复变函数与积分变换第1章复数与复变函数.ppt

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1、第1章 复数与复变函数,在一些理论和实际问题中，有许多几何量与物理量，如果用复数作为变量去刻画，则在研究过程中比较方便，在18世纪，数学家J.DAlembert与L.Euler等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，并应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题.在本章中，首先介绍复数的有关知识，然后再引入复平面点集、复变函数以及复变函数的极限与连续等概念.,1.1复数1.1.1复数域形如的数称为复数，其中x和y是任意的实数，分别称为复数z的实部与虚部，记作x=Re z，y=lm z；而i(也可记为)称为纯虚数单位.当Im z=0时，z=Re z可视为实数；而当Re z=0,Im z0时，

2、z称为纯虚数；特别地，当Re z=Im z=0时，记z=0+i0=0.两个复数z1,z2满足 时，称这两个复数相等，记为,对任意两个复数 其四则运算定义如下:容易验证加法与乘法满足交换律：结合律：分配律：,全体复数构成的集合在引进上述加法和乘法运算后称为复数域，用符号 表示.与实数域不同的是，复数域里的数没有大小之分，但可以证明在实数域内成立的一切代数恒等式在复数域内仍成立，例如：,1.1.2复平面、复数的模与辐角由于一个复数z=x+iy可以由有序实数对(x,y)唯一确定，而有序实数对(x,y)与平面直角坐标系xOy中的点一一对应，因此可以用坐标为(x,y)的点P来表示复数z=x+iy(图1.

3、1)，此时x轴上的点与实数对应，称x轴为实轴，y轴上的点（除原点外）与纯虚数对应，称y轴为虚轴.像这样表示复数的平面称为复平面，或按照表示复数的字母是z,w,而称为z平面、w平面，等等.图1.1,如图1.1所示，复数z=x+iy还可以用向量 来表示，x与y分别是向量 在x轴与y轴上的投影.这样，复数z就与平面上的向量 建立了一一对应的关系.引进了复平面后，为方便起见，“复数z”、“点z”及“向量”三者不再区分.向量 的长度称为复数z=x+iy的模或绝对值，记作|z|，于是显然z=0的充要条件是z=0.,当点P不是原点，即复数z0时，向量 与x轴正向的夹角称为复数z的辐角，记作Arg z.辐角的

4、符号规定为：由正实轴依反时针方向转到 为正，依顺时针方向转到 为负.显然一个非零复数z的辐角有无穷多个值，它们相差2的整数倍，但Arg z中只有一个值0满足条件-0，称0为复数z的主辐角，记为0=arg z（以后也把Arg z中任一确定的值记为arg z），于是当z=0时，z的辐角没有意义.,由图1.1易知：复数z=x+iy(0)的主辐角arg z与反正切的主值 有以下关系:,由直角坐标与极坐标的关系可知（图1.1），非零有穷复数z可以用其模r=|z|与辐角来表示，即利用欧拉公式得,由式（1.3）及复数的运算容易证明分别称式（1.2）和式（1.4）为非零复数z的三角表示式和指数表示式，相应地称

5、为式(1.1)复数z的代数表示式.复数z的这三种表示式可以互相转化，以方便讨论不同问题时的需要.,例1.1将 化为三角表示式和指数表示式.解,因为z在第I象限，所以故z的三角表示式为；z的指数表示式为,例1.2试将，(-)化为三角表示式.解由已知可得故z的三角表示式为,利用复数z的代数表示式容易理解复数加法与减法运算的几何意义，设复数z1，z2对应的向量分别为 1，由复数的运算法则知复数的加减法与向量的加减法一致，于是在平面上以 为邻边的平行四边形的对角线 就表示复数z1+z2（图1.2），对角线 就表示复数z1-z2.图1.2,由上述几何解释知下面两个不等式成立：其中 表示向量 的长度，也就

