力学量用算符表示.ppt

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1、第四章 力学量用算符表示,算符的一般性质 算符的本征值和本征函数 物理量的平均值 厄密算符 对易算符 坐标算符，动量算符，角动量算符，哈密顿算符 守恒量 交换算符,宇称,算符的一般性质(1),算符的定义,算符的一般性质(2),线性算符-凡满足下列运算规则的算符称为线性算符,u1,u2是任意两个函数，c1,c2是任意常数,算符的一般性质(3),算符相加,算符乘法,算符的一般性质(4),单位算符,单位算符,逆算符,逆算符的定义,逆算符,算符的函数(1),算符的函数的定义,算符,n阶导数,算符的函数(2),例如,算符的本征值和本征函数(1),本征值和本征函数的定义,本征方程,算符的本征值和本征函数(

2、2),若n1，则称这一本征函数无简并。,若一个本征值对应于n个本征函数，则称这一本征函数是n度简并的。,物理量的平均值(1),任意物理量的平均值(期待值),和我们以往学到的平均值的概念不同，这里的平均值不是对时间的平均，而是对大量处于同一状态下的体系们在同一时刻测量得到的统计结果。,物理量的平均值(2),某一物理量对应的算符为A,并且粒子处于A的本征函数u描述的状态下。若测量此物理量，则所测值为确定值，并且是A的这个本征态u所对应的本征值。,厄密算符,厄密算符的定义,厄密算符的平均值(1),在任何状态下，厄密算符的平均值都是实数。在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄密算符。,厄密算符的平均值

3、(2),在实验上可以观测的力学量所相应的算符必为厄密算符。,测量力学量F时，所有可能出现的值，都是相应的线性厄密算符 的本征值。,量子力学的基本假设,厄密算符的本征值和本征函数,厄密算符的本征值必为实数。厄密算符额属于不同本征值的本征函数，彼此正交。,对易算符,对易括号的定义,对易算符-当两个算符满足下式，则称这两个算符对易,差别,对易规则,对易规则,对易算符的共同本征函数,若两算符对易，如自由粒子的 和，则此两算符可以有共同的本征函数，且这两个算符所代表的力学量在它们的共同本征函数所描写的状态中，可同时有确定值,若两个算符不对易，如 和，则没有共同的本征函数，于是也不能同时有确定值。,力学量

4、用算符来表达(1),在实验上观测某力学量F，它的可能取值就是算符 的某一个本征值。,力学量之间的关系也通过相应的算符之间的关系反映出来。例如两个算符 与,在普遍的情况下，可以同时具有确定的观测值的必要条件为,力学量用算符来表达(2),坐标算符,坐标算符,坐标算符是厄密算符,坐标的平均值,坐标的平均值(期待值),动量算符(1),动量算符,动量算符是厄密算符,动量算符(2),动量的平均值(1),动量的平均值(一维定态情况),动量的平均值(2),动量的平均值 的一般表示,问题是：,动量的平均值(3),傅立叶变换：,动量的平均值(4),动量的平均值(5),角动量算符(1),角动量算符,角动量算符是厄密

5、算符,角动量算符(2),角动量算符 在球坐标中的表示,角动量算符(3),角动量算符 在球坐标中的表示,坐标和动量算符的对易关系,坐标算符，之间相互对易。,动量算符，之间相互对易。,量子力学的基本对易式(1),量子力学的基本对易式(2),角动量算符的对易关系(1),角动量算符的对易关系(2),角动量算符的对易关系(3),角动量算符的对易关系(4),角动量算符的对易关系(5),定义，,角动量算符的对易关系(6),本征方程,坐标算符的本征值和本征函数,本征值(C数),狄拉克函数,狄拉克函数,动量算符的本征值和本征函数,动量算符的本征函数不简并。,能量算符的本征值和本征函数,此能量算符二度简并,描述一

