二章水静力学ppt课件.ppt

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1、第二章 水静力学,2-1静水压强及其特性2-2液体的平衡微分方程2-3重力作用下静水压强的分布规律2-4测量压强的仪器2-5重力和惯性力联合作用下液体的相对平衡2-6作用在平面壁上的静水总压力2-7作用在曲面壁上的静水总压力,第二章 水静力学,一、压强的定义：,单位面积上所受的压力,公式,二、静水压强的特性,第一特性：静水压强垂直于作用面，并指向作用面。,平均压强,点压强,单位：N/m2（Pa）,2-1 静水压强及其特性,证明：取一处于静止或相对平衡的某一液体,静水压强的方向与作用面的内法线方向重合，静水压强是一种,压应力,第二章 水静力学,第二特性：某一点静水压强的大小与作用面的 方位无关。

2、,第二章 水静力学,相应面上的总压力为,第二章 水静力学,四面体的体积D V为,总质量力在三个坐标方向的投影为,第二章 水静力学,按照平衡条件，所有作用于微小四面体上 的外力在各坐标轴上投影的代数和应分别为零,第一式中,第二章 水静力学,代入第一式,则：,整理后,有,当四面体无限缩小到A点时，,0,因此：,同理，我们可以推出：,第二章 水静力学,这样我们可以得到：,上式表明任一点的静水压强 p是各向等值的，与作用面的方位无关。第二特性得到证明,第二章 水静力学,2-2 液体的平衡微分方程及其积分,第二章 水静力学,A点的压强为一函数p（x,y,z),泰勒级数展开式为：,运用泰勒级数将p(x,y

3、,z)展开，并忽略二阶以上微量,M点的压强？,坐标,第二章 水静力学,N点压强为：,则：M点压强为：,六面体左右两面的表面力为：,第二章 水静力学,另外作用在微小六面体上的质量力在X轴向的分量为：,根据平衡条件上述各力在X轴上的投影应为零，即：,整理得：,同理，在x,y方向上可得：,第二章 水静力学,上式为液体平衡微分方程。,又称欧拉平衡微分方程,第二章 水静力学,依次乘以dx,dy,dz后相加得：,改写成全微分的形式就是液体平衡微分方程,就是说，静水压强的的分布规律完全是由单位质量力决定的。,第二章 水静力学,也是函数U（x,y,z)的全微分即：,则函数U（x,y,z)的全微分为：,由此得：

4、,满足上式的函数U（x,y,z)称为力函数或力的势函数，具有这种势函数的质量力称为有势的力。,由此可见：液体只在有势的质量力作用下才能平衡,第二章 水静力学,等压面：液体中各点压强相等的面。,在等压面上p=常数，即dp=dU=0，而0故dU=0即U=常数，等压面即等势面。,等压面的重要特性：等压面恒与质量力正交。证明之,在等压面上,式中dx、dy、dz可设想为液体质点在等压面上的任意微小位移 ds在相应坐标轴上的投影。,质量力作的微功为零，而质量力和ds都不为零，所以等压面与质量力必然正交。,第二章 水静力学,2-3重力作用下静水压强的分布规律,一、水静力学基本方程,重力在坐标轴上的投影分别为

5、：,X=0、Y=0、Z=-g,代入液体平衡方程,得,积分得：,或,第二章 水静力学,即为重力作用下的水静力学基本方程式,上式表明：,在静止液体中，任何一点的（）总是一个常数，对液体内任意两点，上式可写成：,在液体自由表面上，,代入得：,因此：公式,可写成：,第二章 水静力学,对于液体中各点来说，一般用各点在液面以下的深度 代替,因此将 代入上式得：,静水全压强,上式即为水静力学基本方程式的另一种形式,它说明：,1、在静止的液体中，压强随深度线性规律变化,2、静止液体中任一点的压强 等于表面压强 与从该点到液体自由表面的单位面积上的液柱重量之和。,应用上式，便可以求出静止液体中任一点的静水压强,

