同济六版高等数学第三章第一节.ppt

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1、第三章,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式(第三节),微分中值定理,与导数的应用,一、罗尔定理,二、拉格朗日中值定理,三、柯西中值定理,3.1 中值定理,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、罗尔定理,设连续光滑的曲线 y=f(x)在端点 A、B 处的纵坐标相等,提问：f(x)?,观察与思考,提示：f(x)0,下页,罗尔定理 如果函数yf(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 且有f(a)f(b)那么至少存在一点x(a b)使得f(x)0,简要证明,(1)若f(x)是常函数 则f(x)0 定理的结论

2、显然是成立的,下页,(2)若f(x)不是常函数 则f(x)在(a b)内至少有一个最大值点或最小值点 不妨设有一最大值点x(a b)于是,因此必有f(x)=0,下页,简要证明,罗尔定理 如果函数yf(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 且有f(a)f(b)那么至少存在一点x(a b)使得f(x)0,应注意的问题：如果定理的三个条件有一个不满足 则定理的结论有可能不成立,下页,罗尔定理 如果函数yf(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 且有f(a)f(b)那么至少存在一点x(a b)使得f(x)0,例1 不求导数 判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的

3、导数有几个实根 以及其所在范围（P134 第5题）解 f(1)=f(2)=f(3)=0 f(x)在1 2 2 3上满足罗尔定理的三个条件 在(1 2)内至少存在一点x1 使 f(x1)=0 x1是 f(x)的一个实根 在(2 3)内至少存在一点x2 使f(x2)=0 x2也是f(x)的一个实根 f(x)是二次多项式 只能有两个实根 分别在区间(1 2)及(2 3)内,首页,例2.证明方程,有且仅有一个小于1 的,正实根（类似于 p134 第12题）,证:1)存在性.,则,在 0,1 连续,且,由介值定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根,2)唯一性.,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件,

4、至少存在一点,但,矛盾,故假设不真!,设,二、拉格朗日中值定理,观察与思考 设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标不相等,提问：直线AB的斜率k=?f(x)?,提示：,下页,直线AB的斜率,如果函数f(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得f(b)f(a)f(x)(ba),拉格朗日中值定理,下页,直线AB的斜率,则函数j(x)在区间a b上满足罗尔定理的条件 于是至少存在一点x(a b)使j(x)0 即,简要证明,由此得 f(b)f(a)f(x)(ba),下页,如果函数f(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 那么在(

5、a b)内至少有一点x 使得f(b)f(a)f(x)(ba),拉格朗日中值定理,0,f(b)f(a)f(x)(ba)f(xDx)f(x)f(xqDx)Dx(0q 1)Dyf(xqDx)Dx(0q 1),拉格朗日中值公式,下页,如果函数f(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得f(b)f(a)f(x)(ba),拉格朗日中值定理,注：,dyf(x)Dx是函数增量Dy的近似表达式 f(xDx)Dx是函数增量Dy 的精确表达式,f(b)f(a)f(x)(ba)f(xDx)f(x)f(xqDx)Dx(0q 1)Dyf(xqDx)Dx(0q 1),拉格朗日

6、中值公式,如果函数f(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得f(b)f(a)f(x)(ba),拉格朗日中值定理,定理 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零 那么f(x)在区间I上是一个常数,证明 设f(x)ln(1x)显然f(x)在区间0 x上满足拉格朗日中值定理的条件 根据定理 就有 f(x)f(0)f(x)(x0)0 xx,又由0 xx 有,例3,首页,例4.(p134 6)证明等式,证:设,由推论可知,(常数),令 x=0,得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,经验:,欲证,时,只需证在 I 上,三、柯西中值定理,柯西中值定理

7、函数f(x)及F(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 且F(x)在(a b)内恒不为零 那么在(a b)内至少有一点x 使得,下页,显然 如果取F(x)x 那么F(b)F(a)ba F(x)1 因而柯西中值公式就可以写成 f(b)f(a)f(x)(ba)(axb)这样就变成了拉格朗日中值公式了,柯西中值公式,分析:,要证,证:作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知,至少存在一点,思考:柯西定理的下述证法对吗?,两个 不一定相同,错!,上面两式相比即得结论.,柯西定理的几何意义:,注意:,弦的斜率,切线斜率,例5.设,至少存在一点,使,证:结论可变形为,设,则,在 0,1 上满足柯

8、西中值,定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使,即,证明,内容小结,1.微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2.微分中值定理的应用,(1)证明恒等式,(2)证明不等式,(3)证明有关中值问题的结论,关键:利用逆向思维设辅助函数,思考与练习,1.设,且在,内可导,证明至少存,在一点,使,2.若,可导,试证在其两个零点间一定有,的零点.,1.设,且在,内可导,证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知,只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,2.若,可导,试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示:,设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,作业,P134 8,9,