姜启源第四版《数学模型》第7章.ppt

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1、第七章 稳定性模型,7.1 捕鱼业的持续收获7.2 军备竞赛7.3 种群的相互竞争7.4 种群的相互依存7.5 食饵-捕食者模型7.6 差分形式的阻滞增长模型,稳定性模型,对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间 充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是 否稳定.,不求解微分方程，而是用微分方程稳定性 理论研究平衡状态的稳定性.,差分方程的稳定性与微分方程稳定性理论相似.,7.1 捕鱼业的持续收获,再生资源（渔业、林业等）与 非再生资源（矿业等）.,再生资源应适度开发在持续稳产 前提下实现最大产量或最佳效益.,问题及 分析,在捕捞量稳定的条件下，如何控制 捕捞使产量最大或效益最佳?,如果使捕捞量等于

2、自然增长量，渔场 鱼量将保持不变，则捕捞量稳定.,背景,产量模型,假设,无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律.,单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比.,建模,捕捞情况下渔场鱼量满足,不需要求解x(t),只需知道x(t)稳定的条件.,r固有增长率,N最大鱼量,h(x)=Ex,E捕捞强度,x(t)渔场鱼量,一阶微分方程的平衡点及其稳定性,一阶非线性自治(右端不含t)方程,F(x)=0的根x0 微分方程的平衡点,不求x(t),判断x0稳定性的方法直接法,(1)的近似线性方程,产量模型,稳定性判断,x0 稳定,可得到稳定产量,x1 稳定,渔场干枯,E捕捞强度,r固有增长率,产量模型,在捕捞量稳定的

3、条件下，控制捕捞强度使产量最大.,图解法,P的横坐标 x0平衡点,P的纵坐标 h产量,产量最大,控制渔场鱼量为最大鱼量的一半,效益模型,假设,鱼销售价格p,单位捕捞强度费用c,单位时间利润,在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大.,求E使R(E)最大,渔场鱼量,收入 T=ph(x)=pEx,支出 S=cE,捕捞过度,封闭式捕捞追求利润R(E)最大,开放式捕捞只求利润R(E)0,R(E)=0时的捕捞强度Es=2ER,临界强度下的渔场鱼量,令=0,xs由成本价格比决定,临界强度,捕捞过度,收入,支出,利润,经济学捕捞过度,生态学捕捞过度,捕鱼业的持续收获,在自然增长和捕捞情况的合理假设下建模

4、.,用平衡点稳定性分析确定渔场鱼量稳定条件,讨论产量、效益和捕捞过度3个模型.,7.2 军备竞赛,描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程.,解释(预测)双方军备竞赛的结局.,假设,1）由于相互不信任，一方军备越大，另一 方军备增加越快；,2）由于经济实力限制，一方军备越大，对 自己军备增长的制约越大；,3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存 在增加军备的潜力.,进一步假设,1）2）的作用为线性；3）的作用为常数.,目的,建模,军备竞赛的结局,x(t)甲方军备数量，y(t)乙方军备数量,本方经济实力的制约；k,l 对方军备数量的刺激；g,h 本方军备竞赛的潜力.,记系数矩阵,特征方程,特征根,特

5、征根,平衡点 P0(0,0),微分方程一般解形式,1,2为负数或有负实部,p 0 或 q 0,平衡点,稳定性判断,系数矩阵,平衡点(x0,y0)稳定的条件,模型,军备竞赛,模型的定性解释,双方军备稳定(时间充分长后趋向有限值)的条件,双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛 才会稳定，否则军备将无限扩张.,平衡点,2)若g=h=0,则 x0=y0=0,在 kl 下 x(t),y(t)0,即友好邻国通过裁军可达到永久和平.,模型,本方经济实力的制约；k,l 对方军备数量的刺激；g,h 本方军备竞赛的潜力.,3）若 g,h 不为零，即便双方一时和解，使某时x(t),y(t)很小，但因，也会重整军备

