023/10/14,4

20、8,跨品种套利,例1-小麦/玉米间的跨品种套利 小麦和玉米均可用作食品加工及饲料，合约有同升同降趋势。具体做法：买入(或卖出)小麦期货合约，同时卖出(或买入)与小麦期货合约交割月份相同的玉米期货合约。,第二节 套利交易行为,二、套利交易的基本方式,2023/10/14,49,7月30日，11月份小麦合约价格为7.50美元/蒲式耳，而11月玉米合约价格为2.35美元/蒲式耳，前一合约价格比后者高5.15美元/蒲式耳。套利者根据两种商品合约的价差分析，认为价差小于正常年份水平，如果市场机制运行正常，这二者之间的价差会恢复正常。于是，套利者买入1手11月份小麦合约的同时卖出1手11月份玉米合约，以期

21、望未来某个有利时机同时平仓获取利润，交易如表8-4所示。,第二节 套利交易行为,二、套利交易的基本方式,2023/10/14,50,2023/10/14,51,跨市场套利：跨市场套利是指在某个交易所买人(或卖出)某一交割月份的某种商品合约同时，在另一个交易所卖出(或买入)同一交割月份的同种商品合约，以期在有利时机分别在两个交易所对冲在手的合约获利。,做空温室、做多冰山,2023/10/14,52,套利跨市场套利,在期货市场上，许多交易所都交易相同或相似的期货商品，如芝加哥期货交易所、东京谷物交易所都进行玉米、大豆期货交易，伦敦金属交易所、纽约商业交易所都进行铜、铝等有色金属交易。一般来说，这些

22、品种在各交易所间的价格会有一个稳定的差额，一旦这一差额发生短期的变化，交易者就可以在这两个市场间进行套利，购买相对价格较低的合约，卖出相对价格较高的合约，以期在期货价格趋于正常时平仓，赚取低风险利润。,2023/10/14,53,在进行跨市套利时，与跨期套利的基本原理相同。7月1日，堪萨斯市交易所12月份小麦期货合约价格为7.50美元/蒲式耳，同日芝加哥交易所12月份小麦期货合约价格为7.60美元/蒲式耳。套利者认为：虽然堪萨斯市交易所的合约价格较低，但和正常情况相比仍稍高，预测两交易所12月份合约的价差将扩大。据此，套利者决定卖出1手堪萨斯市交易所12月份小麦合约，同时买入1手芝加哥交易所1

23、2月份小麦合约，以期望未来某个有利时机同时平仓获取利润，交易情况如表8-5所示。,第二节 套利交易行为,二、套利交易的基本方式,2023/10/14,54,2023/10/14,55,期现套利：期现套利是指当期货市场与现货市场在价格差距发生不合理变化时，交易者就会在两个市场进行反向交易，从而利用价差变化获利的行为。,做空大周、做多李唐,2023/10/14,56,期现套利,期现套利有助于保持期货市场和现货市场之间的合理的价格关系。可以说，期现套利是跨市套利的扩展，把套利行为发展到现货与期货两个市场而已。在发达国家期货市场，期货交割一般由套利形成的，当某一期货合约的价格出现偏离时，就会出现大量的

24、无风险套利机会。当期货价格明显高于现货价格时，就会有套利者进行期现套利，买进现货并用于期货交割。期现套利有助于现货价格与期货价格的趋同。,2023/10/14,57,案例,8月30日，9月份大豆合约价格为2300元/吨，大连现货市场价格为2200元/吨，前一合约价格比后者高100元/吨。套利者根据大连商品交易所交割费用情况和现货市场流通费用情况认为期货价格远高于现货价格加上交割费用，可进行期现套利。交割费用如下：(1)交割整理成本。进入期货市场交割的大豆对品质的要求非常严格，现货流通中一般只作一次过筛整理，而用于期货交割的大豆一般则需要用清洗机进行整理，根据地区和粮质的不同，整理费用一般在每吨

