可以对角化的矩阵PPT.ppt
《可以对角化的矩阵PPT.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《可以对角化的矩阵PPT.ppt(22页珍藏版)》请在三一办公上搜索。
1、设是数域F上 维向量空间V的一个线性变换,如果存在V的一个基,使得关于这个基的矩阵具有对角形式(1),7.6.1 什么是可对角化,则称可以对角化.,类似地,设A是数域F上一个n阶矩阵,如果存在F上一个n阶逆矩阵T,使得 具有对角形式(1),则称矩阵A可以对角化.,7.6 可以对角化的矩阵,我们知道,可以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性变换来研究矩阵,本节更多的通过线性变换来研究矩阵.,易证,可以对角化的充分必要条件是有 n个线性无关的本征向量构成V的基.,问题:在什么条件下有 n个线性无关的本征向量?,7.6.2 本征向量的线性关系,定理7.6.1 令是数域F上向量空间V的一个线性变换.
2、如果 分别是的属于互不相同的本征值 的本征向量,那么 线性无关.,证 我们对n用数学归纳法来证明这个定理当n=1时,定理成立.因为本征向量不等于零.设n 1,并且假设对于n1来说定理是成立的.现设 是的两两不同的本征值,是属于本征值 的本征向量:,如果等式,成立,那么以 乘(3)的两端得,另一方面,对(3)式两端施行线性变换,注意到等式(2),我们有,(5)式减(4)式得,根据归纳法假设,线性无关,所以,但 两两不同,所以 代入(3),因为 所以 这就证明了 线性无关.,推论7.6.1 设是数域F上向量空间V的一个线性变换,是的互不相同的本征值.又设 是属于本征值 的线性无关的本征向量,那么向
3、量 线性无关.,证 先注意这样一个事实:的属于同一本征值的本征向量的非零线性组合仍是的属于的一个本征向量.,由上面所说的事实,如果某一,则 是的属于本征值 的本征向量.因为互不相同,所以由定理7.6.1,必须所有 即,令,则,现在设存在 F中的数 使得,7.6.3 可对角化的判定,推论7.6.2 令是数域F上n维向量空间V的一个线性变换,如果的特征多项式 在F内有n个单根,那么存在V的一个基,使就关于这个基的矩阵是对角形式.,平行地即用矩阵的说法:,推论7.6.3 令A是数域F上一个n阶矩阵,如果A的特征多项式 在F内有n个单根,那么存在一个n阶可逆矩阵T,使,注意:推论的条件只是一个n阶矩阵
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 可以 角化 矩阵 PPT
链接地址:https://www.31ppt.com/p-6251494.html