基本公式、直线的斜率、直线的方程.ppt

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1、,1.已知A(3，5)，B(4，7)，C(-1，x)三点共线，则x等于()(A)-1(B)1(C)-3(D)3【解析】选C.因为 又A、B、C三点共线，所以kAB=kAC，即 解得：x=-3.,2.直线 x-y+a=0(a为常数)的倾斜角为()(A)30(B)60(C)150(D)120【解析】选B.由直线方程得y=x+a，所以斜率k=,设倾斜角为,所以tan=,又0180，所以=60.,3.A、B为数轴上的两点,B的坐标为-5,BA=-6,则A的坐标为()(A)-11(B)-1或11(C)-1(D)1或-11【解析】选A.设A的坐标为x,则BA=x-(-5)=x+5,又BA=-6,x+5=-

2、6,x=-11.,4.如果AC0,且BC0，那么直线Ax+By+C=0不通过()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【解析】选C.由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距在y轴上的截距 故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.,5.过点(2，1)且在x轴上的截距是在y轴截距2倍的直线方程为_.【解析】若直线过原点，满足条件，方程为若直线不过原点，设直线方程为又过(2,1)点，解得b=2.答案：或x+2y-4=0,两点间距离公式与中点坐标公式【例1】(1)已知数轴上A、B两点的坐标分别为x1=a+b,x2=a-b.求AB、BA、d(A，B)、d(B，A).(2)已知函

3、数求f(x)的最小值，并求取得最小值时x的值.【审题指导】(1)明确AB为数轴上 的数量(或坐标)，明确d(A,B)为A、B两点间的距离.(2)将两被开方式配方，可发现f(x)表示平面直角坐标系中动点P(x,0)到两定点的距离之和，最后利用数形结合的思想求解.,1,【自主解答】(1)AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b;BA=x1-x2=(a+b)-(a-b)=2b;d(A,B)=|x2-x1|=2|b|;d(B,A)=|x1-x2|=2|b|.(2)上式表示点P(x,0)与点A(2，2)的距离加上点P(x,0)与点B(1，1)的距离，即求x轴上一点P(x,0)到点A(2，2)、B

4、(1，1)的距离之和的最小值.,由图利用对称可知，函数f(x)的最小值为两点B(1,-1)和A(2，2)间的距离.再由两点式直线方程得BA的方程为3x-y-4=0，令y=0得故 时，f(x)取得最小值,【规律方法】1.数轴的公式(1)数轴上的两点A(x1),B(x2),则向量 的坐标AB=x2-x1,A、B两点间的距离为d(A,B)=AB=x2-x1.(2)数轴上的三点A、B、C,都有 和AC=AB+BC成立.,提醒：要注意、AB与AB的不同.表示起点为A,终点为B的向量,它既有大小又有方向;AB表示向量 的坐标(或数量),它是一个实数,其前面的正号或负号表示向量的方向与轴同向或反向;AB表示

5、向量 的大小,即线段AB的长度.,2.两点间的距离公式平面直角坐标系中，两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离表示为(1)当P1P2平行于x轴时，d(P1,P2)=|x2-x1|;(2)当P1P2平行于y轴时，d(P1,P2)=|y2-y1|;(3)当P2点是原点时，d(P1,P2)=,【互动探究】若本例(2)中求f(x)的最大值，并求取得最大值时x的值.【解析】上式表示P(x,0)到A(2，2)与到B(1，1)的距离之差，AB的方程为x-y=0，令y=0得x=0.当x=0时，f(x)max=.,【变式训练】已知平行四边形的三个顶点是A(3,-2)、B(5,2)、C(-1,4)，求它

6、的第四个顶点D的坐标.【解题提示】利用平行四边形的对角线互相平分,由中点坐标公式即得.,【解析】如图，若ABCD1成平行四边形,对角线AC、BD1互相平分,AC、BD1的中点重合.设D1(x1，y1)，由中点坐标公式有解得,点D1的坐标为(-3,0).若ABD2C成平行四边形,则同理可求得点D2的坐标为(1,8).若AD3BC成平行四边形,则同理可求得点D3的坐标为(9,-4).综上所述，点D的坐标为(-3,0)或(1，8)或(9，-4).,直线的倾斜角与斜率【例2】(1)若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的斜率为()(2)直线 的倾斜角

