同济六版高等数学第一章第三节.ppt

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1、,二、函数的极限的性质,一、函数极限的定义,1.3 函数的极限,上页,下页,铃,结束,返回,首页,自变量变化过程的六种形式:,一、函数极限的定义,如果当x无限地接近于x0时 函数f(x)的值无限地接近于常数A 则常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记作,函数极限的通俗定义,下页,1.自变量趋于有限值时函数的极限,分析:当xx0时 f(x)A 当|x-x0|0时|f(x)-A|0 当|x-x0|小于某一正数d后|f(x)-A|能小于给定的正数e 任给e 0 存在d 0 使当|x-x0|d 时 有|f(x)-A|e,设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义 如果存在常数A 对于任意给定的

2、正数 总存在正数 使得当x满足不等式0|xx0|时 对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)A|那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记为,函数极限的精确定义,定义的简记形式,e 0 d 0 当0|x-x0|d 有|f(x)-A|e,下页,函数极限的几何意义,当0|x-x0|d 时|f(x)-A|e:,e 0:,d 0:,下页,e0 d0 当 0|x-x0|d 有|f(x)-A|e,例1,证明 因为e0 d0 当0|x-x0|d 时,都有|f(x)-A|c-c|0e,e0 d0 当 0|x-x0|d 有|f(x)-A|e,下页,分析:,|f(x)-A|c-c|0.,e0,d0,当0|

3、x-x0|d 时,都有|f(x)-A|e.,分析,|f(x)A|xx0|e,当0|xx0|d 时 有,d e,因为e 0,证明,只要|xx0|e.,要使|f(x)A|e,e 0,例2,|f(x)A|xx0|,下页,e0 d0 当 0|x-x0|d 有|f(x)-A|e,分析,|f(x)A|(2x1)1|2|x1|,例3,因为 0,证明,|f(x)A|(2x1)1|2|x1|e,下页,e0 d0 当 0|x-x0|d 有|f(x)-A|e,e 0,当0|x1|时 有,/2,只要|x1|e/2,要使|f(x)A|e,分析,注意函数在x=1是没有定义的 但这与函数在该点是否有极限并无关系,证明,因为

4、e 0,=e,当0|x1|d 时 有,例4,下页,分析,e 0,只要|x1|e,要使|f(x)A|e,e0 d0 当 0|x-x0|d 有|f(x)-A|e,注:,单侧极限,下页,xx0表示x从x0的左侧(即小于x0)趋于x0,xx0+表示x从x0的右侧(即大于x0)趋于x0.,e0 d0 当 0|x-x0|d 有|f(x)-A|e,e 0 d 0 当x0dxx0 有|f(x)A|e,精确定义,单侧极限,e0 d0 当 0|x-x0|d 有|f(x)-A|e,e 0 d 0 当x0dxx0 有|f(x)A|e,类似地可定义右极限.,结论,精确定义,下页,这是因为,下页,类似地可定义,如果当|x

5、|无限增大时 f(x)无限接近于某一常数A 则常数A叫做函数f(x)当x时的极限 记为,下页,2.自变量趋于无穷大时函数的极限,0 X0 当|x|X时 有|f(x)A|,精确定义,结论,0 X0 当|x|X时 有|f(x)A|,极限的定义的几何意义,0:,X0:,当|x|X时 有|f(x)-A|e:,水平渐近线,水平渐近线,下页,分析,例6,证明,0 X0 当|x|X时 有|f(x)A|,首页,二、函数极限的性质,定理1(函数极限的唯一性),定理2(函数极限的局部有界性),如果f(x)A(xx0)那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界,定理3(函数极限的局部保号性),如果f(x)A(xx0)而且A0(或A0)那么在x0的某一去心邻域内 有f(x)0(或f(x)0),如果当xx0时f(x)的极限存,那么这极限是唯一的,如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)而且 f(x)A(xx0)那么A0(或A0),推论,下页,定理4(函数极限与数列极限的关系),如果当xx0时f(x)的极限存在 xn为f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列 且满足xn x0(nN)那么相应的函数值数列f(xn)必收敛 且,结束,思考与练习,1.若极限,存在,2.设函数,且,存在,则,是否一定有,？,作业 P38 5(4);6(2);,3.P38 第2题，第4题,