代数系统一般性质.ppt

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1、第3篇 代数系统,在普通代数里，计算的对象是数（自然数、实数、多项式、矩阵、命题、集合乃至图），计算的方法是运算（加、减、乘、除、与、或、非、并、交、差、补），然后讨论这些对象及其运算的相关性质。它们中不无雷同之处。如：数与多项式对于代数运算有相当一致的特性；命题对于与、或、非运算和集合对于交、并、补运算甚至可以做统一的描述。这就使人们自然地想到可以做进一步抽象的研究：不管对象集合的具体特性，也不管对象集合上运算的具体意义，主要讨论数学结构的一般特性，并按运算所遵循的一般定律（如结合律、交换律、分配律等）和特性，对这些数学结构进行分类研究。在19世纪，一些数学家对这些事物及其运算的共同内容进行

2、概括和综合研究，发现它们有着统一的形式：它们都是由集合和其上的运算所组成的系统。称这样的系统为代数系统。代数系统是一种数学结构，它由集合、关系、运算、公理、定理、定义和算法组成。它采用抽象的手法，研究将要处理的数学对象集合上的关系或运算。事物中的关系就是事物的结构，所以，代数系统又称为代数结构。,代数的概念和方法是研究计算机科学和工程的重要数学工具。众所周知，在各种数学问题及许多实际问题的研究中都离不开数学模型，要构造一个现象或过程的数学模型，就需要某种数学结构，而代数结构就是最常用的数学结构之一。如描述机器可计算的函数、研究算数计算的复杂性、刻划抽象数据结构、程序设计语言的语义学基础、逻辑电

3、路设计和编码理论等，都需要代数知识。因此有必要掌握它的重要概念和基本方法。在现实生活中抽象出来的代数系统是满足某些固有性质的代数系统，对于具有某些性质的代数系统，没有必要分散地、个别地进行讨论，完全可以对具有相同性质的代数系统进行集中研究。利用这种方法来研究代数系统可以形成很多特定的代数系统，它们构成了代数系统的各个分支，如半群、群、环、域、格、布尔代数等。在本篇中，首先将介绍代数系统的基本概念、代数系统的基本运算和性质及其同态和同构。在此基础上对典型的代数系统进行讨论，如半群、群、环、域、格、布尔代数等。,第六章 代数系统一般性质,在前面的章节中已经给出了集合和函数的概念，使用这些概念可以定

4、义集合上的运算。一般来说，集合和它上面的运算都遵从某些规律算律，这就构成了代数系统。本章主要介绍代数系统中的一些基本概念，如子代数、同态、同余、商代数与积代数等，以便对各种代数系统的共性有所了解。,第六章 代数系统一般性质,6.1 二元运算及其性质6.2 代数系统的定义6.3 代数系统的同态与同构6.4 同余关系与商代数,6.1 二元运算及其性质,6.1.1 二元运算 6.1.2 二元运算律6.1.3 二元运算特殊元二元运算实例,6.1.1 二元运算,二元运算是最常见的代数运算。定义 设S为集合，函数 f：SSS称为S上的一个二元运算，简称为二元运算。例如，f：NNN，f()=x+y 就是自然

5、数集合上的一个二元运算，即普通的加法运算。但是普通的减法不是自然数集合上的二元运算，因为两个自然数相减可能得负数，而负数不属于N。这时也称集合N对减法运算不封闭。验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点：（1）S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算结果是唯一的；（2）S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算是封闭的。,类似于二元运算，对于任意的正整数 n 可以定义集合S上的 n 元运算。定义6.1.2 设 S为集合，n为正整数，则函数 称为S上的一个 n 元运算，简称为 n 元运算。例如，求一个数的相反数是实数集 R 上的一元运算，求一个数的倒数是 上的一元运算。在空间直角

6、坐标系中求某一点(x,y,z)的坐标在 x 轴上的投影可以看作是实数集R上的三元运算，因为参加运算的是有序的三个实数，而结果也是实数。,对于有穷集 S 上的一元和二元运算，除了可以使用函数 f 的表达式给出以外，还可以用运算表给出。表和表所列是一元运算表和二元运算表的一般形式，其中 是 S 中的元素，为算符。表6.1.1 一元运算表一般形式 表6.1.2 二元运算表一般形式,6.1二元运算及其性质,6.1.1 二元运算 6.1.2 二元运算律6.1.3 二元运算特殊元二元运算实例,定义 设 为 S 上的二元运算，如果对任意的 x,y S，都有x y=y x则称 运算在 S 上是可交换的，或者说

