二章12节ppt课件.ppt
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1、第二章 随机变量及其分布,退 出,前一页,后一页,目 录,1 随机变量2 离散型随机变量及其分布3 随机变量的分布函数4 连续型随机变量及其概率密度5 随机变量的函数的分布,退 出,前一页,后一页,第二章 随机变量及其分布,1随机变量,目 录,又如:射击中靶次数;掷一枚匀质的色子出现的点数Y等。,例:E1:从100件产品(5件次品,95件正品中任取两件。观察任取的2件中次品数X。,一、问题的引入,随机事件和实数之间存在着某种客观的联系,例如:,有的问题看起来与数无关,只要稍加处理也可用数来描述如:E:从一批产品中任取一件是否是合格品?,退 出,前一页,后一页,第二章 随机变量及其分布,目 录,
2、我们约定:若试验的结果是合格品,令X=1 若试验的结果是不合格品,令X=0,退 出,前一页,后一页,第二章 随机变量及其分布,目 录,以上遇到的变量,他们的取值依赖于试验的结果,所以在试验之前是不能确定的,也就是说它们的取值是随机的,从而把这样的变量称为随机变量.,随机变量X实质上对应与高等数学中的实值函数.只不过它是定义在样本空间S上的一个集合函数。,e.,X(e),R,我们定义了随机变量后,就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件例如,:表示至少取出2个黑球这一事件,等等,第二章 随机变量及其分布,:表示取出2个黑球这一事件;,退 出,前一页,后一页,目 录,而表示随机变量所取的值时,一般
3、采用小写字母x,y,z等.,随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母,等表示,有了随机变量,随机试验中的各种事件,就可以通过随机变量的关系式表达出来.,二、引入随机变量的定义,例1:单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示,它是一个随机变量.,事件收到不少于1次呼叫 X 1,没有收到呼叫 X=0,第二章 随机变量及其分布,1 随机变量,例2 掷一颗骰子,令 X:出现的点数则 X 就是一个随机变量,表示掷出的点数不超过 4 这一随机事件;,表示掷出的点数为偶数这一随机事件,它的取值为1,2,3,4,5,6,退 出,前一页,后一页,目 录,例3 上午 8:009:00 在某路口观察,令:Y:
4、该时间间隔内通过的汽车数则 Y 就是一个随机变量,表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件;,表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一随机事件,第二章 随机变量及其分布,1 随机变量,它的取值为 0,1,,注意 Y 的取值是可列无穷个!,退 出,前一页,后一页,目 录,例 4 观察某电子元件的寿命(单位:小时),令 Z:该电子元件的寿命则Z 就是一个随机变量它的取值为所有非负实数,表示该电子元件的寿命大于 1000小时这一随机事件,表示该电子元件的寿命不超过500小时这一随机事件,第二章 随机变量及其分布,1 随机变量,注意 Z 的取值是不可列无穷个!,退 出,前一页,后一页,目
5、 录,例 5 掷一枚硬币,令:,则X是一个随机变量,第二章 随机变量及其分布,1 随机变量,退 出,前一页,后一页,目 录,随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是一种动态的观点,就象数学分析中常量与变量的区别那样.,随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.,事件及事件概率,随机变量及其取值规律,三、随机变量的分类,通常分为两类:,如“取到次品的个数”,“收到的呼叫数”等.,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,所有取值可以逐个一一列举,例如,“电视机的寿命”,实际中常
6、遇到的“测量误差”等.,全部可能取值不仅无穷多,而且还不能一一列举,而是充满一个区间.,第二章 随机变量及其分布,2 离散型随机变量及其分布率,离散型随机变量的分布率与性质,一些常用的离散型随机变量,退 出,前一页,后一页,目 录,一、离散型随机变量的分布率与性质,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,1)离散型随机变量的定义,如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无穷个,则称 X 为离散型随机变量,退 出,前一页,后一页,目 录,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,2)离散型随机变量的分布律,设离散型随机变量 X 的所有可能取值为,并设,则称上式或,为离散型随机变量 X 的分布
7、律,退 出,前一页,后一页,目 录,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,3)离散型随机变量分布律的性质:,退 出,前一页,后一页,目 录,例 1,设随机变量 X 的分布律为,解:由分布率的性质,得,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,该级数为等比级数,故有,所以,退 出,前一页,后一页,目 录,二、表示方法,(1)列表法:,(2)公式法,X,再看下例,三、举例,例1.某篮球运动员投中篮圈概率是0.9,求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.,解:X可取0、1、2为值,P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01,P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18,P(X=2)=(0.
8、9)(0.9)=0.81,且 P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1,常常表示为:,这就是X的概率分布.,例 2,从110这10个数字中随机取出5个数字,令X:取出的5个数字中的最大值试求X的分布律,第二章 随机变量及其分布,具体写出,即可得 X 的分布律:,解:X 的可能取值为,5,6,7,8,9,10 并且,=,求分布率一定要说明 k 的取值范围!,退 出,前一页,后一页,目 录,例3.某射手连续向一目标射击,直到命中为止,已知他每发命中的概率是p,每发相互独立,求所需射击发数X 的概率函数.,解:显然,X 可能取的值是1,2,,,P(X=1)=P(A1)=p,为计算 P(X=k),
9、k=1,2,,,Ak=第k发命中,k=1,2,,,设,于是,可见,这就是求所需射击发数X的概率函数.,不难验证:,若随机变量X的概率函数如上式,则称X具有几何分布.,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯,每盏信号灯以概率p禁止汽车通过.以 X 表示汽车首次停下时,它已通过的信号灯的盏数,求 X 的分布律.(信号灯的工作是相互独立的).,PX=3,可爱的家园,例 4,=(1-p)3p,退 出,前一页,后一页,目 录,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,解:以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率,则 X 的分布律为:,Xpk,0 1 2
10、 3 4,p,或写成 PX=k=(1-p)kp,k=0,1,2,3 PX=4=(1-p)4,例 4(续),(1-p)p,(1-p)2p,(1-p)3p,(1-p)4,退 出,前一页,后一页,目 录,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,以 p=1/2 代入得:,例 4(续),退 出,前一页,后一页,目 录,(一)二点分布,如果随机试验 E 只有两个结果,则称 E 为 Bernoulli试验,Bernoulli 试验的例子,例 掷一枚硬币,只有“出现正面”与“出现反面”两种结果,因此“掷一枚硬币”可看作是一次 Bernoulli试验,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录
11、,四、一些常用的离散型随机变量,掷骰子:“掷出4点”,“未掷出4点”,一般地,设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果:A或,或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”.,新生儿:“是男孩”,“是女孩”,抽验产品:“是正品”,“是次品”,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,Bernoulli分布的概率背景,进行一次Bernoulli试验,A是随机事件。设:,设X 表示这次Bernoulli试验中事件A发生的次数或者设,退 出,前一页,后一页,目 录,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,Bernoulli分布(两点分布或0-1分布,如果随机变量 X 的分布律为,或,则称随机变量
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