初识微分方程建模.ppt

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1、微分方程建模（动态模型）,背景及问题特点：,动态模型目的,描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,微分方程建模,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程，并分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立对象的动态模型,一、简单的一阶微分方程,1、简单的微分方程应用题,例1 一个星期天，某人驾车在正午时分离开A处，下午3点20分到达B处。如速度计所指示的那样，他从静止开始，均匀地加速，当他到达B处时，

2、速度为60mi/h，从A到B 有多远？,解：由速度计均匀加速可知，速度是时间的线性函数。又因为速度是距离关于时间的导数所以立即可得,两边积分得,再由题中条件可知,解得 b=0，c=0，a=18，A到B的距离s=100mi,这是个简单的例子，但由此可以了解到微分方程建模的思路,一、简单的一阶微分方程,例2 细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400，那么，前12h后总数是多少？,解：第一句话说的是任何瞬间都成立的事实；第二句话给出的是特定瞬间的信息。如果我们用y（t）表示总数，第一句话告诉我们,A，K这两个常数可以由第二句话提供的信息计算出来,它的通解为,解得,故

3、,接下来介绍建立微分方程的若干准则,二、若干准则,1、以上两个例子遵循如下模式,对于涉及一个依赖于时间t的量y的情况，建立一个给出dy/dt，y与t之间关系的方程，它在任何特定时刻t都成立，对这个方程积分，便得到一个只含y，t而不含dy/dt得新方程。这个新方程中含有积分常数，并且对任何特定的t仍然成立。问题中给出的仅在一些特定时刻成立的信息将用来计算这些积分常数以及任何其它参数。最后，我们得到一个函数y(t)，对任何其它的t值，可立刻算出y(t)。,2、若干准则,1）转化,在实际问题当中，有许多表示导数的常用词，如速率，增长，衰变，以及边际等。“改变”、“变化”“增加”、“减少”，这些词就是

4、信号，注意什么在变。,二、若干准则,想想你考虑的问题是否遵循什么原则或物理定律，是应用已知定律？还是推导问题的合适结果？这些问题的回答将直接引导你如何处理问题。不少问题遵循以下模式：,净变化率=输入率-输出率,2）微分方程,微分方程是一个在任何时刻都必须正确的瞬时表达式。如果看到了表示导数的关键词，你就寻找y，dy/dt，t之间的关系，可以先由文字公式入手：净变化率=输入率-输出率，再变为方程。,3）单位,一旦认定那些项应该列入方程，那就要注意这些项的单位一致。并且有些系数的单位不是自动生成的,4）给定的条件,这是关于系统在某一特定时刻的信息，由这些条件可以确定方程中有关参数。,三、举例,例3

5、 将室内一支读数为60的温度计放到室外，10min后温度计的读数为70，又过了10min，读数为76，利用牛顿冷却定律计算室外温度。,牛顿冷却定律:将温度为T的物体放入处于常温m的介质中T的变化速率正比与T与周围介质的温度差。,解:由牛顿冷却定律可知：dT/dt与T-m成比例,即,结合给定的三个条件,方程的解为：T=Aekt+m,计算出A,K,m,习题,2、结合例3，如果空气的温度是20且沸腾的水在20min内冷却到60，水温降到30要多少时间？,3、现有整整4000ml10的化学溶液，一位摄影师将一只盛有40ml90的水的塑料杯浮在溶液上，试将溶液的温度表示为时间的函数，并与例3比较,习题解

6、答,2、解,3、解 这不是周围介质保持常温的情况，因此需要对例3做修改 此时介质的体积是要考虑的，因为体积小者变凉或热比 体积大者变凉或热要快或明显。物理定律：具有有限体积和不同温度的物体相遇，热流守恒。即,本题中V1=1oz,V2=100oz,代入上式中解得,这是一个微分方程组,三、举例,例4 某人的食量是2500cal/天，其中1200cal用于基本新陈代谢在健身训练中，他所消耗的大约是16cal/kg/天乘以他的体重。假设以脂肪形式储存的热量100%有用，而1kg脂肪含10000cal的热量，求出这个人的体重是怎样随时间变化的。（大家先思考）,解：问题中没有“导数”这样十分关键的词出现，

7、但我们可以把注意力集中在最后的问题，它指出了体重(w)关于时间的函数。,问题涉及的时间是每天，首先列出文字公式,每天 重量的变化=输入-输出；,输入是指：除去新陈代谢的净重量吸收,输出是指：训练中的消耗WPE,三、举例,结合以上分析可得：每天 体重的变化=净吸收量-WPE,每天的净吸收量=2500cal-1200cal=1300cal,每天的净输出=16*w cal/天,每天体重的变化：dw/dt(kg/天),由于此时单位不一致，需要将单位化为一致。,这就用到了题中最后一句话，由此可得,Kg/天=净cal/天 除以10000cal/kg,将数据代入可得,dw/dt=(1300-16w)/100

8、00,假设初始时刻t=0，w=w0可得方程的解,三、举例,题目中提出的问题我们就回答了，现在我们再考虑一个可能附加的问题：“这个人体重会达到平衡吗？”,由我们建立的微分方程我们便可以回答这个问题：,当t趋于无穷大时，上式第二项趋于0，所以w趋于1300/16,例5 在一个巴基斯坦洞穴里，发现古人的人骨碎片，科学家将其带回做碳14年代测定，分析表明碳14和碳12的比例仅仅是活体组织内的6.24%，确定此人生活在多少年前？,（碳14年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性同位素碳14这种放射性碳由与宇宙射线在高层大气中撞击引起，经过一系列交换过程进入活组织中，直到在体内达到平衡，在活体中碳14和稳定