7、 在 S 上满足交换律。例如，实数集合上的加法和乘法都是可交换的，但减法不是可交换的。幂集上的、都是可交换的，但相对补不是可交换的。n 阶（n2）实矩阵集合 上的矩阵加法是可交换的，但矩阵乘法不是可交换的。上函数的复合运算不是可交换的，因为一般地 f g g f 定义 设 为 S 上的二元运算，如果对任意的x,y,zS都有(x y)z=x(y z)则称运算 在 S 上是可结合的，或者说 在 S 上满足结合律。普通的加法和乘法在N、Z、Q、R上都是可结合的。矩阵的加法和乘法也是可结合的，集合的、运算也是可结合，还有函数的复合运算也是可结合的。,定义 设 为 S 上的二元运算，如果对于xS有x x

8、=x则称 x 为运算 的幂等元。若 S 中的任意元素都是运算 的幂等元，则称 S 对运算 满足幂等律。例如，幂集 上的和运算适合幂等律，但对称差运算不适合幂等律（除非）。因为对任意集合A，如果A，则，只有空集满足，可以说运算 不适合幂等律，但是运算 的幂等元。定义 设 和*为 S 上的两个二元运算，如果对任意的 x,y,zS都有则称运算*对 是可分配的，也可以说*对 满足分配律。例如，在实数集上普通乘法对加法是可分配的，在 n 阶实矩阵集合 上矩阵乘法对矩阵加法是可分配的。而在幂集 上 和运算是互相可分配的。在讲到分配律时应指明哪个运算对哪个运算可分配，因为往往一个运算对另一个运算可分配，但反

9、之不对。例如，普通乘法对加法可分配，但普通加法对乘法不是可分配的。,使用归纳法不难证明，若*对 运算分配律成立，则*对 运算广义分配律也成立，即 有成立。定义 设 和*为 S 上的两个二元运算，如果对任意的 x,yS都有则称运算*和 满足吸收律。例如，在幂集 上和是满足吸收律的，即 有,6.1二元运算及其性质,6.1.1 二元运算 6.1.2 二元运算律6.1.3 二元运算特殊元二元运算实例,定义 设 为 S 上的二元运算，如果存在（或）S 使得对任何 xS 都有（或）则称（或）是 S上关于 运算的一个左幺元（或右幺元）。若eS关于 既是左幺元又是右幺元，则称 e 为 S 上关于 运算的幺元。

10、在自然数集 N 上加法的幺元是0，乘法的幺元是1。在 上，全 0 的 n 阶矩阵是关于矩阵加法的幺元，而 n 阶单位矩阵是关于矩阵乘法的幺元。在幂集 上运算的幺元是，运算的幺元是 S。对于给定的集合和运算有的存在幺元，有的不存在幺元。例如，是非零实数集，是 上的二元运算，任取，有a b=a那么不存在 使得对所有的，都有所以运算 没有左幺元。但对任意的，对所有的，都有b a=b所以任意 的元素 a 都是运算 的右幺元。中有无数多个右幺元，但是没有幺元。,定理 设 为 S 上的二元运算，、分别是运算 的左幺元和右幺元，则有且 e 为 S 上关于 运算的唯一的幺元。证明：（为右幺元）（为左幺元）所以

11、。把 记作 e。假设 S 中存在幺元 e，则有e=e e=e所以 e 是 S 上关于 运算的唯一的幺元。,定义6.1.9 设 为S上的二元运算，如果存在（或）S使得对任何xS，都有(或）则称（或）是S上关于 运算的一个左零元（或右零元）。若 S关于 既是左零元又是右零元，则称 为S上关于运算 的零元。例如，自然数集合上普通乘法的零元是0，而加法没有零元。上矩阵乘法的零元是全0的 n 阶矩阵，而矩阵加法没有零元。在幂集 上运算的零元是S，运算的零元是。在 上定义二元运算，使得对任意 满足a b=a那么 的任何元素都是关于 运算的左零元，中没有右零元，也没有零元。,定理 设 为 S 上的二元运算，

12、、分别是运算 的左零元和右零元，则有且 为 S 上关于 运算的唯一零元。关于零元和幺元还有以下的定理。定理 设 为 S 上的二元运算，e 和 分别是 运算的幺元和零元，如果 S 至少有两个元素，则 e。证明：用反证法。假设e=，则，有 这与 S 中至少含有两个元素矛盾。,定义6.1.10 设 为 S 上的二元运算，eS为运算 的幺元，对于xS，如果存在（或）使得（或）则称（或）是 x 的左逆元（或右逆元）。若 yS既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元，则称 y 为 x 的逆元。例如，自然数集 N 关于加法运算只有 0N 有逆元0，其他的自然数都没有加法逆元。在整数集 Z 中，加法幺元为0，对任