25、3060元。,第二节 套利交易行为,2023/10/14,58,(2)运输成本。火车运输，由于用于期货交割的大豆在运输过程中对外包装的防污染要求比较严格，进行实物交割的货主一般申请盖车，车厢内要打扫干净，车厢四周要作铺垫，增加成本每吨3.6元。(3)关于发票。大豆现货采购中，卖方货主一般采用普通发票，可以抵扣10%的税款；用于期货交割的大豆货主则要求提供增值税发票，增加了购买成本。(4)质检成本。仓库对现货大豆入库检验收费标准不同，现货大豆检验费一般为每吨02元，用于期货交割大豆检验费为每吨2元。(5)入库成本。大豆入库分为铁路专用线入库和汽车,第二节 套利交易行为,2023/10/14,59

26、,倒入两种方式。现货大豆铁路入库费用为：库内搬倒费、卸车费、铁路费用、过磅费、入库力资费和帆蓬布费，共计每吨23.64元；现货大豆汽车入库费用为：入库力资费和过磅费，每吨2.2元。用于期货交割的大豆铁路入库费用为每吨25元；期货交割大豆汽车入库费用为每吨4元。(6)仓储成本。以大连地区为例，现货大豆仓储费为每吨每天0.150.2元；期货大豆仓储费包括了仓储费、自然损耗费、熏蒸费等，收取标准为每吨每天0.5元；5月1日至1O月31日期间，每天每吨加收0.10元的高温季节储存费。,第二节 套利交易行为,2023/10/14,60,综上，通过以上各项费用比较，根据大豆质量差异和地区不同，产地大豆现货

27、销售到大连地区和用于期货市场交割费用之间的差价约为每吨6080元。此外，从历年交割大豆品质分析，相当部分经过产地整理清选后用于期货交割大豆的等级、杂质和水分达到升水，升水的幅度一般在每吨30元，此时卖方可以得到这个升水。因此，若卖方得到升水时的交割成本约为每吨3050元。在此基础上，投资者就可进行期现套利。按照2200元/吨买人大豆现货，同时在期货市场以2300元/吨卖出大豆期货合约。然后持有到期交割。投资者可将买入的大豆用于期货市场上的交割。因此，扣除掉持有大豆所花费的仓储成本以及相关的交割费用(即3050元/吨)之后，投资者会盈利5070元/吨(即2300-2200-50=50，2300-

28、2200-30=70)。,2023/10/14,61,跨期限套利：跨期套利是指利用同一交易所的同种商品但不同交割月份的期货合约的价差进行的套利交易。,做空东征、做多埃及,2023/10/14,62,跨期套利,具体来说，就是在同一交易所买入或卖出某一交割月份的某商品期货合约的同时，卖出或者买人另一交割月份的同一商品的期货合约，以期在有利时机同时将两种期货合约对冲平仓的交易。例如，在CBOT买入3月份的小麦期货的同时卖出7月份的小麦期货，期望未来在有利价位卖出3月份小麦期货同时买入7月份小麦期货平仓获利。这种套利形式是套利中最为常见的一种。,2023/10/14,63,无风险套利：上述四种套利行为

29、就是无风险套利。不承担风险 只获取利润,做空朝歌、做多西岐,2023/10/14,64,无风险套利,套利定价理论中的套利是无风险套利。在现实的金融市场上，真正的无风险套利很少发生。在有效市场上，无风险套利的机会一旦出现，往往会转瞬即逝。无风险套利机会转瞬即逝的道理,2023/10/14,65,三、套利交易发生地条件,（一）资产定价出现了偏差 1.相同的资产在不同市场上的价格不同 2.相同现金流量的资产的价格不同 3.用未来价格确定的资产（二）不存在对套利的限制和套利成本小于套利收益,2023/10/14,66,Arbitrage Pricing Theory是作为 CAPM 的替代物而问世的。