6、.,4）即使某时一方(由于战败或协议)军备大减,如 x(t)=0，也会因 使该方重整军备，,即存在互不信任()或固有争端()的单方面 裁军不会持久.,模型的定性解释,本方经济实力的制约；k,l 对方军备数量的刺激；g,h 本方军备竞赛的潜力.,模型,7.3 种群的相互竞争,一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的 关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食.,当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相 互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量.,建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件.,经过自然界的长期演变，今天看到的只是结局.,模型假设,有甲乙两

7、个种群，它们独自生存时 数量变化均服从Logistic规律;,两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用 与乙的数量成正比;甲对乙有同样的作用.,对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的 1 倍.,模型,模型分析,(平衡点及其稳定性),模型,判断P0(x10,x20)稳定性的方法直接法,(1)的近似线性方程,平衡点 P0稳定(对(2),(1),p 0 且 q 0,平衡点 P0不稳定(对(2),(1),p 0 或 q 0,仅当1,2 1时，P3才有意义.,模型,平衡点稳定性分析,平衡点 Pi 稳定条件：p 0 且 q 0,种群竞争模型的平衡点及稳定性,不稳定,21,11,P1,P

8、2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点,P3 是两种群共存的平衡点,11,21,P1稳定的条件 11?,11,21,稳定条件,平衡点稳定性的相轨线分析,从任意点出发(t=0)的相轨线都趋向P1(N1,0)(t),P1(N1,0)是稳定平衡点,(1)21,11,有相轨线趋向P1,有相轨线趋向P2,P1稳定的条件：直接法21,P1局部稳定,(3)11,21,(2)11,21,(4)11,21,加上与(4)相区别的 11,P2 稳定,P3 稳定,P2局部稳定,结果解释,对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的1 倍.,P1稳定的条件：11,21 甲的竞争力强,甲达到最大容量，乙灭绝,

9、P2稳定的条件：11,21,P3稳定的条件：11,21,通常1 1/2，P3稳定条件不满足.,7.4 种群的相互依存,种群甲可以独自生存，种群乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长.,自然界中处于同一环境中的两个种群相互依存而共生.,受粉的植物与授粉的昆虫.,以植物花粉为食物的昆虫不能离开植物独立生存，而昆虫的授粉又可以提高植物的增长率.,人类与人工饲养的牲畜.,模型假设,甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律;甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长.,乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提 供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的 阻滞作用(服从Logistic规律).

10、,模型,乙为甲提供食物是甲消耗的1 倍,甲为乙提供食物是乙消耗的2 倍,种群依存模型的平衡点及稳定性,P2是甲乙相互依存而共生的平衡点,不稳定,平衡点P2稳定性的相轨线,11,121,P2稳定,121 前提下P2存在的必要条件.,结果解释,21 甲必须为乙提供足够的食物.,11条件下121 成立,1必须足够小 限制乙向甲提供食物，防止甲过分增长.,P2稳定(甲乙相互依存)条件：,甲可以独自生存,乙不能独立生存,乙为甲提供食物是甲消耗的1 倍.,甲为乙提供食物是乙消耗的2 倍.,11,121,甲乙两种群的相互依存还有其它形式,种群甲可以独自生存，种群乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促

11、进增长.,甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存时 相互提供食物、促进增长.,甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时 相互提供食物、促进增长.,种群的相互依存,7.5 食饵-捕食者模型(种群的弱肉强食),种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠 捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如 食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫.,模型的历史背景一次世界大战期间地中海 渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？,食饵(甲)数量 x(t),捕食者(乙)数量 y(t),甲独立生存的增长率 r,乙使甲的增长率减小，减小量与 y成正比,乙独立生存的死亡率 d,甲使乙的死亡率减小，减小量与

12、x成正比,方程(1),(2)无解析解,食饵-捕食者模型(Volterra),a 捕食者掠取食饵能力,b 食饵供养捕食者能力,Volterra模型的平衡点及其稳定性,平衡点,稳定性分析,P点稳定性不能用近似线性方程分析,p=0,q 0P:临界状态,q 0P 不稳定,用数学软件MATLAB求微分方程数值解,xy 平面上的相轨线,计算结果（数值，图形）,x(t),y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线,x(t),y(t)的周期约为9.6,xmax 65.5,xmin 6,ymax 20.5,ymin 3.9,用数值积分可算出 x(t),y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值约为25,y(t)