6、第二章 水静力学,二、压强的表示方法和单位,1、压强的表示方法：,绝对压强：数值是以“完全真空”为零（基准）算起的。用Pabs表示。,相对压强：在实际工作中，一般建筑物表面均作用着大气压强，这种以当地大气压强为零算起的压强为相对压强。用P表示。,也称为静水全压强,也叫计算压强,或称表压，用公式表示：,如果自由表面压强 与当地大气压强 相等,则,也称静水超压强或重量压强,第二章 水静力学,绝对压强永远为正值，最小值为零。,相对压强可正可负，当PabsPa时，相对压强P0,工程上把负的相对压强叫做“真空”,几种压强的关系可表示为：,PabsPa,PabsPa,第二章 水静力学,2、压强的单位,、应

7、力表示。如：牛顿/米2（N/m2)；千牛顿/米2(KN/m2);等。,、工程大气压表示。如：一个工程大气压=98 KN/m2=9.8 N/cm2=9.8104Pa,、用液柱高度表示。,可写成,对于任一点的静水压强 可以用上式化为对任何一种容重为 的液柱高度。,如：水柱、汞柱等,第二章 水静力学,三、静水压强的图示,1、方法,因而，在任一平面的作用面上，其压强分布为一直线。只要算出作用面最上和最下两个点的压强后，即可定出整个压强的分布线。,2、原则,、每一点处的压强垂直于该点处的作用面。,、静水压强的大小随着距自由面的深度而增加,另外：对实际工程有用的是相对压强的图示。如欲绘制绝对压强分布图，则

8、将常量 附加上即可。,第二章 水静力学,例1,ABC 即为相对压强分布图,ABED 即为绝对压强分布图,例2,叠加后余下的红色梯形区域即为静水压强分布图,第二章 水静力学,例3,为一折面的静水压强分布图,先做,再做,则ADEC即为所求压强分布图,第二章 水静力学,例5,右图为一弧形闸门,各点的压强只能逐点计算，且沿半径方向指向圆弧的圆心。,注：,只是要把静水压强的箭头倒转过来即可，并且负的静水压强上大下小，也可以把相对压强改成绝对压强再按上述方法绘制,以上讨论的是P0的例子,对于P0的情况，可同样绘制。,第二章 水静力学,四、测压管高度，测压管水头及真空度,一个密闭容器，P0Pa,则：在水力学

9、中，hA高度即为测压管高度。,这种测量压强的管子叫测压管。,在容器内有,在右管中有,因此,所以：测压管高度hA表示A点的的相对压强（计算压强）,第二章 水静力学,若 P0Pa,则：位于测压管中的水位高度将低于容器内液面高度。,即 hAh,那么，真空高度为：,第二章 水静力学,在水力学上，把任一点的相对压强高度（即测压管高度）与该点基准面以上的位置之和称为测压管水头。,上图中A点的测压管水头为：,水力学基本方程式可写成：,可见，在静止液体中，各点的测压管水头不变。,第二章 水静力学,2-5重力和惯性力联合作用下液体的相对平衡,相对平衡：,液体相对于地球总是运动的，但各质点之间及液体与器皿之间都没

10、有相对运动。,质量力：,重力和惯性力。,惯性力的计算方法：,先求出某质点相对于地球的加速度，将其反号并乘以该质点的质量。（达兰贝尔原理）,第二章 水静力学,第一种情况：,流体在以等角速度绕铅直轴旋转，与器皿相对平衡，分析距OZ 轴半径为r处任意质点A所受质量力。,设质点A的质量为M,各坐标轴上的分量：,离心惯性力：,单位质量的离心惯性力：,第二章 水静力学,在各坐标轴的分量：,由叠加原理：,代入欧拉平衡微分方程,第二章 水静力学,代入原式，有：,注意：,在旋转液体中，各点的测压管水头都不是常数。,第二种情况：液体在作直线等加速运动的器皿中的相对平衡。,第二章 水静力学,单位质量力：,重力：,惯