6、是复平面上点z1，z2之间的距离.利用复数z的指数表示式作复数乘法与除法运算很方便.假设，则由式（1.5）可得于是,由此可知：两个复数乘积的模等于它们各自模的乘积，两个复数乘积的辐角等于它们各自辐角的和；两个复数商的模等于它们各自模的商，两个复数商的辐角等于分子辐角与分母辐角的差.由式(1.6)即得复数乘法的几何意义，乘积 对应的向量是把z1对应的向量旋转一个角度 后再将其模伸缩|z2|倍而得到的(图1.3).特别地，当|z2|=1时，只需把z1对应的向量旋转一个角度 即得到 例如 就可由表示z的向量逆时针旋转 而得到.,例1.3已知正三角形的两个顶点为 求其第三个顶点.解如图1.4将向量z2

7、-z1绕z1旋转 得另一个向量，其终点就是所求的第三个顶点z3（或z3），根据复数乘法的几何意义可得 图1.3 图1.4,所以类似可得,1.1.3复数的乘幂与方根n个相同非零有穷复数z的乘积称为复数z的n次幂，记作若，则特别地，当r=1时，即z=cos+i sin，则得De Moivre公式如果复数w和z满足则称复数w为z的n次方根，记作，即,下面求 的表达式.令，则由式(1.8)，得于是有从而故z的n次方根为,从式(1.9)可以看出，只有当k取0,1,2,，n-1时，所得w之值是不同的，而k取其他整数时所得w之值将与上述n个值之一重合.因此,一个非零有穷复数z的n次方根仅有n个不同的值，在几

8、何上表现为以原点为中心、以 为半径的圆的内接正n边形的n个顶点.,例1.4求z=1的n次方根.解因为所以特别地，1的立方根为它们均匀地分布在以原点为中心，以1为半径的圆周上（图1.5）.图1.5,例1.5设n为自然数，证明等式证明令，则故由De Moivre公式得,1.1.4共轭复数设复数z=x+iy，称复数x-iy为z的共轭复数，记为 显然z和 是关于实轴对称的（图1.6）.由定义，容易验证下列关系成立：图1.6,例1.6设，试求Re z，lm z和解因为所以,例1.7求证:若|a|=1，则证由 得,例1.8设复数 满足条件求证 是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的顶点.证由条件，可知

9、位于|z|=1上；又由条件，可知则即再结合条件得故,即|z2-z3|=3，同理可得|z1-z3|=3，|z1-z2|=3,因此,z1,z2,z3是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的3个顶点.下面举例简单说明复数的应用，具体讨论两个问题：如何用含复数的方程来表示平面曲线；怎样从复数形式的方程来确定该方程所表示的平面曲线.若平面曲线的实方程为,则的复方程可表示z=z(t)=x(t)+y(t)i(t).,例1.9（1）因连接 与 两点的实方程为故该线段的复数方程为同理过z1与z2两点的直线的复数方程为于是有三点z1,z2,z3 共线的充分必要条件为.,（2）因z平面上以点 为心、r为半径的圆周的

10、实方程为故该圆的复数方程为若平面曲线的实方程为F(x,y)=0，则的复方程可用f(z)=0表示.,例1.10（1）z平面上以点z0为心、r为半径的圆周的复方程为|z-z0|=r.（2）平面直角坐标下直线ax+by=c 方程的复数方程为事实上，设z=x+iy，则由共轭复数的定义得,将它们代入所给的直线方程ax+bx=c，有化简得记=a+ib，=2c，便得结论.（3）方程|z-i|=|z+2i|表示到点i和-2i的距离相等的点z的轨迹，即连接复数i和-2i的线段的垂直平分线.(4)方程 表示一个圆周.,1.1.5无穷远点与扩充复平面取一个与 相切于坐标原点O的球面S.过O作与复平面相垂直的直线，该

11、直线与球面S交于另一点N，O和N分别称为球面的南极和北极（图1.7）.图1.7,在复平面上任取一点z，则连接z和N的直线必交于球面上唯一的异于N的点P；反之，若P为球面上任意一个异于N的点，则连接NP的直线必交复平面上唯一的一点z.这样就建立起球面上除去北极N外的点P与复平面上点z之间的一一对应关系，我们称P为z在球面上的球极射影，如果z的模愈大，则它的球极射影就愈靠近北极N，因此，北极N可以看作复平面上一个模为无穷大的理想点的对应点，这个理想点称为无穷远点，并记为，复平面上加上点后就称为扩充复平面，通常记为，即 与之对应的是整个球面，称为复球面，换言之，扩充复平面的一个几何模型就是复球面.,