13、的平均值约为10.,食饵-捕食者模型(Volterra),用相轨线分析 点稳定性,c 由初始条件确定,在相平面上讨论相轨线的图形,用相轨线分析 点稳定性,相轨线,时无相轨线,以下设,相轨线,P中心,x是x1,x2内任意点,相轨线是封闭曲线,求x(t),y(t)在一周期的平均值,轨线中心,用相轨线分析 点稳定性,x(t)的“相位”领先 y(t),模型解释,初值,相轨线的方向,模型解释,r 食饵增长率,d 捕食者死亡率,b 食饵供养捕食者能力,捕食者 数量,食饵数量,a 捕食者掠取食饵能力,捕食者数量与r成正比,与a成反比,食饵数量与d成正比,与b成反比,模型解释,一次大战期间地中海渔业的捕捞量下

14、降，但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？,rr-1,dd+1,捕捞,战时捕捞,rr-2,dd+2,2 1,食饵(鱼)减少，捕食者(鲨鱼)增加,自然环境,还表明：对害虫(食饵)益虫(捕食者)系统，使用灭两种虫的杀虫剂,会使害虫增加，益虫减少.,食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进,Volterra模型,多数食饵捕食者系统观察不到周期震荡,而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点.,有稳定平衡点,相轨线是封闭曲线，结构不稳定一旦离开某一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状.,自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状.,食饵-捕食者模型(Vo

15、lterra)的缺点与改进,r1=1,N1=20,1=0.1,w=0.2,r2=0.5,2=0.18,相轨线趋向极限环,两种群模型的几种形式,相互竞争,相互依存,弱肉强食,连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型),t,xN,x=N是稳定平衡点(与r大小无关),离散形式,x(t)某种群 t 时刻的数量(人口),yk 某种群第k代的数量(人口),若yk=N,则yk+1,yk+2,=N,讨论平衡点的稳定性，即k,ykN？,y*=N 是平衡点,7.6 差分形式的阻滞增长模型,离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性,一阶(非线性)差分方程,(1)的平衡点y*=N,讨论 x*的稳定性,变量代换,(1

16、)的平衡点 x*代数方程 x=f(x)的根,稳定性判断,(1)的近似线性方程,x*也是(2)的平衡点,x*是(2)和(1)的稳定平衡点,x*是(2)和(1)的不稳定平衡点,补充知识,的平衡点及其稳定性,平衡点,稳定性,另一平衡点为 x=0,不稳定,的平衡点及其稳定性,初值 x0=0.2,数值计算结果,b 3,x,b=3.3,x两个极限点,b=3.45,x4个极限点,b=3.55,x8个极限点,倍周期收敛x*不稳定情况的进一步讨论,单周期不收敛,2倍周期收敛,(*)的平衡点,x*不稳定，研究x1*,x2*的稳定性,倍周期收敛,x*不稳定，x1*,x2*稳定?,倍周期收敛的进一步讨论,出现4个收敛

17、子序列 x4k,x4k+1,x4k+2,x4k+3,平衡点及其稳定性需研究,时有4个稳定平衡点,2n倍周期收敛,n=1,2,bn 2n倍周期收敛的上界,b0=3,b1=3.449,b2=3.544,n,bn3.57,b3.57,不存在2n倍周期收敛子序列,混 沌 现 象,“差之毫厘，失之千里”,混沌现象的一个典型特征 对初始条件的敏感性,设x0=0.1000,x0=0.1001,比较xk,b=3.7,著名的“蝴蝶效应”,的收敛、分岔及混沌现象,b,差分形式的阻滞增长模型,阻滞增长模型(微分方程形式、差分方程形式）有广泛的应用.,基本模型 是很简单的非线性差分 方程.,方程解的收敛性研究可以导出相当复杂和有趣的 结果分岔理论和混沌现象.,在混沌区域可以出现周期为3,5,收敛的“窗口”.,