同济版高等数学第六版课件第八章第七节平面及其方程.ppt

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1、,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量,法线向量的特征：,一、平面的点法式方程,平面的法向量不唯一;平面的法向量垂直于平面内的任一向量,设平面上的任一点为,必有,平面的点法式方程,解,所求平面方程为,化简得,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,由平面的点法式方程,二、平面的一般方程,是关于 的 三元一次方程,反过来，设有三元一次方程,该方程的一组数,，则,两式相减即得,该方程恰为平面的点法式方程,表示一个平面，称为,平面的一般方程,任取满足,由此可知，任一三元一次方程,平面一般方程的几种特殊情况：,通过原点的平面;,平行于 z 轴的平面;,当 时,表示,当 时,的法向量,

2、平面平行于 轴;,表示,平行于 轴的平面;,表示,C z+D=0 表示,A x+D=0 表示,B y+D=0 表示,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,设平面为,将三点坐标代入得,解,将,代入所设方程得,平面的截距式方程,设平面为,解,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的充要条件）,化简得,令,所求平面方程为,定义,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,三、两平面的夹角,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,/,例6 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,两平面平行,两平面平行但不重合,两平面平行,两平面重合.,解,(点到平面的距离公式),平面的方程,（熟记平面的几种特殊位置的方程）,两平面的夹角.,点到平面的距离公式.,点法式方程.,一般方程.,截距式方程.,（注意两平面的位置特征）,四、小结,思考题,思考题解答,练 习 题,5、通过,_；,三点的平面方程,练习题答案,