6、维自由粒子(质量为m)的能量算符,哈密顿算符,描述定态三维粒子(质量为m)的能量算符,哈密顿算符的本征值和本征函数,哈密顿算符 的本征方程,哈密顿算符和薛定谔方程,三维薛定谔方程,哈密顿算符,角动量 的共同本征函数(1),角动量 的共同本征函数(2),球谐函数(1),球谐函数(2),氢原子的波函数(1),中心势能,氢原子的波函数(2),n为主量子数 l为轨道量子数 m为磁量子数,力学量平均值随时间的变化(1),为表述方便，定义一个量子体系的两个任意波函数的标积：,力学量平均值,以时间t为变量,力学量平均值随时间的变化(2),力学量平均值随时间的变化(3),守恒量(1),凡满足 的不显含t的力学

7、量F，称为体系的一个守恒量。,在体系的任何态下，守恒量F的平均值不随时间改变。,在体系的任何态下，守恒量F的几率分布不随时间改变。,守恒量(2),若在初始时刻(t=0),守恒量F具有确定值，则以后任何时刻它都有确定值，即体系将保持在F的同一本征态。由于这个特点，我们称它的量子数为好的量子数。,设体系H不显含t,则H是守恒量，即能量守恒。,交换算符(1),交换算符(2),Pij为厄米算符,交换算符(3),Pij和哈密顿量H对易,全同粒子和全同性原理(1),全同粒子是具有相同质量,相同电荷,相同自旋等性质的微观粒子.,全同性原理:设由N个全同粒子组成的多粒子体系,体系的状态波函数为(1 i j N

8、,t),如果交换其中任意二个全同粒子,即变为(1 j i N,t),但并不引起任何测量结果的改变,即交换后和交换前都表示同一物理状态.,全同粒子和全同性原理(2),|(1 i j N,t)|2表示在时刻t,第1个粒子在位置1,第i个粒子在位置i,第j个粒子在位置j的几率密度。,|(1 j i N,t)|2表示在时刻t,第1个粒子在位置1,第i个粒子在位置j,第j个粒子在位置i的几率密度。,全同粒子和全同性原理(3),描述全同粒子组成的体系的状态的波函数必定是交换算符的本征态。,玻色子和费米子,二个全同粒子体系波函数(1),我们先考虑一个简单的由二个全同粒子组成的体系,在这个体系中粒子之间不存在

9、相互作用，因此这个体系的哈密顿量可表示为,粒子之间不存在相互作用,二个全同粒子体系波函数(2),我们用m,n来表示不同的能态是简化的方法，在具体问题中，一个能态由完备的多个量子数来表示。,二个全同粒子体系波函数(3),m(1)n(2),m(2)n(1)都为H(1 2)的本征函数,本征值都为Em+En,二个全同粒子体系波函数(4),m(1)n(2)表示粒子1处于能态m,同时粒子2处于能态n m(1)n(2)不满足全同性原理,不是交换算符的本征态，因此不是真正的物理态.,同样m(2)n(1)也不是真正的物理态.,二个全同粒子体系波函数(5),真正的物理态为交换算符P12的本征函数,二个全同粒子体系

10、波函数(6),一个粒子处在能态m,另一粒子处在能态n,二个全同粒子体系波函数(7),泡利原理,二个全同费米子组成的体系的波函数为反(1,2),宇称(1),宇称是描述空间反演运算的物理量,宇称算符I,宇称(2),I为厄米算符,宇称算符的本征值和本征态,空间反演不变性与宇称守恒(1),空间反演不变性与宇称守恒(2),与交换算符不一样，全同粒子系的波函数总是交换算符的本征态，具有确定的交换对称性，具有空间反射对称性的体系的状态，并不一定具有一定的宇称，这要根据初始性质来决定。任何态总可以分成两部分之和，一部分具有偶宇称，另一部分具有奇宇称。,中心力场波函数宇称(1),中心力场波函数,中心力场波函数宇称(2),