30、Ross(1976)针对 CAPM 的单因素模型，提出目前被统称为 APT 的多因素模型。该模型由一个多因素收益生成函数推导出，理论基础为一价定律，即两种风险收益性质相同的资产不能按不同价格出售。该模型推导出的资产收益率决定于一系列影响资产收益的因素，而不完全依赖于市场资产组合，而套利活动则保证了市场均衡的实现。同时，APT对CAPM中的投资者风险厌恶的假设条件作了放松，从而较CAPM具有更强的现实解释能力。,第三节 套利定价理论,2023/10/14,67,第三节 套利定价理论,套利定价理论核心：市场上总是存在聪明的投资者去抓住并充分利用套利机会进行套利，直至无风险套利机会消失为止。无风险套

31、利机会只有在金融市场违背了“一价定律”的情况下才会出现。完全竞争的资本市场中，套利必须存在。,一、假设条件与逻辑起点,2023/10/14,68,(一)假设条件 1.一致性预期，证券收益能用因素模型表示；2.有足够多的证券来分散风险；3.证券市场完全竞争、高效运转、无摩擦，不允许存在持续的套利机会；4.投资者是不知足的，一旦发现套利机会，就会构造套利组合进行套利；,第三节 套利定价理论,一、假设条件与逻辑起点,2023/10/14,69,我们把套利模型的假设条件和CAPM模型的假设条件作个比较，可以得到APT模型和CAPM模型共同拥有的以下假设：1.投资者有相同的投资理念；2.存在着大量投资者

32、；3.投资者追求效用最大化；4.投资者是价格的接受者；5.单个投资者的交易行为对证券价格不发生影响；6.证券市场不存在交易成本。,（一）APT的假设条件,2023/10/14,70,而APT模型不需要以下的假设条件：单一投资期 不存在税收问题 投资者能以无风险利率自由地借入和贷出资金 投资者以回报率的均值和方差选择投资组合,（一）APT的假设条件,2023/10/14,71,（二）APT的逻辑起点因素,投资组合的整体风险中的非因素风险部分可以分散掉，因此资产的收益只有因素风险影响。模型与充分分散风险的投资组合 1.因素模型 在套利定价理论中，我们将先从考察一个单因素模型入手，这个模型假设只有单

33、个系统因素影响证券的收益。资产收益的不确定性来自两个方面：（1）共同或宏观经济因素（2）厂商的特别风险,2023/10/14,72,如果我们用 表示共同因素期望值的偏差，表示厂商i对该因素的敏感性，表示厂商特定的扰动，则该单因素模型表明厂商的实际收益等于其初始期望收益加上一项由未预料的整个经济事件引起（零期望值）的随机量，再加上另一项由厂商特定事件引起（零期望值）的随机量。,（二）APT的逻辑起点因素,2023/10/14,73,为使该单因素模型更具体，我们举个例子：假设宏观因素 代表国民生产总值（GNP）的意外的百分比变化，而舆论认为今年GNP将变化4%。我们还假定一种股票的 值为1.2。如

34、果GNP只增长了3%，则F值为-1%，表明在与期望增长相比较时，实际增长有1%的失望。给定该股票的值，可将失望转化为一项表示比先前的预测低1.2%的股票的收益。这项宏观的意外加上厂商特定的扰动，就决定了该股票的收益对其原始期望值的全部偏离程度。,（二）APT的逻辑起点因素,2023/10/14,74,2.充分分散风险的投资组合 假如一个投资组合P是充分分散风险的，那它的厂商特定风险或非系统风险可以被分散掉，保留下来的只有因素（系统）风险，即收益与风险为：,（二）APT的逻辑起点因素,2023/10/14,75,2023/10/14,76,多因素模型与投资组合,因素模型：投资组合的收益：其中 J