7、的范围是(),2,【审题指导】(1)关键抓住PQ的中点，求出P、Q的坐标(2)关键抓住直线方程，求出斜率取值范围,从而结合正切函数图象得到倾斜角的取值范围.【自主解答】(1)选B.依题意，设点P(a,1),Q(7,b),则有 解得a=-5,b=-3,从而可知直线l的斜率为(2)选B.由 得直线斜率-1cos1，设直线的倾斜角为，则结合正切函数在 上的图象可知，,【规律方法】1.若已知直线的倾斜角或的某种三角函数，一般根据k=tan求斜率.2.若已知直线上两点(x1,y1)，(x2,y2)(x1x2)，一般根据斜率公式 求斜率.,3.已知倾斜角的范围，求斜率的范围，实质上是求k=tan的值域问题

8、；已知斜率k的范围求倾斜角的范围，实质上是在 上解关于正切函数的三角不等式问题.由于函数k=tan在 上不单调，故一般借助该函数图象来解决此类问题.,【互动探究】若将本例(2)中直线变为:(mR且m0)，则该直线倾斜角的范围如何？【解析】选A.由 得斜率得：或 设直线的倾斜角为，则 或 结合正切函数在 上的图象可知：或,【变式训练】(2011长沙模拟)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1，1)和Q(2，2)，若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点，求实数m的取值范围.【解析】如图所示，直线l:x+my+m=0过定点A(0，-1)，当m0时,解得 或 当m=0时，直线l方程为x=0，与线段

9、PQ有交点，所以，实数m的取值范围为,直线的方程【例3】(2011厦门模拟)直线l经过点P(3，2)且与x,y轴的正半轴分别交于A、B两点，OAB的面积为12,求直线l的方程.【审题指导】抓住题目中AOB的面积与截距有关，从而选直线方程的截距式求解，若关注直线l过定点P(3,2)，可选用直线的点斜式方程求解.,3,【自主解答】方法一：设直线l的方程为(a0,b0),A(a,0),B(0,b),解得所求直线l的方程为 即2x+3y-12=0.方法二：设直线l的方程为y-2=k(x-3),令y=0，得直线l在x轴的正半轴上截距令x=0,得直线l在y轴的正半轴上的截距b=2-3k,解得所求直线l的方

10、程为即2x+3y-12=0.,【规律方法】求直线方程的常用方法有：1.直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程.2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程.再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程.提醒：求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论.在用截距式时，应先判断截距是否为0,若不确定，则需分类讨论.,【变式训练】求适合下列条件的直线方程:(1)经过点P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线l；(2)经过点A(-1,-3)，倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.【解析】(1)设直线l在x

11、，y轴上的截距均为a,若a=0，即l过点(0,0)和(3,2)，l的方程为 即2x-3y=0.若a0,则设l的方程为l过点(3，2)，a=5,l的方程为x+y-5=0.综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.,(2)由已知：设直线y=3x的倾斜角为,则所求直线的倾斜角为2,tan=3，又直线经过点A(-1，-3),因此所求直线方程为即3x+4y+15=0.,【例】直线l过点P(1,4),分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A、B两点.(1)当|OA|+|OB|最小时，O为坐标原点，求l的方程；(2)当|PA|PB|最小时，求l的方程.【审题指导】抓住直线l过点P(1,4),设出直

12、线l的点斜式方程.将A、B两点坐标用斜率k表示.进而将|OA|+|OB|、|PA|PB|再分别表示为斜率k的函数，然后求其最值.,【规范解答】设直线l的斜率为k.依题意，l的斜率存在，且斜率为负,则y-4=k(x-1)(k0).令y=0,可得A(0)；令x=0,可得B(0,4-k).,(1)当且仅当 且k0,即k=-2时，|OA|+|OB|取最小值.这时l的方程为2x+y-6=0.,(2)|PA|PB|=当且仅当 且k0即k=-1时，|PA|PB|取最小值.这时l的方程为x+y-5=0.,【规律方法】直线方程的综合问题常见的类型及解法：(1)与函数相结合命题：解决这类问题，一般是利用直线方程中

