同济六版高数第四章第1节.ppt

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1、4.1 不定积分的概念与性质,一、原函数与不定积分的概念,二、基本积分表,三、不定积分的性质,微分法:,积分法:,互逆运算,一、原函数与不定积分的概念,一、原函数与不定积分的概念,原函数的概念 如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x),即对任一xI,都有F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数.,原函数举例,所以sin x是cos x的原函数.,因为(sin x)cos x,提问：,问题:,1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?,2.若原函数存在,它如何表示?,原函数存在定理,如果函数f(x)在区间I上连续,那么在

2、区间I上存在可导函数F(x),使对任一xI 都有F(x)f(x).简单地说就是:连续函数一定有原函数.,初等函数在定义区间上连续,初等函数在定义区间上有原函数,说明：1.如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x),那么f(x)就有无限多个原函数,F(x)C都是f(x)的原函数,其中C是任意常数.,2.函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数,即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数,则(x)F(x)C(C为某个常数).,证:1),又知,故,即,属于函数族,即,不定积分中各部分的名称：-称为积分号,f(x)-称为被积函数,f(x)dx-称为被积表达式,x-称为积分变量.,不定积分的概念,

3、在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,记作,根据定义,如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么F(x)C就是f(x)的不定积分,即,在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,记作,不定积分的概念,C 称为积分常数不可丢!,例1,因为sin x 是cos x 的原函数,所以,如果F(x)是f(x)的一个原函数,则,例2,合并上面两式,得到,解,如果F(x)是f(x)的一个原函数,则,例3 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的

4、方程.解 设所求的曲线方程为yf(x),则曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为yf(x)2x,即f(x)是2x 的一个原函数.,故必有某个常数C使f(x)x2C,即曲线方程为yx2C.因所求曲线通过点(1,2),故21C,C1.于是所求曲线方程为yx21.,因为,函数f(x)的积分曲线也有无限多.函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率.,积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线.,2x的积分曲线,例3.质点在距地面,处以初速,力,求它的运动规律.,解:取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,质点抛出时刻为,此时质点位置为,初速为,

5、设时刻 t 质点所在位置为,则,(运动速度),(加速度),垂直上抛,不计阻,先求,由,知,再求,于是所求运动规律为,由,知,故,微分与积分的关系 从不定积分的定义可知,又由于F(x)是F(x)的原函数,所以,由此可见,如果不计任意常数,则微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,二、基本积分表,例5,例4,例6,三、不定积分的性质,这是因为,f(x)g(x).,性质1,三、不定积分的性质,性质1,性质2,例7,例8,例10,三、不定积分的性质,性质1,性质2,例9,例11,例12,例13,tan xxC.,例14,例15,内容小结,1.不定积分的概念,原函数与不定积分的定义,不定积分的性质,基本积分表,2.直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分.,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式,代数公式,积分性质,思考与练习,1.若,提示:,2.若,是,的原函数,则,提示:,已知,3.若,的导函数为,则,的一个原函数,是().,提示:,已知,求,即,D,?,?,或由题意,其原函数为,4.已知,求 A,B.,解:等式两边对 x 求导,得,