12、最后需要指出的是，扩充复平面 上只有一个无穷远点，它是一个确定的复数，对来说，其实部、虚部与辐角均无意义，仅规定其模|=+.关于我们规定其运算如下：a为有限复数，则，0,均无意义.在本书中，今后若无特别声明，所涉及的复数都是指有穷复数.,1.2复平面点集1.2.1平面点集定义1.1设z0，为正数，称集合z|z-z0|为点z0的邻域，记为N(z0),称集合z|0|z-z0|为点z0的去心邻域，记为N(z0)z0.定义1.2设 为一点集，且z0E，若 N(z0)，使得N(z0)E，则称点z0为E的内点.若E的点皆为内点，则称E为开集.定义1.3设 为一点集，且z0E，若 0，在N(z0)内既有属于

13、E的点，也有不属于E的点，则称点z0为E的边界点；E的边界点的全体组成的集合称为E的边界，通常记为E.,定义1.4设 为一点集，如果对，点集 是无穷点集，则称z0为E的聚点或极限点，E的聚点全体通常记为E；若,但 则称z0为E的孤立点；若，使得，则称z0为E的外点.定义1.5若点集E能完全包含在以原点为圆心，以某一个正数R为半径的圆域内部，则称E为有界集，否则称E为无界集.对于无穷远点，有:定义1.6在 上以原点为心，以某一个正数R为半径的圆外部，称为无穷远点的一个邻域，记为NR（）=z|z|R.由此，在扩充复平面 上，聚点、内点及边界点等概念均可推广到无穷远点.,1.2.2区域定义1.7复平

14、面 上具备下列性质的非空点集D称为区域：D是开集，即D完全由内点组成；D是连通的，即D中任何两点都可以用一条整个属于D的折线连接起来.由区域的定义，区域不包括边界点，因而一般称区域为开区域.区域D及边界C所构成的点集称为闭区域，记作若区域D可以包含在某个以原点为中心、以某一正数R为半径的圆内.则称D为有界区域，否则为无界区域.,实际中，常用含复数的不等式来表示复平面上的区域.例如：z平面上以原点为心，R为半径的圆盘（即圆形区域）可表示为|z|R.z平面上以实轴Im z=0为边界的两个无界区域是上半平面与下半平面，分别表为Im z0与Im z0;z平面上以虚轴Re z=0为边界的两个无界区域是左

15、半平面与右半平面，分别表为Re z0与Re z0.图1.8所示的同心圆环（即圆环区域）可表示为r|z|R.图1.9所示的带形区域可表示为,图1.8 图1.9,1.2.3Jordan曲线定义1.8若x(t)与y(t)是两个定义在闭区间,上的连续实值函数，则称曲线为 上的一条连续曲线；z()及z()分别称为这条曲线的起点与终点；若对区间,上任意不同的两点t1及t2，且不同为,的端点，有z(t1)=z(t2)，则点z(t1)称为这条曲线的重点；凡无重点的连续曲线，称为简单曲线或Jordan(约当)曲线；满足z()=z()的简单曲线称为简单闭曲线.,例如，线段、圆弧和抛物线弧段等都是简单曲线；圆周和椭

16、圆周等都是简单闭曲线.一条简单闭曲线C可把平面分为两个区域：一个是有界的，称为C的内部；另一个是无界的，称为C的外部，而这两个区域都以给定的简单闭曲线作为边界.例如，圆周|z|=R是一条简单闭曲线，它把平面 分成两个没有公有点的区域|z|R与|z|R，前者是有界的，后者是无界的，并且它们都以|z|=R为边界.,定义1.9设C z=z(t)=x(t)+iy(t)（t）是一条简单（闭）曲线.若z=z(t)在t上有连续导数，且则称曲线C为光滑（闭）曲线.由有限条光滑曲线依次相衔接而成的曲线称为逐段光滑曲线.例如，直线、圆弧（周）等都是光滑（闭）曲线；简单折线是逐段光滑曲线.,1.2.4单连通区域与多