13、x、y的关系，将问题转化成关于x的某函数，借助函数性质来解决.(2)与方程、不等式相结合命题：一般是利用方程、不等式等知识来解决.,【变式备选】已知直线l:kx-y+1+2k=0(kR).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.,【解析】(1)直线l的方程是：k(x+2)+(1-y)=0,令 解得无论k取何值，直线总经过定点(-2,1).(2)由方程知，当k0时直线在x轴上的截距为 在y轴上的截距为1+2k，要使直线不经过第四象限，则必须有 解之得

14、k0;当k=0时，直线为y=1，符合题意，故k0.,(3)由l的方程，得依题意得 解得k0.“=”成立的条件是k0且 即Smin=4,此时l的方程为:x-2y+4=0.,忽略“极端”情况的讨论【典例】(2011徐州模拟)与点M(4,3)的距离为5,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_.【审题指导】解答本题应抓住直线在两坐标轴上的截距相等，分类设出直线的方程求解.,【规范解答】当截距不为0时，设所求直线方程为即x+y-a=0,点M(4,3)与所求直线的距离为5,所求直线方程为当截距为0时，设所求直线方程为y=kx,即kx-y=0.同理可得所求直线方程为 即4x+3y=0.综上所述，所求直线方程

15、为答案：,【误区警示】解答本题易忽略截距为0的“极端”情况导致失误，在选用直线方程时常易忽视的“极端”情况有：1.选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况;2.选用截距式时，忽视截距为零的情况；3.选用两点式方程时忽视与x轴垂直的情况及与y轴垂直的情况.,【变式训练】求满足下列条件的直线方程；(1)过(1,2)，(2，b)两点；(2)过点P(2,-1)，在x轴和y轴上的截距分别为a,b且满足a=3b.,【解析】(1)当b2时，由两点式，得：得：(2-b)x+y+b-4=0,当b=2时，直线方程为y=2.(2)若a=3b=0，则直线过原点(0,0),此时直线斜率直线方程为x+2y=0.若a=3b

16、0，设直线方程为 即由于点P(2,-1)在直线上，所以从而直线方程为-x-3y=1,即x+3y+1=0.综上所述，所求直线方程为x+2y=0或x+3y+1=0.,1.(2010辽宁高考)已知点P在曲线 上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()【解题提示】先求y的导数，并确定其值域即tan的范围，再结合正切函数在 上的图象，求出的取值范围.,【解析】选D.y-1,0),tan-1,0)，又0，),故选D.,2.(2011威海模拟)已知直线l1:y=2x+3,直线l2与l1关于直线y=-x对称，则直线l2的斜率为()【解析】选A.l2、l1关于y=-x对称，l2的方程为-x-2y+3,

17、即y=x+,l2的斜率为，故选A.,3.(2011泉州模拟)已知函数y=a1-x(a0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线(m0,n0)上，则m+n的最小值为_.【解析】函数y=a1-x(a0,a1)的图象恒过定点A，A点坐标为(1，1).又点A在直线 上，(m0,n0)，m+n的最小值为4.答案：4,一、选择题（每小题4分，共20分）1.对于数轴上任意三点A、B、O，在如下的关系中，不恒成立的是()(A)AB=OB-OA(B)AO+OB+BA=0(C)AB=AO+OB(D)AB+AO+BO=0,【解析】选D.A显然成立;B.AO+OB+BA=AB+BA=AB-AB=0，成立；C.由公式AC