35、=1,2,.K；N需大于J,（二）APT的逻辑起点因素,2023/10/14,77,我们把充分分散的投资组合定义为：满足按比例分散持有足够大数量的证券组合，而每种证券i的数量又到可以使非系统方差被忽略掉。既然非系统风险因素可以被分散掉，那么只有系统风险在市场均衡中控制证券的风险溢价。在充分分散的投资组合中，各个厂商之间的非系统风险相互抵偿，因此，在一个证券组合中，与其期望收益相关的就只有系统风险了。,（二）APT的逻辑起点因素,2023/10/14,78,对于k因素模型ri=E(ri)+i1F1+i2F2+ikFk+I E(i)=0，cov(Fi,j)=0，cov(i,j)=0；市场上的证券种

36、类大于因子数目k。(1)它是一个不需要投资者任何额外资金的组合，即在第i个证券上的投资量i满足i=0。(2)该组合对任何因素的敏感度均为0，iij=0(3)该组合的期望收益率必须为正：iE(ri)0,（一）基本的套利活动,二、几种情况下的套利机会,2023/10/14,79,可知套利组合满足下面方程的解：1+2+3=0；0.51+2.02+1.53=0；0.151+0.202+0.1030满足这三个条件的解有无数，如(5,-2,-3)，即买入份股票，卖空份股票，卖空份股票。因此这个市场是有套利的,二、几种情况下的套利,2023/10/14,80,因此，对于无套利市场，不存在套利组合，即满足：若

37、i=0，iij=0,则iE(ri)0。根据Farkas引理，期望收益率可表示为常向量和因子敏感度的线性组合，Eri=0+1i1+2i2+kik 若存在无风险证券，收益率0为rf，则上式变为 Eri=rf+1i1+2i2+kik 若令j表示仅对影响因子j有单位敏感度，对其他因子敏感度为的证券组合的期望收益率则APT常写为 Eri-rf=(1-rf)i1+(2-rf)i2+(k-rf)ik。,（一）基本的套利活动,二、几种情况下的套利,2023/10/14,81,如果两个充分分散化的投资组合有相同的值，那它们在市场均衡时必定有相同的预期收益。A=B E(rA)=E(rB)否则有套利机会出现，通过套

38、利使二者的预期收益率相等。,（二）具有相同贝塔值的套利,二、几种情况下的套利机会,2023/10/14,82,2023/10/14,83,已知分散化的投资组合的收益是：rP=E(P)+P F（单因素）套利组合的构成及套利过程(10%+1.0F)100万美元（在资产组合 A上作多头）（8%1.0F）100万美元（在资产组合B上作空头）0.02 100万美元20,000美元（净收益）,二、几种情况下的套利机会,（二）具有相同贝塔值的套利,2023/10/14,84,这样，我们就获得了一项无风险利润。这种买卖行为将一直持续到套利机会消失为止。具有相同值的投资组合在市场均衡时 一定具有相同的期望收益，

39、否则将存在无风险套利机会，通过套利使二者预期收益相等。,二、几种情况下的套利机会,（二）具有相同贝塔值的套利,2023/10/14,85,（三）不同贝塔值的套利,对于有不同值的充分分散化的投资组合，其预期收益率中风险补偿必须正比于值，不然也将发生无风险套利。,二、几种情况下的套利机会,2023/10/14,86,2023/10/14,87,参见上图，假定无风险收益率rf 是4%，有一充分分散化的投资组合C的值为 c=0.5，具有预期收益率6%。在图中，代表投资组合C的点位于连接无风险资产和组合A的直线的下方。另一个投资组合D，这个组合一半由组合A,另一半由无风险资产组成。这样，组合D的值为D=