9、的碳12的数量成定比。死亡后交换停止，碳14以每年8千分之一的速度减少。）,三、举例,例5求解：我们问题实际上是：“这个人死了多久？”。设t为死后年数，y(t)=C14/C12,则上文最后一句话给出了我们的微分方程(单位：mgC14/mgC12/yr),dy/dt=y/8000,放射性衰变的这种性质还可以描述为“放射性物质在任意时刻的衰变速度都与该物质现存的数量成比例.C14的比例数为每年1/8000,积分后解只带一个常数，设t=0时，y=y0即活体中C14的比例,微分方程的通解为：,题中要我们求出：,时的t,将y代入上式解得t=22400yr,三、举例,习题 结合例5，计算C14的半衰期是多

10、少？（数量衰减到一半的时间）,解 由例5可知,三、举例,例6 一只装满水的圆柱型桶，底面半径为10ft，高为20ft底部有一个直径为1ft的孔，问桶流空要多少时间？,对孔的流速加一个假设：假设时刻t的流速依赖与此刻桶内水的高度h(t),显然装满水时要比快流空时要快，进一步的假设无能量损失，那么当少量水流出时，顶部减少的势能须等于等量的水流出小孔时的动能。即 mgh=1/2mv2，则可得：v=(2gh)1/2,这是物理中的托利拆里定律，模型这样假设看起来过于简单但至少速度依赖与高度看来是合理的，接下来进行数学上的分析,解：随着水从小孔流出，桶内水的体积不断的减少，设A为桶的水平面积，B为孔的水平

11、面积。,则在任意时间间隔dt内，-Adh=Bds,ds为孔dt时间内水流的距离,问题是t=？时h=0。所以要求出h(t)。此时可通过上面的方程求出,三、举例,将上面的方程改写为：dh=-(B/A)ds,A,B可以算出但ds?,根据前面物理上的分析，将ds改为：ds=(ds/dt)dt=vdt,从而 dh=-(B/A)vdt,计算出 A=pi(10)2,B=pi(1/2)2,v=(2(32)h)1/2=8h1/2,解得 2h1/2=-8(1/2)2t/100+k,由于t=0时，h=20，得k=2(20)1/2,故可以求出h=0时，t18h,习题8、一只底部开口面积为0.5cm2的圆锥型漏斗高为1

12、0cm，顶角为60，其内装满水，水流完要多少时间？,习题解答,8、解 同例6 水面的改变量=洞口的流量,四、习题,4、一滴球形雨滴，以与它表面积成比例的速度蒸发，求其体积 关于时间的函数,解：体积有r3决定，表面积有r2决定，V=k1r3，S=k2r2=kV2/3 由题意可得：dv/dt=-cv2/3,负号说明V减少 分离变量得到V=(-ct+Q)/3)3,t=0时，V=V0.Q=V01/3,5、一只100升的水箱，盛满了水和20g的盐，将淡水以2升/min 的速度抽入箱内，连续的搅拌混合液，并使箱内溶液保持在 100升，问1h后盐的浓度稀释了多少？,解：设盐的数量=S，S单位时间的减少量=抽

13、入-排出。ds/dt=(0g/L)(2L/min)-(S/100)g/min)(2L/min)=-S/50 解得 S=ke(-1/50)t，t=0时，S=20,解得k=20。,四、习题,6、一只水桶，内盛有10L溶解了5g盐的盐水，将每升含2g盐 的盐水以3L/min的速度灌入桶中，并搅拌均匀以同样的速度 流出 a)8min后流出桶的盐水中盐的浓度是多少?b)足够长时间后，桶内盐有多少？,解：记S=盐的数量 则ds/dt=流入-流出=(2g/L)(3L/min)-(s/10)g/L)(3L/min)=6-(3s/10)解得S=20(1-ce(-3t/10)，由初始条件S(0)=5,得c=3/4

14、,四、习题,7、污染物质的含量为2g/L的水以500L/min的速度流过处理 箱。在箱内每分钟处理掉2%的污染物，且水被彻底摇匀。处理箱可容纳10000L的水，在处理场开张时，箱内装满 纯净水，求流出的水中污染物浓度的函数？,解 设p(t)=箱内污染物的数量 dp/dt=流入-流出=(2g/L)(500L/min)-(p(t)g/10000L)(500L/min)-0.02p(t)g/min 解得dp/dt=1000-0.07p及p=(10000/7)(1-ce-0.07t)由t=0时，p=0，得c=1,习题解答,9、试建立在做了葡萄糖输液后，人体内葡萄糖浓度的模型。当葡萄糖输入时，自由葡萄糖

15、的浓度势必下降（由于与 磷化为结合所致）浓度下降的速度与葡萄糖的数量成正比。用G表示葡萄糖的浓度，A表示输入速度(mg/min),B表示体内 液体的体积。寻求体内的葡萄糖浓度是否以及怎样达到平衡？,解：G(t)为葡萄糖浓度，A为葡萄糖注入速度：单位 mg/min 速度=输入-输出 dG/dt=(A/V)-KG平衡状态下G(t)不做大的变化，即dG/dt=0，此时G=A/KV。当GA/KV时,dG/dt0.此时可求出二阶导数，并画出G(t)得图像。,G(t)的解析解为：,习题解答,10、上题中有不足之处，它假设体内液体的体积为常数，然而，由于体内含大约4600ml的血液，输入500ml的葡萄糖后，体积的变化是不容忽视的，如何修改上述模型？,解 合理的可变体积模型：V不再是常量，记S为每分钟 注入的溶液的体积：V=V0+St 在S与A之间存在一种关系：在注入的溶液中葡萄糖的 浓度为常数即：A/S=常数C,此时没有平衡状态,此时方程变为,