18、=AB+BC知成立;D.AB=AO+OB,AB+AO+BO=AO+OB+AO+BO=2AO+OB-OB=2AO,AO=0时成立,AO0时不成立.,2.设直线3x+4y-5=0的倾斜角为，则该直线关于直线x=m(mR)对称的直线的倾斜角等于()(A)-(B)-(C)2-(D)-【解析】选D.结合图形可知+=,故=-.,3.已知直线l过点(m,1)，(m+1,tan+1)，则()（A）一定是直线l的倾斜角（B）一定不是直线l的倾斜角（C）不一定是直线l的倾斜角（D）180-一定是直线l的倾斜角【解题提示】判断是否为直线l的倾斜角，就是看tan是否等于k且看的范围是否是0,).,【解析】选C.根据题

19、意，直线l的斜率 令为直线的倾斜角，则一定有0,),且tan=k,所以若0,),则是直线l的倾斜角；若0,),则不是直线l的倾斜角，所以不一定是直线l的倾斜角.,4.已知直线PQ的斜率为 将直线绕点P顺时针旋转60所得的直线的斜率是()(A)0(B)(C)(D)【解析】选C.PQ的斜率为其倾斜角为120.将直线PQ绕点P顺时针旋转60所得直线的倾斜角为60,故斜率为,5.若直线l的斜率为k,倾斜角为,而),则k的取值范围是()(A)-,1)(B)1)(C)-,0)(D)-，0)1),【解析】选D.k=tan在)和)上都是增函数，k 1)-,0).,二、填空题(每小题4分，共12分)6.直线3x

20、-2y+k=0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k的值是_.【解析】分别令x=0,y=0得直线3x-2y+k=0在y轴,x轴上的截距为解得k=12.答案:12,7.不论m取何值，直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过定点_.【解题提示】将原方程化为关于参数m的方程f(x,y)m+g(x,y)=0，解得(x,y)即定点.,【解析】已知直线方程可化为(x+2)m-x-y+1=0，解得定点坐标为(-2，3).答案:(-2，3),8.若A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)(ab0)三点共线，则 的值为_.【解析】根据A(a,0),B(0,b),确定直线的方程为:又C(-2,-2)在该直线上,故

21、答案:,三、解答题(每小题9分，共18分)9.已知实数x,y满足2x+y=8，当2x3时，求 的最值.【解题提示】可利用 的几何意义求解.也可利用条件用x表示y，进而将所求转化为求函数的最值.,【解析】方法一：如图，设点P(x,y)，因为x,y满足2x+y=8,且2x3,所以点P(x,y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标分别是A(2，4)，B(3，2).因为 的几何意义是直线OP的斜率，且kOA=2,kOB=所以 的最大值为2，最小值为,方法二：代数解法：由2x+y=8得y=8-2x,故根据单调性可知,当x=2时，取最大值-2=2，当x=3时，取最小值,10.(2011西安模拟)设直线l

22、的方程为(a+1)x+y+2-a=0(aR).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程;(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.【解题提示】(1)分直线过原点与不过原点求直线方程.(2)l不经过第二象限得斜率大于等于零，在y轴上的截距小于等于零.,【解析】(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等.a=2,方程即为3x+y=0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得=a-2,即a-2=0或a+1=1,a=2或a=0，方程即为3x+y=0 x+y+2=0.,(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,a-1.综上可知a的取值范围是a-1.,【探究创新】(10

23、分)已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O为原点，是否存在使ABO面积最小的直线l？若存在，求出；若不存在，请说明理由.,【解析】存在.理由如下.设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k0)，则A(2-0)，B(0,1-2k)，AOB的面积S=(1-2k)(2-)=4+(-4k)+(-)(4+4)=4.当且仅当-4k=-即k=-时，等号成立，故直线l的方程为y-1=-(x-2)，即x+2y-4=0.,【方法技巧】直线有关问题求解技巧1.对于是否存在的探索性问题，通常先假设存在，再求解，若求出即存在，无解时可说明理由.2.已知直线过某一点，求直线方程时，通常利用点斜式求方程，即设直线的斜率，由点斜式，再结合其他已知条件，列方程求出斜率k，即得方程.本题由于涉及到与两坐标轴围成的三角形的面积，故直线方程的截距式也是不错的选择，设截距式方程后，由直线过定点可列出关于截距的方程，进而利用面积最小求得直线在x,y轴上的截距也可以得直线方程.,Thank you!,