微积分第2章极限与连续.ppt
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1、第二章 极限与连续,1,第二章 极限与连续,2.1 数列的极限,2.2 函数的极限,2.3 无穷小量与无穷大量,2.4 连续函数,第二章 极限与连续,2,一、问题的提出二、数列极限的定义三、数列极限的运算法则四、收敛数列的性质五、数列收敛的准则,2.1 数列的极限,第二章 极限与连续,3,一、问题的提出,yn 称为数列的通项.,1.数列对应于数轴上的点列(一动点在数轴上依次取值).,注:,2.数列可视作整标函数:f:nyn.,例.,第二章 极限与连续,4,庄子言“一尺之棰,日取其半,万世不竭也”,问题一:观察 当n不断增大时的变化趋势;,观察 当n不断增大时的变化趋势,文字描述:当 n 无限增
2、大时,yn 无限接近 某定数.,第二章 极限与连续,5,问题二:能否用数学语言刻画“当n无限增大,yn无限接近A”?,以 为例,,用(0)刻画 yn 与 1 的接近程度,则,对于 只要 有,对于 只要 有,对于 只要 有,概括起来,,第二章 极限与连续,6,二、数列极限的定义,1.刻画yn与A的接近程度,N刻画 n 充分大的程度;,注:,具有任意性,N的存在常依赖于.,若yn不收敛(无极限),则称其发散.,记作,2.考察数列极限,只关心 n 充分大时数列的趋势.,了解,第二章 极限与连续,7,2),1),2.用定义只能验证极限,不能求极限.,按数列极限定义证明:,例1,第二章 极限与连续,8,
3、三、数列极限的运算法则(课本p.662.5),会应用,第二章 极限与连续,9,(上下同除以n3),注意:极限四则运算只适用于有限项运算,且各项极限存在!,(先求括号内各项之和),第二章 极限与连续,10,四、收敛数列的性质(课本p.60-62 2.2,2.3),了解,第二章 极限与连续,11,五、数列收敛的准则(课本p.712.6),夹逼准则,若数列 xn,yn,zn 满足:,则数列xn收敛,且,(可放宽至“nN”),例4 求下列极限:,会应用,第二章 极限与连续,12,单调有界准则 单调有界数列必收敛.,1.单调、有界,两条件缺一不可;,注:,2.反过来,收敛数列必有界,但未必单调!,了解,
4、第二章 极限与连续,13,2.2 函数的极限,一、x 型的函数极限二、xx0 型的函数极限三、函数极限的运算法则四、函数收敛的性质与准则五、两个重要的函数极限,第二章 极限与连续,14,一、x 型的函数极限,记作,了解,1.数列极限是其特殊情形.,注:,几何意义:,2.观察函数图象特征可以确定某些极限.如,第二章 极限与连续,15,类似可定义:,例1 2),记住结论,了解,第二章 极限与连续,16,二、xx0 型的函数极限,记作,注意:与f(x0)无关!,了解,第二章 极限与连续,17,记住结论,了解,第二章 极限与连续,18,三、函数极限的运算法则(xX:任意一类函数极限),会应用,特别地,
5、,第二章 极限与连续,多项式函数求单点极限,只需计算函数值;,有理分式函数(分母极限不为0)求单点极限,只需计算函数值;,有理分式函数(分母0)求单点极限,约分去零因子,有理分式函数求极限,必要时除以最大方幂,例4 计算下列极限:,19,有理化去零因子,第二章 极限与连续,20,性质1(唯一性)略,四、函数收敛的性质与准则,性质4(局部保序性),性质3(局部保号性),(以 xx0 型函数极限为例),了解,第二章 极限与连续,21,(可放宽至“xU(X)”),例5 证明:,会应用,设,则,,且,补充(变量替换)*,会应用,例:,第二章 极限与连续,23,五、两个重要的函数极限,1.,证:,同除以
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