13、何整数 x，它的加法逆元都存在，即它的相反数-x。因为x+(-x)=0,(-x)+x=0 在 n 阶（n 2）实矩阵集合 上，对于矩阵乘法只有可逆矩阵 存在逆元，使得 和 成立，其中 E为n 阶单位矩阵。而在幂集 上运算的幺元是，所以只有有逆元，就是它自己，其他的元素都没有逆元。类似地，对于运算，S为幺元，也只有 S 有逆元，即 S 自己，其他元素都没有逆元。,定理 设 为 S 上可结合的二元运算，是该运算的幺元，对于，如果存在左逆元 和右逆元，则有 且 y 是 x 的唯一的逆元。证明：由 和，得令，y 是 x 的逆元。假若 也是 x 的逆元，则所以 y 是 x 的唯一的逆元。由定理可知，对于

14、可结合的二元运算来说，可逆的元素 x 只有唯一的逆元，通常把它记作。,定义6.1.11 设 为S上的二元运算，如果对于任意的 x,y,zS满足以下条件：（1）若 x y=x z且 x，则 y=z，此时称 S 对 满足左消去律。（2）若 y x=z x且 x，则 y=z，此时称 S 对 满足右消去律。若 S 对 既满足左消去律又满足右消去律，则称 S 对 满足消去律。例如，在整数集合上加法是满足消去律的。因为对任意的整数x,y,z由 x+y=x+z 或 y+x=z+x可得y=z 消去了 x。类似地，对乘法也有消去律。但在幂集 上，取，由AB=AC不一定能得到B=C，所以运算不满足消去律。但是对称

15、差运算 满足消去律。在使用消去律时要注意，消去的元素不能是该运算的零元。例如普通乘法满足消去律，但是不能由 得到 5=6，因为0是乘法的零元。,6.1二元运算及其性质,6.1.1 二元运算 6.1.2 二元运算律6.1.3 二元运算特殊元二元运算实例,第六章 代数系统一般性质,6.1 二元运算及其性质6.2 代数系统的定义6.3 代数系统的同态与同构6.4 同余关系与商代数,定义6.2.1 非空集合S和S上k个运算 f1,f2,fk（其中fi为n i元运算，i=1,2,k）组成的系统称为一个代数系统，简称代数，记作。称S为该代数系统的定义域。若S为有穷集，则称为有限代数系统，并称|S|为该代数

16、系统的阶。例如，都是代数系统，其中+为普通加法，为普通乘法。是代数系统，其中+和 分别表示矩阵加法和矩阵乘法。也是代数系统，它包含两个二元运算和一个一元运算。,在某些代数系统中，对于给定的二元运算存在幺元或零元，并且它们对该系统的性质起着重要作用，称之为该系统的特异元素或代数常数。为了强调这些特异元素的存在，有时把它们列到有关的代数系统的表达式中。例如，的幺元是0，也可以记为。中和的幺元分别为、S，同样可以记为。具体采用那一种记法要看所研究的问题是否与这些代数常数有关。,定义 设V=是代数系统，BS，且B。如果 B对f1,f2,fk都是封闭的，则称是V 的子代数系统，简称子代数。特别地，当B是

17、S 的真子集，则称是V 的真子代数系统，简称真子代数。例如，是 的真子代数，因为N 对加法封闭。且N是Z的真子集。对任何代数系统V=，其子代数一定存在。最大的子代数就是 V 本身。如果令V 中所有的代数常数构成的集合是B，且B对V 中所有的运算都是封闭的，那么B 就构成了V 的最小的子代数。这种最大与最小的子代数称为V 的平凡子代数。,定义6.2.3 设V1=，V2=是代数系统，和*为二元运算。V1和V2的积代数V1V2是含有一个二元运算的代数系统，即V1V2=，其中S=S1S2，且对任意的,S1S2有=例如，设V1=，V2=，其中+和 分别表示整数加法和矩阵乘法。那么V1V2是V1V2=对任

18、意的，ZM3(R)，都有=例如,类似地，可以定义3个代数系统的积代数。例如，那么有：并且对任意的 有 不难证明，如果 和 中的二元运算都是可交换的（可结合的或幂等的），则积代数中相应的二元运算也是可交换的（可结合的或幂等的）。如果、分别为 和 的幺元，那么 就是积代数 的幺元。如果 在 中的逆元为，在 中的逆元为，那么在积代数 中，就是 的逆元。,第六章 代数系统一般性质,6.1 二元运算及其性质6.2 代数系统的定义6.3 代数系统的同态与同构6.4 同余关系与商代数,6.3代数系统的同态与同构,同态是近世代数中最基本的，也是最重要的概念之一。代数系统的同态与同构就是在两个代数系统之间存在着

19、一种特殊的映射。它是研究两个代数系统之间关系的强有力的工具。借助同态，可以把两个似乎完全不同的代数系统加以比较，并进而找出它们本质上的一致性。,6.3代数系统的同态与同构,6.3.1 同态与同构 6.3.2 同态与同构实例 6.3.3 同态与同构的性质,定义6.3.1 设，是代数系统，和 为二元运算。如果存在映射 满足对任意的 有则称 是 到 的同态映射，简称同态。例如，其中+为普通加法，为模 加法。即 有这里。令 则 是 到 的同态。因为对任意 有 又比如令，那么 是 到 的同态，因为对任意的，下式成立：,定义6.3.2 设是 到 的同态，则称 是 在 下的同态像。定义6.3.3 设是 到