40、0.50+0.51.0=0.5,预期收益率是0.54+0.5l0=7。组合D和组合C的值相等而预期收益率不等，如前所述，会发生套利。,（三）不同贝塔值的套利,2023/10/14,88,套利组合及套利过程（做D多头）(0.50.04+0.50.10.5F)100万（做C空头）（0.060.5F）100万 结果是：套利组合的收益为正；收益无风险，即套利组合对因素的敏感度为零；净投资为零。,（三）不同贝塔值的套利,二、几种情况下的套利机会,2023/10/14,89,两个宏观因素的模型是这样的 ri E(ri)+i1F1+i2F2+ei 假设因素F1代表对GDP预期值的偏离，因素F2则代表末预期到

41、的通货膨胀率的变化，它们的预期 值都等于零，因为它们代表的都是对预期值的偏离。同样ei 代表企业特有的风险，也是对预期值的偏离，所以预期值也为零。引进因素组合概念:因素组合是非系统风险已经充分分散化或消除掉,（四）多因素的套利,二、几种情况下的套利机会,2023/10/14,90,的组合，并且它对其中一个因素Fj的j值为1而对其他因素j的值都为0，ij。因素组合的作用在于：用因素组合作为基准组合来定价（如同CAPM的市场组合作用一样）。为何对纯因素投资组合有特别的兴趣？建立纯因素组合后，构建追踪投资组合就变得特别简单：通过改变第i种因素的纯因素投资组合的权重调整，i=wi；用无风险资产维持整个

42、追踪投资组合的权重为1，即w0=1-w1-w2-wK=1-1-2-K。,（四）多因素的套利,2023/10/14,91,将因素组合的期望收益记为j，则因素组合的风险补偿j=j-rf。假如有两个因素组合的j 期望收益分别为10和12，无风险资产收益为4%（已知条件）现在来看任意一个充分分散化的投资组合A，它对两个宏观因素的敏感度的值分别是A1=0.5和A2=0.75（已知条件）。则A的预期收益一定为13，否则有套利风险。,（四）多因素的套利,2023/10/14,92,如果投资组合A的预期收益率不等于13，而是 12，则可以构筑如下的组合头寸:取权重为50的因素组合1，权重为75的因素组合2，再

43、加上权重为-25的无风险证券(权重是负数,意味着以无风险利率借入)，构成一个新的组合。这个组合的预期收益率为0.5l0+0.7512-0.254=13。同时构筑这个组合的多头和组合A的空头，就能套取无风险利润。算式如下,（四）多因素的套利,2023/10/14,93,（四）多因素的套利,到期套利组合多头的收益13%+0.5F1+0.75F2 到期组合A空头的支付（12%0.5F1+0.75F2）净利润1%结果仍是：套利组合的收益为正；组合无风险，即套利组合对因素的敏感度为零；净投资为零。,2023/10/14,94,从这个简单的例子我们可以发现，套利组合是这样构筑的:对于任意一个暴露在F1和F

44、2两个宏观因素的系统风险下的任意投资组合P，分别以其值即P1,P2为权重选取因素组合1和2，再加上权重为1-P1-P2 的无风险证券(若1-P1-P2 0，表示无风险证券的卖空或以无风险利率借入资金)。这一套利组合实际上复制了组合P，因而组合P可由此套利组合给出定价。,（四）多因素的套利,2023/10/14,95,（一）套利机会的条件（二）套利定价方程（三）CAPM与APT 比较,第三节 套利定价理论,三、套利定价模型,2023/10/14,96,(一)套利机会的条件（或套利组合的建立）设市场有N种证券，Wi表示投资者对证券持有权数的变化。1.根据套利的定义，套利有自融资功能，套利组合中买入

45、证券所需资金由证券获得。2.根据套利的定义，如果套利机会存在，套利组合不承担风险，对任何因素的敏感性为零，即PJ=0，J=1,2,.K N需大于J。3.根据套利的定义，套利须获得非负的收益。,第三节 套利定价理论,三、套利定价模型,2023/10/14,97,多因素模型：投资组合的收益：其中 J=1,2,.K；N需大于J,第三节 套利定价理论,三、套利定价模型,2023/10/14,98,第一个条件：W1+W2+W3+.+Wn=0 第二个条件：pj=0,j=1,2,3,.k.即：W111+W221+W331+WNN1=0 W112+W222+W332+WNN2=0 W11k+W22k+W33k

