常用的离散分布.ppt

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1、2.3 常用的离散型分布,一、退化分布,如果随机变量X,则称随机变量X,服从 处的退化分布.*,即,此时,二、两点分布,如果随机变量X,只取两个值,其中,此时,当,时，,即为01分布.,也称X是参数为p的,此时,则称X服从参数为p的两点分布.,伯努利随机变量.,三、离散均匀分布,如掷一颗骰子,出现的点数,具有离散均匀分布.,四、二项分布,可形象地把这两个对立结果,每一次试验,设在一次试验中,只有两个对立的结果:,或,叫作“成功”,重复进行 次独立试验,(“重复”指,相同,“独立”指各次试验的结果,互不影响),各次试验的条件,成功的概率都是,失败的概率都是,这样的 次独立重复试验,称作 重贝努里

2、,简称贝努里试验,或贝努里概型.,用 表示,n重贝努里试验中,事件A(成功),出现的,可能取值:,和“失败”,次数,试验,设 表示,第 次发生事件A,设 表示,第 次发生事件A,称随机变量,服从参数为,的二项分布,记为,当n=1时,二项分布,即,即是参数为p的01分布.,可以证明，,二项分布的数学期望和方差,分别为,例,已知随机变量,求,解,可以证明，,二项分布的数学期望和方差,分别为,例,且,求,解,设,在四舍五入时,今有n个加数,每个加数的取整误差,服从,上的均匀分布,计算它们中,绝对误差小于 的概率.,例,设 表示一个加数的取整误差,解,的概率为:,每个加数的绝对误差小于,设 为n个加数

3、中,绝对误差小于0.3的个数.,的可能取值为,至少有3个的,1)n个加数,2)每个加数的绝对误差,4)各加数的绝对误差是否,至少有3个加数的,或者小于,或者,3)每个加数的绝对误差,小于 的概率都是,小于,互不影响.,绝对误差,小于 的概率为:,设 为n个加数中,绝对误差小于0.3的个数.,设 表示一个加数的取整误差,五、几何分布,一般地,假定一个试验,直到首次成功为止,成功的概率是,不断地重复试验,且各次试验的,结果是独立的.,令 表示,试验的次数.,可能取的值是:,其中,设 表示,“第 次成功”,服从,参数为 的几何分布.,其中,几何分布：,其中,几何分布有性质：,对任意自然数m，n，,有

4、,证,称为无记忆性，,是几何分布的特征性质.,六、超几何分布,一个池塘中有1000条鱼,从池中任意捞100条鱼,其中有600条草鱼,400条鲢鱼,草鱼的数量,求这100条鱼中,解,设 表示,草鱼的数量.,的可能取值为,例,的概率分布.,捞出的100条鱼中,一个池塘中有1000条鱼,从池中任意捞100条鱼,其中有80条草鱼,920条鲢鱼,中草鱼的数量,求这100条鱼,解,设 表示,草鱼的数量.,的可能取值为,例,的概率分布.,捞出的100条鱼中,规定,即当k 80时,一个池塘中有1000条鱼,从池中任意捞100条鱼,其中有930条草鱼,70条鲢鱼,草鱼的数量,求这100条鱼中,解,设 表示,草鱼

5、的数量.,的可能取值为,例,的概率分布.,捞出的100条鱼中,规定,即当j 70时,可以证明,定义,对给定的自然数,以及,个,个,如果,则称 服从,超几何分布.,超几何分布,的数学期望和方差分别为,这里约定,(1)无返回,(2)有返回,2)每次或取到红球或取到黑球.,3)每次取到红球的概率都是,4)各次摸取互不影响,个黑球,设袋中有 个红球,从中取 次,每次取一个球,表示取到的红球个数.,服从超几何分布.,1)次摸取,服从二项分布.,当 很大时,无返回,接近于有返回,故超几何,分布,接近于二项分布.,(1)无返回,(2)有返回,其中,P55(2.57),对于固定的,当,当 很大时,无返回接近于

6、有返回,故超几何分布,接近于二项分布.,且,例,设10粒种子中,共N粒,一大批种子的发芽率为,从中任取10粒,求播种后,(1)恰有8粒发芽的概率;,(2)不少于8粒发芽的概率.,解,有 粒种子发芽.,七、泊松分布,定义,且取这些值的概率为,其中,为常数,则称 服从,参数为的,记为,设随机变量 可能取的值为,分布,泊松,满足归一性.,由,泊松分布的数学期望与方差分别为,泊松分布：,用同样的方法可求得,例,书籍中每页的印刷错误,服从泊松分布,一个印刷错误的页数,与有两个印刷错误的页数,同,求任意检验4页,每页上都没有印刷错误的概率.,解,设任一页上,有 个印刷错误.,总页数,有一个印刷错误的页数,

7、总页数,有两个印刷错误的页数,任取4页,设 表示,有,“第 页上,没有印刷错误”,为一页上没有印刷错误的概率.,相,定理2.4(泊松定理),在 重贝努利试验中,事件,A在每次试验中发生的概率为,（与试验的次数n,有关）,如果,时，,（0，,为常数),则对任意k,有,根据此定理,参数为,若,充分大,充分小,则X近似服从,的泊松分布.,即,例,1)有2个元件发生故障的概率.,2)有不少于2个元件发生故障的概率.,1)1000个元件,2)每个元件或发生故障,3)每个元件发生故障的,4)是否发生故障,P267,一台电子仪器由1000个元件组成,每个元件在一年,的工作时间内,发生故障的概率为,并且元件之间,互不影响,求在一年内:,解,设 表示1000个元件中,在一年的工作时间内,发生,故障,的元件数.,或不发生故障.,概率都是,互不影响,10000=N粒,又以,例,一袋种子约 粒,设种子的发芽率为,从中任取100 粒进行试验,计算恰有一粒没有发芽的概率.,解,设100粒中有 粒未发芽.,服从超几何分布.,由于 足够大,近似服从,而,的泊松分布为极限.,P267,超几何分布,二项分布,泊松分布,