同济高数第6章课件第3节.ppt

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1、第一节 定积分的元素法,一、问题的提出,曲边梯形:,连续曲线 y=f(x)、x轴与两条直线x=a,x=b 所围成。,（3）A的近似值,（4）求极限，得A的精确值,（1）把区间a,b分成n个小区间,相应的第i个,小曲边梯形面积为,二、元素法的一般步骤：,这个方法通常叫做元素法,（1）选取一个变量例如x为积分变量，,（2）设想把区间a,b分成n个小区间，,（3）以所求量U 的元素 f(x)dx 为被积表达式，,在区间a,b上作定积分，得,并确定它的变化区间a,b；,取其中任一小区间 x,x+dx，,求出相应于这小区间的部分量近似值:dU=f(x)dx；,一、平面图形的面积,第二节 定积分在几何学上

2、的应用,1。直角坐标系情形,解,两曲线的交点(0,0)、(1,1),面积元素,选 x 为积分变量,例1 计算由两条抛物线,所围成的图形的面积.,解,两曲线的交点,选 y 为积分变量,例2 计算由曲线 和直线,所围成的图形的面积.,=18,解,例3 计算由曲线 xy=1 和直线 y=x 及 x=2 所围成的图形的面积.,解,椭圆的参数方程,例4 求椭圆,的面积.,曲边梯形的曲边为参数方程:,则曲边梯形的面积,（其中 和 对应曲线起点与终点的参数值）,具有连续导数，,面积元素,曲边扇形的面积,设由曲线,及射线,围成一曲边扇形，,求其面积,2、极坐标系情形,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积

3、,例5 求双纽线,所围平面图形的面积.,解,利用对称性知,例6 求心形线,所围平面图形的面积(a 0),旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,1、旋转体的体积,二、体积,旋转体的体积为,求由连续曲线 y=f(x)、直线 x=a、x=b 及x 轴,所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周,而成的旋转体体积？,取积分变量为 x,在a,b上任取,小区间x,x+dx,取以 dx 为底的窄曲边梯形绕 x 轴旋转而成,的薄片的体积为体积元素,解,直线OP方程为,例1 连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线x=h,高为h的圆锥体，,及x轴围成一个直角三

4、角形,将它绕 x 轴旋转,构成一个底半径为r、,计算圆锥体的体积,取积分变量为x，,在0,h上任取小区间x,x+dx，,以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的,薄片的体积为,圆锥体的体积,解,例2 求星形线(a 0)绕 x 轴旋转,构成旋转体的体积.,旋转体的体积,直线 y=c,y=d 及 y 轴所围成的曲边梯形,类似地，如果旋转体是由连续曲线,绕 y 轴旋转一周而成的立体，,体积为:,解,分别绕 x 轴、,例3 求摆线,的一拱与 y=0 所围成的图形,y 轴旋转构成旋转体的体积.,绕 x 轴旋转的旋转体体积,绕 y 轴旋转的旋转体体积,可看作平面图OABC与OBC分别,绕y轴旋转构成旋转体的体

5、积之差.,解,体积元素为,例4 求由曲线,绕直线 x=3 旋转构成旋转体的体积.,及y=0所围成的图形,取积分变量为y,2、平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积，,A(x)为x的已知连续函数,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,例5 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，,并与底面交成角,计算这平面截圆柱体,所得立体的体积,垂直于x 轴的截面为直角三角形,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,例6 求以半径为R的圆

6、为底、,平行且等于底圆,直径的线段为顶、,高为h的正劈锥体的体积,垂直于x 轴的截面为等腰三角形,1、平面曲线弧长的概念,三、平面曲线的弧长,并依次连接相邻分点,接折线，其长为,且每个小弧段的长度都趋向于零时,在弧上插入,得内,称此曲线弧为可求长的。,的极限存在，,设曲线弧AB,分点,称此极限为曲线弧 AB的弧长,当分点无限增多,弧微分：,是否所有的曲线弧都是可求长的？,定理：光滑或分段光滑的曲线弧是可求长的。,如何求弧长,？,弧长元素,弧长,2、直角坐标情形,设曲线弧为 y=f(x),其中 y=f(x)在 a,b上有一阶连续导数,取积分变量为 x,在a,b上任取小区间 x,dx,小切线段的长:,x=g(y),x=g(y)在c,d,y,在c,d,y,y+dy,解,所求弧长为,求弧长步骤:(1)确定积分变量(2)求弧微分(3)积分,例1 计算曲线,相应于x从a到b的,一段弧的长度,解,(令 x=n t),例2 计算曲线,的弧长,曲线弧为,弧长,3、参数方程情形,其中 在 上具有连续导数,解,根据对称性,例3 求星形线(a 0)的全长,曲线弧为,弧长,4、极坐标情形,其中 在 上具有连续导数,解,例4 求极坐标系下曲线 的长,解,例5 求阿基米德螺线(a 0)上,相应于 从0到 的弧长,直角坐标系：,参数方程：,极坐标系：,弧微分求法：,四、小结,坐标系 曲线方程 弧微分,