46、+W NNK=0 这时满足这两个条件的任何一组解将成为潜在的套利组合，即满足自融资和无风险套利条件。,第三节 套利定价理论,三、套利定价模型,2023/10/14,99,ij是第i个证券第j个因素的敏感度。其中 J=1,2,.K；N需大于J第三个条件：w1r1+w2r2+w3r3+.+wnrn 0 因此，当一个组合满足上述三个方程时，便存在一个能获得不承担风险的正的收益的套利组合。,第三节 套利定价理论,三、套利定价模型,2023/10/14,100,当套利机会不存在时，市场均衡。那么，当各种证券的期望收益处于什么状态时，没有套利机会呢？即各种证券的期望收益处于什么状态时，上述三个方程的联立解

47、不存在呢？当且仅当期望收益率是敏感性的线性函数时，上述三个方程的联立解不存在，即不存在套利机会，这时市场达到均衡。即有：,第三节 套利定价理论,三、套利定价模型,（二）套利定价方程,2023/10/14,101,E(ri)=01i1+2i2+.kik ik是第i个证券第k个因素的敏感度。如果市场有无风险资产，上式为：E(ri)=rf 1i1+2i2+.kik 其中，j 是因素组合的风险补偿j=j rf。,第三节 套利定价理论,三、套利定价模型,（二）套利定价方程,2023/10/14,102,投资组合的总风险补偿应当是投资者承受宏观因素的系统风险所应得到的风险补偿的和。而每种宏观因素的系统风险

48、的补偿等于相对于该因素的贝塔值乘以因素组合的风险补偿。因此，套利定价方程是：E(ri)=rf+i1(1-rf)+i2(2-rf)+.+ik(k-rf),第三节 套利定价理论,三、套利定价模型,（二）套利定价方程,2023/10/14,103,举例：单因素套利组合 ri=ai+biF+ei 假定投资者拥有3种证券，他所持的每种证券当前的市值为4,000,000美元。这三种证券具有如下的预期回报率和敏感性。这样的预期回报率与因素敏感性是否代表一个均衡状态？I 预期收益率ri 敏感因子bi 证券1 15 0.9 证券2 21 3.0 证券3 12 1.8,第三节 套利定价理论,三、套利定价模型,（二

49、）套利定价方程,2023/10/14,104,x1+x2+x3=0（1）0.9x1+3.0 x2+18x3=0（2）15x1+21x2+12x30（3）令x1=0.1，得到套利组合（0.1，0.075，-0.175）代入式3得该套利组合的预期收益率为0.975%。,第三节 套利定价理论,三、套利定价模型,（二）套利定价方程,2023/10/14,105,买卖行为导致套利机会减少最终消失，如果找不到满足预期收益率大于0的资产组合，此时存在非负的常数，使得预期回报率和敏感性之间满足如下线性关系E(r1)=011;E(ri)=rf（1-rf）i,第三节 套利定价理论,三、套利定价模型,（二）套利定价

50、方程,2023/10/14,106,2023/10/14,107,假定证券的收益回报率是由 四种证券的期望回报率和敏感性如下：,第三节 套利定价理论,三、套利定价模型,（三）多因素套利定价：Example,2023/10/14,108,从而得到套利组合：(0.1,0.088,-0.108,-0.08),第三节 套利定价理论,三、套利定价模型,（三）多因素套利定价：Example,2023/10/14,109,通过购买证券1和2,同时出售证券3和4,使得证券1和2价格上涨，3和4价格下跌,推动市场均衡。即当满足前面三个等式的组合的预期回报率为0,均衡达到.如果找不到满足满足预期收益率大于0的资产