11、性力：,由叠加原理：,代入方程：,代入上式，则,式中：,为所求的那一点在自由液面下的铅直深度h，,则：,第二章 水静力学,第三种情况：,液体作直线等速运动之器皿中的相对平衡。,显然，液体的等压面和自由液面都是水平面，仅有重力而无惯性力。,代入得：,代入上式，则,第二章 水静力学,例1：,有一小车，内盛液体，车内尺寸长L=3.0m，宽b=1.2m，静止时水深h=2.0m，小车作水平等加速运动，ax=4.0m。试计算小车运动时水面倾斜角和底面AB受力大小？,解：,根据平衡微分方程,代入：,第二章 水静力学,所以,计算液体任一点的压强：,按相对压强计算，在自由液面上,点A的坐标,第二章 水静力学,B

12、点坐标,平均压强,作用在AB底面上的力：,简便方法：,直接计算AB板中心点压强,代入,第二章 水静力学,例2：,边长为b的敞口立方水箱中原来装满水，当容器,以匀加速度向右运动时，试求：,水溢出1/3时的加速度；,水剩下1/3时的加速度；,解：,水溢出1/3时,水剩下1/3时（自算）,第二章 水静力学,2-6作用在平面上的静水总压力,概述：,对于一个平面作用面，静水总压力的作用方向必然垂直地压向这个作用面。需要解决的问题是它的大小和作用点。,方法分有解析法和图解法。,一、解析法：是根据力学和数学的分析方法，来求平面上静水总压力的一般计算公式。,1、总压力的大小和方向,第二章 水静力学,dA上的压

13、力为,Pc为受压面形心的相对压强,形心点上的压强亦即是整个平面上的平均压强,静水总压力的方向是沿着受压面的内法线方向,2-6作用在平面上的静水总压力,2、总压力的作用点,静水总压力在平面上的作用点叫做压力中心。,压力中心的位置必然低于形心的位置，只有当平面呈水平时，总压力的作用点才与面积的形心相重合。,设：,压力中心为D,它在水面下的深度为hD,利用力学定理（合力对任一轴的力矩等于各分力对该轴力矩的代数和）,得：,对OX轴,即：,2-6作用在平面上的静水总压力,同时，根据惯性矩的平行移轴定理。,有：,于是：,永远大于零,这说明压力中心D总是在平面形心之下,D点与C点在y方向上的距离为：,在实际

14、工程中，受压面多是左右对称的，即总压力的作用点必位于对称轴上，因而，只需求出压力中心在Y方向的位置就可以了。,2-6作用在平面上的静水总压力,几种常见平面的Jc及形心点位置的计算式,(式中),2-6作用在平面上的静水总压力,二、图解法,采用图解法时，须先绘出压强分布图，然后根据压强分布图形计算总压力。,a、压强分布图,b、剖面图,总压力为：,所以；平面上静水总压力的大小等于作用在平面上的压强分布图的体积。,=,1、求大小,2-6作用在平面上的静水总压力,2-6作用在平面上的静水总压力,总压力的作用线通过压强分布图形体积的形心，压向被作用平面。,2、求作用点,对于矩形平板，静水总压力的作用点可由

15、三角形压强分布图形面积的形心定出。,已知闸门直径d=0.5m，距离a=1.0m，闸门与自由水面间的倾斜角=600，水为淡水。,解：,、求总压力,2-6作用在平面上的静水总压力,设总压力的作用点沿斜面距水面为yD,则：,（米）,2-6作用在平面上的静水总压力,问 题：,作用在自由面上的压强 p0 所形成的压力P0的压力中心在何处？,答：,力P0 的压力中心和平面的形心点C重合，这是因为压强p0在平面上均匀分布的缘故。,2-6作用在平面上的静水总压力,例题：,输水水管道在试压时，压强表的读数为10atm，管道直径d=1.0m，求作用在管端法兰堵头上的静水总压力及作用点。,设法兰堵头上静水压强均匀分

16、布,所以堵头上的总压力,作用点通过堵头的中心C点,2-6作用在平面上的静水总压力,总压力：,作用点：,2-6作用在平面上的静水总压力,比较两种计算方法的结果：,、总压力的相对误差：,、作用点距离误差：,比较结果：,在工程上，方法1计算完全可满足要求。,2-6作用在平面上的静水总压力,2-7作用在曲面壁上的静水总压力,一、静水压强的水平分力和垂直分力,将曲面看作无数微小面积所组成，而作用在每一微小面积上的压力可分解成水平分力和垂直分力，这样就把求曲面总压力的问题也变成求Px和Pz的合力的问题。,2-7作用在曲面壁上的静水总压力,而：,则：,其中：h(dA)z为平面(dA)z对水平轴oy的静矩。,

