微分中值定理-赵树嫄.ppt

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1、第三章微分中值定理和导数应用,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式(第三节),第一节微分中值定理,一、罗尔定理,二、拉格朗日中值定理,三、柯西中值定理,第三章,问题的提出,我们知道，导数是刻划函数在一点处变化率的数学模型，它反映的是函数在一点处的局部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常常需要把握函数在某区间上的整体变化性态，那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何关系呢？中值定理正是对这一问题的理论诠释。,中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既是利用微分学知识解决应用

2、问题的数学模型，又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。,费马引理,一、罗尔定理,且,存在,证:设,则,证毕,几何解释:,导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点、临界点),罗尔定理,满足:,(1)在闭区间 a,b 上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),使,证:,故在 a,b 上取得最大值,M 和最小值 m.,若 M=m,则,因此,若 M m,则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设,则至少存在一点,使,注意:,1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.,例如,则由费马引理得,使,2)定理条件只是充分的.,本定理可推广为,在(a,b)内可导,且,在(a,b

3、)内至少存在一点,证明提示:设,证 F(x)在 a,b 上满足罗尔定理.,例1.证明方程,有且仅有一个小于1的,正实根.,证:1)存在性.,则,在 0,1 连续,且,由零点定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根,2)唯一性.,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点,但,矛盾,故假设不真!,设,二、拉格朗日中值定理,(1)在闭区间 a,b 上连续,满足:,(2)在开区间(a,b)内可导,至少存在一点,使,思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然,在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,且,证:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立.,证

4、毕,几何解释:在曲线弧AB上至少有一点,在该点处的 切线平行于弦AB,拉格朗日中值定理的有限增量形式:,推论:,若函数,在区间 I 上满足,则,在 I 上必为常数.,证:在 I 上任取两点,格朗日中值公式,得,由 的任意性知,在 I 上为常数.,令,则,例2.证明等式,证:设,由推论可知,(常数),令 x=0,得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,经验:,欲证,时,只需证在 I 上,例3.证明不等式,证:设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,三、柯西中值定理,分析:,及,(1)在闭区间 a,b 上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,(3)在开区间(a,b)内,至少存在一点,使,满

5、足:,要证,证:作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知,至少存在一点,思考:柯西定理的下述证法对吗?,两个 不一定相同,错!,上面两式相比即得结论.,柯西定理的几何意义:,注意:,弦的斜率,切线斜率,例4.设,至少存在一点,使,证:结论可变形为,设,则,在 0,1 上满足柯西中值,定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使,即,证明,例5.试证至少存在一点,使,证:,法1 用柯西中值定理.,则 f(x),F(x)在 1,e 上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析:,例5.试证至少存在一点,使,法2 令,则 f(x)在 1,e 上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,内容小结,1.微分中值定理

6、的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2.微分中值定理的应用,(1)证明恒等式,(2)证明不等式,(3)证明有关中值问题的结论,关键:利用逆向思维设辅助函数,费马引理,思考与练习,1.填空题,1)函数,在区间 1,2 上满足拉格朗日定理,条件,则中值,2)设,有,个根,它们分别在区间,上.,方程,2.设,且在,内可导,证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知,只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,3.若,可导,试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示:,设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,4.思考:在,即,当,时,问是

7、否可由此得出,不能!,因为,是依赖于 x 的一个特殊的函数.,因此由上式得,表示 x 从右侧以任意方式趋于 0.,应用拉格朗日中值定理得,上对函数,作业,P132 7,8,10,12,14,15,提示:,题15.,题14.考虑,费马(1601 1665),法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数论,他提出,的费马大定理:,至今尚未得到普遍的证明.,他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中,提炼出来的.,拉格朗日(1736 1813),法国数学家.,他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来,数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面.,一生发表论文800余篇,著书 7 本,