17、连通区域定义1.10如果区域D内的任何简单闭曲线的内部中每一点属于D，则称区域D为单连通区域；否则，就称为多连通区域.一般来说，一条简单闭曲线的内部区域为单连通区域；从单连通区域中挖去几个彼此无公共点的闭区域后，得到一个多连通区域.例1.11集z|-1Re z1为单连通无界区域，而圆环z|1|z-i|2为多连通有界区域.,例1.12求满足关系式的点z=r(cos+i sin)的集合，若该集合为一区域，则是单连通区域还是多连通区域？解设z=x+iy=r(cos+i sin),因为cos r2cos，所以，即.从而所求点集为（图1.10）中的阴影部分：，这是一个有界单连通区域.图1.10,例1.1

18、3试问满足条件z+|z|0的点z组成的点集是否构成区域？是否为单连通的？是否为有界区域？解首先找出满足条件z+|z|=0的点，然后从复平面内去掉这些点.由z+|z|=0，有z=|z|，即 于是，因此,这是复平面上包括原点和负实轴的全体点的集合.所以，z+|z|0是复平面上去掉原点和负实轴的全体点的集合，它是一个无界的单连通域.,1.3复变函数的极限与连续1.3.1复变函数的概念复变函数就是定义域和值域均在复数集上的函数.它在形式上与微积分中函数概念是相同的，但因为涉及的对象不同了，所以有许多新的特点值得研究.定义1.11设点集，若对于D内每一点z，按照某一法则，有确定的复数w与之对应，则称在D

19、上确定了一个复变函数w=f(z)(zD).若 zD，有唯一的w值与之对应，则称w=f(z)(zD)为单值函数；若 zD，有几个或无穷多个w值与之对应，则称w=f(z)(zD)为多值函数.D称为函数w=f(z)的定义域，而相应w值的全体所成之集G称为函数w=f(z)的值域.,例如：，w=|z|都是单值函数；，w=Arg z(z0)都是多值函数.注:在今后的讨论中，若无特别声明，所涉及的函数都是指单值函数.若令z=x+iy，w=u+iv则函数w=f(z)可表示为其中u=u(x,y)v=v(x,y)都是二元实函数.若令，则函数w=f(z)可表示为例如，函数 可表示为,实变量的一元函数与二元实函数分别

20、可用平面曲线与空间曲面来表示，自然会问一个复变函数能用什么几何图形来表示呢？注意到复变函数w=f(z)，亦即u+iv=f(x+iy)，涉及x,y,u,v共四个实变量，这样就不可能用同一个平面，也不能用一个三维空间中的几何图形来表示它.不过，复变函数w=f(z)可看成是平面上的点集D到平面上的点集G的一个对应关系（图1.11），或者说是复平面上的两个点集之间的映射或变换，因此，我们取两张复平面来表示一个复变函数，一个是点集D所在的平面（称为z平面），一个是点集G所在的平面（称为w平面），把与点zD对应的点w=f(z)称为点z的像点，而点z称为点w=f(z)的原像.,图1.11,例1.14考察函数

21、 的映射性质.解若设，则函数 可表示为 于是可得函数 的如下映射性质：1）z平面上从原点出发的射线，被映射成w平面上的射线,2）z平面上的角形区域D=z0arg z，被映射成w平面上的角形区域G=w0arg w2(如图1.12).图1.12,若设z=x+iy，w=u+iv，则函数 可表示为，因此，又可得函数 的如下映射性质.3）z平面上的两簇分别以直线y=x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线 分别映射成w平面上的两簇平行直线（如图1.13）.图1.13,4)下面再进一步研究z平面上的两直线簇x=C1，y=C2在函数 映射下的图像.当x=C1时，在z平面上表示为平行于虚轴的直线，此直线在映射 下变为消

22、去y得这是w平面上的一簇抛物线，特别地，当C1=0时，直线方程为x=0，此直线在映射 下变为于是可知，映射 将z平面上的虚轴x=0，映射成w平面的负实轴.,与x=C1的讨论一样，在w=z2的映射下，直线y=C2（图1.14中虚线）的像，是w平面上的一簇抛物线（图1.14 虚线）；特别地，当C2=0时，直线方程为y=0，此时有这是w平面上的原点和正实轴.图1.14,1.3.2复变函数的极限定义1.12设函数w=f(z)在点z0的某个去心邻域内有定义，若存在一复数A，使得 0，0，当0|z-z0|时，有|f(z)-A|，则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限，记作此极限定义的几何意义是：对于w平面