17、所以：,2-7作用在曲面壁上的静水总压力,同理：,Pz就等于压力体的水重。,当液体与压力体位于曲面的同侧时，pz向下，称为实压力体。,当液体与压力体位于曲面的两侧时，pz向上，称为虚压力体。,2-7作用在曲面壁上的静水总压力,二、总压力的作用点,Px的作用线通过压力中心，Pz的作用线通过压力体的重心。,合力P的作用线与曲面的交点即为作用点。,注意：,Px与Pz的交点不一定落在曲面上。,压力体由以下部分围成：,曲面本身,自曲面边缘向自由液面或其延长面作垂直面。,自由液面或其延长面。,2-7作用在曲面壁上的静水总压力,2-7作用在曲面壁上的静水总压力,例：,如图为一园柱形闸门。半径R=2水深H=R

18、=2m.求作用在闸门AB上的静水总压力和方向。（闸门长度按单宽计）,解：总压力必然通过园心。,=9800222=19600N,Pz=V=（1/4）R21,=9800(1/4)221=30800N,tg=Pz/Px=30800/19600=1.57=57.5,2-7作用在曲面壁上的静水总压力,第一、二章习题课,解：,对直立煤气管道中的煤气而言，不同高程的大气压强不能看成常数，,则点1的大气压强,值为,.,.,由测压管测得：,.,由直立煤气管中 与 关系可求得：,.,将式代入式，,移项后得：,=,=5.30,2、,一直径D=600mm，高度H=500mm的圆柱形容器，其中盛水深度H2=0.4m，上

19、部盛油（比重为0.8）深度H1=0.1m，容器顶盖中心有一小孔与大气相通。求液体分界面与容器底相切时，容器的旋转速度及盖板上和容器底上的最小和最大压强值。,解：,取坐标如图所示，,由于容器有顶盖，故旋转时液面不能自由升高。,根据液面分界面与容器底相切的条件，旋转时液面形成的抛物线旋转体的顶部与容器底的o点相切。,，设其底的直径为d。,求容器旋转速度,（a)旋转前后的油液的体积保持不变，可求出d,转前：,转后：,由,=,=,得：,已知旋转后油液形成的抛物线旋转体高：,代入上式移项后得：,=272.22,=16.499rad/s,求盖板和容器底上的最小和最大压强（用相对压强表示）,盖板：,最小压强

20、,最大压强：,（作用在盖板 的圆周上）,底板：,最小压强,（作用在底板 中心点上）,最大压强,（作用在底板 的圆周上）,解：将油与水的作用力分开计算，然后求总作用力：,油：,水：分成两部分计算，矩形部分为油的作用P2，三角形部分为水的作用P3。,总作用力：,总作用点：,设P作用点距B点为x，将P1、P2、P3与P对B取矩：,闸门上任意一点的压强有无 变化？为什么？,板上的静水总压力有无变化?为什么？,答：,（1）压强有变化,因为任意一点的深度在不断变化（中心轴除外）,（2）静水总压力无变化,因为，在本题中，形心点的深度即为旋转轴处于水下的深度，该深度不随闸门的旋转而变化，而、A为常量，故压强无

21、变化。,5 如图所示，一平板闸门AB斜置于水中，当上下游水位均上升1m（虚线位置）时，试问：图（a）、图（b）中闸门AB上所受的静水总压力及作用点是否改变？,(a),(b),(a),(a),对图a来说：总压力及作用点都改变。,水位上升后的压强分布,图形的面积或体积比未上升时要大，故总压力及作用点都改变。,(b),(b),对图b来说，水位上升前后的压强分布图形的大小没变化，,且为一矩形，其作用点处于闸门的形心处，因闸门的受压,面积为一定值，故其总压力也不变。,6、水的体积弹性系数为，问压强改变多少时，它的体积的相对压缩为1%？这个压强相当于多少个工程大气压？,解：,因为水的体积弹性系数,即为压强增值,个工程大气压,