20、的同态，（1）如果是满射的，则称是 到 的满同态，记作。（2）如果是单射的，则称是 到 的单同态。（3）如果是双射的，则称是 到 的同构映射，记作，并称 和 是同构的。（4）如果，则称是 到 的自同态。（5）如果，且 是双射的，则称是 到 的自同构。,6.3代数系统的同态与同构,6.3.1 同态与同构 6.3.2 同态与同构实例 6.3.3 同态与同构的性质,定义的同态概念可以推广到一般的代数系统中。先考虑具有两个二元运算的代数系统。设，是代数系统，其中 都是二元运算。如果 满足以下条件：有（1）（2）则 是 到 的同态映射，简称同态。例如，其中 为普通的加法和乘法，为模 加法和模 乘法，即对

21、 有 令，那么易证所以 是 到 的同态，且是满同态。,类似地，还可以把同态的概念推广到两个具有 k 个运算的代数系统中。下面考虑除了二元运算以外还具有一元运算的代数系统。设，是代数系统，其中、是二元运算，和 是一元运算。如果映射 满足以下条件（1），有。（2），有。则 是 到 的同态。例如，其中+，是普通加法和乘法，表示求 的相反数，表示求 的倒数。令，那么有所以 是 到 的同态。,最后考虑具有代数常数的代数系统之间的同态。设，是代数系统，其中、是二元运算，是代数常数。如果映射 满足以下条件（1），有。（2）。则 是 到 的同态。例如，其中+是普通加法，为模加法，令，又由，则所以 是 到 的同

22、态。,6.3代数系统的同态与同构,6.3.1 同态与同构 6.3.2 同态与同构实例 6.3.3 同态与同构的性质,定理 设 是从 到 的同态，是从 到 的同态，则是从 到 的同态。定理6.3.2 设 是从 到 的同构，则 是从 到 的同构。定理6.3.3 设 和 同态，且 为满同态映射，则（1）如果 满足结合律，则 也满足结合律。（2）如果 满足交换律，则 也满足交换律。（3）如果 满足幂等律，则 也满足幂等律。（4）若 是 中关于运算 的幺元，那么 是关于运算 的幺元。（5）若 是 中关于运算 的零元，那么 是关于运算 的零元。（6）如果，是关于 运算可逆的，即有逆元，则是 关于运算 的逆

23、元。,定理6.3.4 设，是具有两个二元运算的代数系统，其中 都是二元运算，是 到 的同态，则（1）若（或）是可交换的（可结合的或幂等的），则（或）在 中也是可交换的（可结合的或幂等的）。（2）若 对 是可分配的，则 对 在 中也是可分配的。（3）若 和 是可吸收的，则 和 在 中也是可吸收的。（4）若 是 中关于 运算的幺元，是 中关于 运算的零元，那么 和 分别为 中关于 运算的幺元和零元。对于，如果 是 的关于 运算的逆元，则 是 关于 运算的逆元。,第六章 代数系统一般性质,6.1 二元运算及其性质6.2 代数系统的定义6.3 代数系统的同态与同构6.4 同余关系与商代数,6.4同余关

24、系与商代数,6.4.1 同余关系 6.4.2 商代数,定义 设 是一代数系统，且 为 上的一个等价关系，如果对任意的，当 且，必有 则称 为代数系统 上的同余关系。即 为 上的同余关系 E是S上的等价关系，E在S上形成了一些等价类，这些等价类构成了集合S的一个划分，每个等价类又称为该划分的一个块，两个元素进行运算其运算结果必在某一块中。如果E为 的同余关系，则对元素进行运算时，一个元素用同一块中的元素替代仍能使运算结果保持在原来的块中，即同余关系具有“可代换性质”。同余关系E 的等价类又称为同余类。,定理 设 为 到 的同态映射，对应于 定义关系 如下：则 为 的同余关系。证明：容易证明 是等价关系。对任意，设，故得，。又因为 为 到 的同态映射，则有于是，即 为 的同余关系。是由同态映射 诱导出的同余关系，由上面定义可知故 也称为同像关系。,6.4同余关系与商代数,6.4.1 同余关系6.4.2 商代数,定义6.4.2 设 是一代数系统，且 为同上的同余关系，是由 诱导出的商集，在 上定义运算 如下：其中，于是 构成的代数系统称为 代数系统的商代数。定理 设 为代数系统 的商代数，则有 是从 到 的同态映射。证明：设对任意的，有，于是对任意 有此时称 为从 到 的正则映射，并称 为从 到的自然同态。,