应力状态分析新.ppt

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1、第七章 应力与应变分析 强度理论,大纲要求一.熟练掌握平面应力分析的基本方法(解析法与图解法)；二.熟练地计算主平面与主应力；三.掌握广义胡克定律；四.熟悉常用强度理论，能正确选用适当的强度理论。,第七章 应力与应变分析 强度理论,7-1 应力状态概述,轴向拉伸,一:概述,扭转,梁的弯曲,由杆件的基本变形分析可知，一般情况下，不同截面存在不同的应力，同一截面上，不同的点应力也不一样，即使同一点，不同的方向上应力也不一样。,无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析，一个点在各个方向上的应力分布就是点的应力状态。,过一点不同

2、方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。,应 力,指明,一点应力状态的描述,微 元法（Element）,单元体特征,二.研究应力状态的方法单元体1.单元体：用围绕一点的三对互相垂直的平面在构件上截出的一个微小的六面体。2.单元体的每个面上一般有一个正应力和两个剪应力；三对面上的正应力与剪应力可用来描述该点的应力状态。3.有一对平行平面上的所有应力为零的应力状态叫平面应力状态；平面应力状态的单元体可简化为正方形。4.原始单元体：各个面上应力已知的 单元体叫原始单元体，它是对 该点进行应力分析计算的基础。,三.几个基本概念1.主平面、主应力、主单元体 主平面：无剪应力的面；主应力：主平面上的正

3、应力叫主应力；主单元体：三对面都是主平面的单元体叫主单元体。在任一点都可以找到主单元体，因此每一点都有三个主应力，按照它们的代数值分别记为：s1、s2、s3，有：s1 s2 s3。2.单向、二向、三向应力状态 单向应力状态：只有一个主应力不为零；二向应力状态：只有二个主应力不为零；(平面应力状态)三向应力状态：三个主应力皆不为零。二、三向应力状态也叫做复杂应力状态。,7.2 复杂应力状态举例,一.二向应力状态薄壁圆筒受内压时筒壁的单元体,壁厚t，直径D(tD/20)，内压p，筒长l,1.由横截面确定 s 拉伸,2.由纵截面确定 s“拉伸”,3.在与筒壁垂直的方向有内压 p 与大气压(p)，而s

4、 与s 皆远大于p，所以第三方向的压力忽略不计，为二向应力状态。,圆杆受扭转和拉伸共同作用,二.三向应力状态举例 滚珠轴承中滚珠与外圈的接触点为三向受压状态。,7-3.4 平面应力状态下的应力分析,一、解析法,：拉应力为正：顺时针转动为正：逆时针转动为正,1、正负号规则,2、截面法:假想地沿斜截面 ef 将单元体截分为二,留下左边部分的单体元 ebf 作为研究对象。,设斜截面的面积为 dA,eb 的面积为 dAcos，bf 的面积为dAsin,列平衡方程,利用三角函数公式,并注意到 化简得,应力不变量,剪应力互等,讨论：,由：,二、图解法,应力圆莫尔(Mohr)圆,应力圆原理,下面根据已知单元

5、体上的应力 x、y、xy画应力圆,下面利用应力圆求任意斜截面上的应力,点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向上的正应力和切应力；转向对应半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；二倍角对应半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。,几种对应关系,点 面 对 应,转向对应、二倍角对应,3.应力圆的画法,在t-s坐标系中，标定与微元垂直的A、D面上 应力对应的点a和d,A,D,A,D,三 平面应力状态主应力及最大剪应力,或,或,此时最大切应力所在的平面垂直于正应力等于零的主平面,例：分别用解析法和图解法求图示单元体的(1)指定斜截面上的正应力和剪应力;(2)主应力值及主方向，并画在单元体上；(3

6、)最大剪应力值。,单位：MPa,解：(一)使用解析法求解,(二)使用图解法求解(题见前页)作应力圆，从应力圆上可量出：,例 一点处的应力状态如图所示，试用应力圆 求主应力。,例 一点处的应力状态如图所示（应力单位为 MPa），试用应力圆求主应力及其作用平面。,7-5 三向应力状态简介,主单元体：六个平面都是主平面,若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力:,首先分析平行于主应力之一（例如3）的各斜截面上的应力。,3 对斜截面上的应力没有影响。这些斜截面上的应力对应于由主应力 1 和 2 所画的应力圆圆周上各点的坐标。,同理，在平行于 2 的各个斜截面上，其应力对应于由主应力 1 和 3 所画的应

7、力圆圆周上各点的坐标。,在平行于 1 的各个斜截面上，其应力对应于由主应力 2 和 3 所画的应力圆圆周上各点的坐标。,这样，单元体上与主应力之一平行的各个斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应力圆圆周上各点的坐标来表示。,至于与三个主方向都不平行的任意斜截面，弹性力学中已证明，其应力n和n可由图中阴影面内某点的坐标来表示。,n,在三向应力状态情况下：,max 作用在与2平行且与1和3的方向成45角的平面上，以1，3表示,例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MPa）。,解：,例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MPa）。,解：,例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力（

8、应力单位为MPa）。,解：,7-6 广义胡克定律,1.基本变形时的胡克定律,1）轴向拉压胡克定律,横向变形,2）纯剪切胡克定律,2、三向应力状态的广义胡克定律叠加法,3、广义胡克定律的一般形式,对于二向应力状态：,体积胡克定律,7-7 复杂应力状态下的变形比能,弹性体的变形能只取决于外力的最终数值，而与加载次序无关；所以可以设想一个便于计算变形能的加载次序 比例加载。在线弹性前提下，比例加载时，三向应力状态下的单元体的变形比能(变形能密度)是：,变形比能=体积改变比能+形状改变比能u=uv+uf,三个弹性常数之间的关系,一.两种失效形式(与强度有关的失效)1.屈服：变形较大，且大部分是塑性变形