23、上定点A的任意给定的邻域，在z平面上一定能找到z0的某个去心邻域，使得当z进入这个去心邻域内时，其像点w=f(z)就落在A的给定邻域N(A)中（如图1.15）.,图1.15,复变函数极限定义中zz0的方式是任意的，即自变量z不论从任何方向，沿何种曲线趋向于z0时，w=f(z)都有相同的极限A，这种趋向过程较实轴上变量xx0要复杂许多，两者虽然形式类似，本质却有较大差别.例1.15试证 不存在.事实上，让z沿直线 趋于零，则由于极限值随k而变化，因而 不存在.,下面的定理揭示了复变函数极限与其实部和虚部的极限之间的关系.定理1.1设w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，A=a+ib，则 的

24、充要条件是证由于及根据定义1.12，由前一个不等式可得定理的充分性，而由后两个不等式可得定理的必要性.,下面关于极限的性质和定理与微积分学中相应结论类似，在此仅列举.性质1如果f(z)在z趋向于z0时的极限存在，则极限唯一.性质2如果f(z)在z趋向于z0时的极限存在，则f(z)在z0的某个去心邻域N(z0)z0内有界.定理1.2若 则,1.3.3复变函数的连续性定义1.13设函数w=f(z)在点z0的某邻域内有定义，且满足则称f(z)在点z0是连续的.如果函数w=f(z)在集合E内每一点处都连续，则称函数w=f(z)在E上连续.由此并结合定理1.1及定理1.2可得：定理1.3函数w=f(z)

25、=u(x,y)+iv(x,y)在点 处连续的充要条件是u=u(x,y)和v=v(x,y)均在点 处连续.定理1.4连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数，连续函数的复合函数仍为连续函数.,例1.16多项式 上处处连续；有理函数 上除去分母为零的点外处处连续.,例1.17讨论函数，在z=0处的连续性.解由于 而f(0)=i，故 所以函数f(z)在z=0处不连续.关于实变连续函数的几个重要定理，可推广到复变函数的情形.,定理1.5设函数f(z)在有界闭区域E上连续，则f(z)在E上有界，即 M0，使得 zE，有|f(z)|M.定理1.6设函数f(z)在有界闭区域E上连续，则函数f(z)

26、在E上可取到最大模与最小模，即，使得 zE，有以上结论都可由微积分中相应结果推得.,关于无穷大，有下列极限定义：定义1.14设函数w=f(z)在点z0的某个去心邻域内有定义，若对任一正数A，0，当0|z-z0|时，有|f(z)|A，则称当z趋向于z0时，f(z)的极限为无穷大，记作定义1.15设函数w=f(z)在点的某个邻域内有定义，若存在一复数A，使得 0，0，当|z|时，有|f(z)-A|，则称A为f(z)当z趋向于时的极限，记作,例1.18,习题11.求下列复数的实部与虚部，共轭复数，模与辐角.2.如果等式 成立，试求实数x，y为何值.3.试证虚数i单位满足：4.求 的模.,5.试证：6

27、.将下列复数化成三角表示式和指数表示式.7.当|z|1时，求 的最大值，其中n为正整数，a为复数.8.一个复数乘以-i，它的模与辐角有何改变？,9.判别下列命题的真假.（1）若c为实数，则（2）若z为纯虚数，则（3）2i3i（4）arg 0=0（5）方程 仅有一个根10.如果 试证明,11.求方程 的所有根.12.求下列各式的值.,13.指出下列各题中点z的存在范围，并作图.,14.描出下列不等式所确定的区域，并指出是有界的还是无界的，闭的还是开的，单连的还是多连的.,15.证明复平面上的圆周方程可写为：(其中为复常数，c为实常数).16.求下列方程（t是实参数）给出的曲线.,17.函数 将z平面上的下列曲线变成w平面上的什么曲线(z=x+iy,w=u+iv)？18.试求,19.试证 不存在.20.试证arg z(arg z)在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在z平面上处处连续.21.设函数f(z)在 处连续，且 证明存在 的邻域使f(z)0.22.如果f(z)在点 处连续，证明f(z),f(z)也在点 处连续.,