微积分第三章第三节反复隐的导数.ppt

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1、第三节 反函数、复合函数、隐函数的导数,一.反函数的导数,定理3.5,设函数 y=f(x)在点x处有不等于零,的导数,并且其反函数,在相应,点处连续,则,存在,并且,或,证明,当函数 y=f(x),的反函数,的自变量的改边量,时,相应的,因变量的改边量,否则,时,由,y=f(x),是一一对应函数 可得,即,与,矛盾,从而,因,故,或,例1,求指数函数,的导数.,解,的反函数为,特别地,例2,求,的导数.,解,的反函数为,例3,求,的导数.,解,基本求导公式,二.复合函数的导数,定理3.6,如果,在点,处有导数,在对应点,处有导数,则复合函数,在点,处的导数也存在,而且,或,证明,即,当,有改变

2、量,时,有相应地改变量,若,则,例4,求,的导数.,解,令,则,解,例5,求,的导数.,解,令,则,解,如,例8,求,的导数.,解,故,例6,求,的导数.,解,三.抽象复合函数的导数,例7,求,的导数.,解,例9,已知,可导,求,解,四.分段函数的导数,例10 已知函数,求,解,因,不存在,故,分段函数求导函数时注意,(1)每一段内求导用法则求,(2)分段点处求导用定义求.,五.隐函数的导数,例11,求由方程,所确定的隐函数,的导数.,解,方程两边对x同时求导,得,即,例12,求由方程,所确定的隐函数,的导数.,解,方程两边对x同时求导,得,故,例13,求由方程,所确定的,的导数.,解,上式两

3、边对x同时求导:,即,隐函数,原方程可化为:,例14,求曲线,上点(2,2)处的,的切线方程.,解,方程两边对x同时求导,得,故,所以切线方程为,即,例15,设球半径R以2厘米/秒等速度增加,求当球半径R=10厘米时,其体积V,增加的速度.,解,例16,求椭圆,上点,处的,切线方程.,解,方程两边对x同时求导,得,故,当,时,所求切线方程为,即,即,当,时,对应的点为:,对应切线方程为,它们都满足:,故,上任一点,处的,切线方程为:,例17,设,求,例17,设,求,解,将等式两边取对数,方程两边作为x的函数同时求导,六.对数求导法,例18,设,求,解,将,两边取对数,方程两边作为x的函数同时求导,例19,设,求,解,将等式两边取对数,方程两边作为x的函数同时求导,故,练习,1.设,求,2.已知,求,3.设,其中,在,处连续,在,处可导,求,4.设,在任意的,处满足,且,求,1.设,求,解,2.已知,求,解,3.设,其中,在,处连续,在,处可导,求,解,在,处可导,由,可得,故,4.设,在任意的,处满足,且,求,解,由,可得,所以,