9、；2.断裂(脆性断裂)：无明显塑性变形的征兆，突然断裂。二.强度理论 关于材料失效原因的假说1.单向应力状态的强度条件可以直接从实验确定；2.复杂应力状态下的强度条件一般难以直接从实验确定；3.假说的提出 简化复杂应力状态下的材料失效因素，与易于实验的单向应力状态类比；假设在不同应力状态下，引起材料失效的都是同一因素，因而形成“强度理论”。不同的假说产生不同的强度理论。4.强度理论分为两类，分别解释两种不同的失效原因。,7-8 强度理论的概念,材料破坏的形式主要有两类：,流动破坏,断裂破坏,7-9 常用的四种强度理论,材料破坏的基本形式有两种：流动、断裂相应地，强度理论也可分为两类：一类是关于

10、脆性断裂的强度理论；另一类是关于塑性屈服的强度理论。一、关于脆断的强度理论,1.最大拉应力理论（第一强度理论）,它假定：无论材料内各点的应力状态如何，只要有一点的主应力1 达到单向拉伸断裂时的极限应力u，材料即破坏。在单向拉伸时，极限应力 u=b失效条件可写为 1 b,第一强度强度条件：,试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符，这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏，也是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都与最大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它两个主应力的影响。,2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）,它假定，无论材

11、料内各点的应变状态如何，只要有一点的最大伸长线应变1达到单向拉伸断裂时应变的极限值 u，材料即破坏。所以发生脆性断裂的条件是 1 u若材料直到脆性断裂都是在线弹性范围内工作，则,由此导出失效条件的应力表达式为：,第二强度条件：,煤、石料或砼等材料在轴向压缩试验时，如端部无摩擦，试件将沿垂直于压力的方向发生断裂，这一方向就是最大伸长线应变的方向，这与第二强度理论的结果相近。,二、关于屈服的强度理论,1.最大剪应力理论（第三强度理论）它假定，无论材料内各点的应力状态如何，只要有一点的最大剪应力max达到单向拉伸屈服剪应力S时，材料就在该处出现明显塑性变形或屈服。屈服破坏条件是：,用应力表示的屈服破

12、坏条件：,第三强度条件：,第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结果所证实，且稍偏于安全。这个理论所提供的计算式比较简单，故它在工程设计中得到了广泛的应用。该理论没有考虑中间主应力2的影响，其带来的最大误差不超过15，而在大多数情况下远比此为小。,2.形状改变比能理论(第四强度理论),它假定，复杂应力状态下材料的形状改变比能达到单向拉伸时使材料屈服的形状改变比能时，材料即会发生屈服。屈服破坏条件是：,简单拉伸时：,屈服破坏条件是：,第四强度条件：,这个理论和许多塑性材料的试验结果相符，用这个理论判断碳素钢的屈服失效是相当准确的。,四个强度理论的强度条件可写成统一形式：,称为相当应力,一般说来，在常

13、温和静载的条件下，脆性材料多发生脆性断裂，故通常采用第一、第二强度理论；塑性材料多发生塑性屈服，故应采用第三、第四强度理论。,影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如：低温能提高脆性，高温一般能提高塑性；在高速动载荷作用下脆性提高，在低速静载荷作用下保持塑性。,无论是塑性材料或脆性材料：,在三向拉应力接近相等的情况下，都以断裂的形式破坏，所以应采用最大拉应力理论；,在三向压应力接近相等的情况下，都可以引起塑性变形，所以应该采用第三或第四强度理论。,7-10 莫尔强度理论,一.对于抗拉强度与抗压强度相差较大的材料，用莫尔强度理论较好。二.莫尔强度理论的强度条件,其中：st、sc 分别是材料的拉伸、压

14、缩许用应力。三.莫尔强度理论不仅仅是假说，而是在实验的基础上，经过合乎逻辑的综合得出的结果，所以其方法比单纯的假说更可靠。,例：填空题。,冬天自来水管冻裂而管内冰并未破裂，其原因是冰处于 应力状态，而水管处于 应力状态。,三向压,二向拉,在纯剪切应力状态下：用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比,例：填空题。,解：在纯剪切应力状态下，三个主应力分别为,第三强度理论的强度条件为：,由此得：,剪切强度条件为：,按第三强度理论可求得：,第四强度理论的强度条件为：,由此得：,剪切强度条件为：,按第三强度理论可求得：,在纯剪切

15、应力状态下：用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比,例：填空题。,0.5,0.577,三向应力状态中，若三个主应力都等于，材料的弹性模量和泊松比分别为E和，则三个 主应变为。,例：填空题。,第三强度理论和第四强度理论的相当应力分别为r3及r4，对于纯剪应力状态，恒有r3r4。,例：填空题。,危险点接近于三向均匀受拉的塑性材料，应选用 强度理论进行计算，因为此时材料的破坏形式为。,例：填空题。,第一,脆性断裂,例：选择题。纯剪切应力状态下，各向同性材料单元体的体积改变有四种答案：（A）变大（B）变小（C）不变（D）不确定,例：圆轴直径为d，材料的弹性模量为E，泊松比为，为了测得轴端的力偶之值，但只有一枚电阻片。(1)试设计电阻片粘贴的位置和方向；(2)若按照你所定的位置和方向，已测得线应 变为 0，则外力偶？,解：(1)将应变片贴于与母线成45角的外表面上,(2),