《矢量分析》课件.ppt

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1、薛正远（理6-505）课程公邮：密码：physics2011华南师范大学,电磁场与电磁波,一、电磁现象的经验认识时代（18世纪之前）1.古希腊“七贤之一”的哲学家泰利斯（Thales）曾叙述过织衣者所观察到的现象，那就是用毛织物摩擦过的琥珀能够吸引某些轻的物体。2.大约在春秋末期（约公元前四、五世纪）成书的管子地数篇，战国时期的鬼谷子，战国末期的吕氏春秋等，都留记述了天然磁石及其吸铁现象，并且出现世界上最古老的指南针“司南”。3.1638年，我国建筑学书籍中对避雷的记载：屋顶的四角都被雕饰成龙头的形状，仰头、张口，在它们的舌头上有一根金属芯子，其末端伸到地下，如有雷电击中房顶，会顺着龙舌引入地

2、下，不会对房屋造成危险。,绪论,1.1745年，荷兰莱顿大学马森布罗克制成了莱顿瓶，可以将电荷储存起来，供电学实验使用，为电学研究打下了基础。2.1752年7月，美国著名的科学家、文学家、政治家富兰克林的风筝试验，证实了闪电式放电现象，从此拉开了人们研究电学的序幕。3.1753年，俄国著名的电学家利赫曼在验证富兰克林的实验时，被雷电击中，为科学探索献出了宝贵的生命。4.17711773，英国科学家卡文迪什进行了大量静电试验，证明在静电情况下，导体上的电荷只分布在导体表面上。,二、电磁学现代科学体系的建立（文艺复兴之后，18世纪中-19世纪中）,5.1785年，法国科学家库仑在实验规律的基础上，

3、提出了第一个电学定律：库仑定律。使电学研究走上了理论研究的道路。6.1820年，由丹麦的科学家奥斯特在课堂上的一次试验中，发现了电的磁效应，从此将电和磁联系在一起。7.1822年，法国科学家安培提出了安培环路定律，将奥斯特的发现上升为理论。8.1825年，德国科学家欧姆得出了第一个电路定律：欧姆定律。9.1831年，英国实验物理学家法拉第发现了电磁感应定律 并设计了世界上第一台感应发电机。,10.1840年，英国科学家焦耳提出了焦耳定律，揭示了电磁现象的能量特性。11.1848年，德国科学家基尔霍夫提出了基尔霍夫电路理论，使电路理论趋于完善。12.奥斯特的电生磁和法拉第的磁生电奠定了电磁学的基

4、础。,电磁学理论的完成者英国的物理学家麦克斯韦（1831-1879）。麦克斯韦方程组用最完美的数学形式表达了宏观电磁学的全部内容，从理论上预言了电磁波的存在。,1866年，德国的西门子发明了使用电磁铁的发电机，为电力工业开辟了道路。1876年，美国贝尔发明了电话，实现了电声通信。1879年，美国发明家爱迪生发明了电灯，使电进入了人们的日常生活。1887年，德国的物理学家赫兹首次用人工的方法产生了电磁波。随后，俄国的波波夫和意大利的马可尼，利用电磁波通信获得成功，开创了人类无线通信的新时代。,三、电磁学应用突飞猛进（19世纪中至今）,四、课程内容,第一章：电磁学的数学基础 矢量运算第二章：电磁学

5、的理论基础 麦克斯韦方程组第三、四、五章：麦克斯韦方程组的应用(边界条件，静态场)第六章：（平面）电磁波的传输特性第七章：电磁波在波导中的传播（光纤通信）第八章：电磁波的产生（电磁波的辐射）,五、场的基本概念,1.什么是场？a.从数学角度：场是给定区域内各点数值的集合，这些数值规定了该区域内一个特定量的特性。比如：T 是温度场中的物理量，T 就是温度场 b.从物理角度：场是遍及一个被界定的或无限扩展的空间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有能量的。重力场、电磁场、,2.场的分类 a.按物理量的性质分：标量场：描述场的物理量是标量。矢量场：描述场的物理量是矢量。b.按场量与时间的关系

6、分：静态场：场量不随时间发生变化的场。动态场：场量随时间的变化而变化的场。动态场也称为时变场。,第1章 矢量分析,一、矢量和标量的定义,二、矢量的运算法则,三、矢量微分元：线元，面元，体元,四、标量场的梯度,六、矢量场的旋度,五、矢量场的散度,七、重要的场论公式,一、矢量和标量的定义,1.标量：只有大小，没有方向的物理量。,矢量表示为：,所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。,其中：为矢量的模，表示该矢量的大小。为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。,2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。,如:力、速度、电场 等,如：温度 T、长度 L 等,例1：在直角坐标系中，x 方向的大小

7、为 6 的矢量如何表示？,图示法：,力的图示法：,二、矢量的运算法则,1.加法:矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。,a.满足交换律：,b.满足结合律：,三个方向的单位矢量用 表示。,根据矢量加法运算：,所以：,在直角坐标系下的矢量表示:,其中：,矢量：,模的计算：,单位矢量：,方向角与方向余弦：,在直角坐标系中三个矢量加法运算：,2.减法：换成加法运算,逆矢量：和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。,在直角坐标系中两矢量的减法运算：,3.乘法：,（1）标量与矢量的乘积：,（2）矢量与矢量乘积分两种定义,a.标量积（点积）：,在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即,有两矢量点积：

8、,结论:两矢量点积等于对应分量的乘积之和。,推论1：满足交换律,推论2：满足分配律,推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。,推论1：不服从交换律：,推论2：服从分配律：,推论3：不服从结合律：,推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。,b.矢量积（叉积）：,含义：两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。,在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：,两矢量的叉积又可表示为：,（3）三重积：,三个矢量相乘有以下几种形式：,矢量，标量与矢量相乘。,标量，标量三重积。,矢量，矢量三重积。,a.标量三重积,

9、法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。,定义：,含义：标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积。,注意：先后轮换次序。,推论：三个非零矢量共面的条件。,在直角坐标系中：,b.矢量三重积：,例2：,解：,则：,设,例3：已知,求：确定垂直于、所在平面的单位矢量。,其中：k 为任意实数。,C,A,B,解：在通过A点和B点的直线方程上，任取一点C，对于原点的位置 矢量为，则,三、矢量微分元：线元、面元、体元,例：,其中：和 称为微分元。,1.直角坐标系在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。,线元：,面元：,体元：,2.圆柱坐标系,在圆柱坐标系中，坐标变量为，如图，做一微

10、分体元。,线元：,面元：,体元：,3.球坐标系,在球坐标系中，坐标变量为，如图，做一微分体元。,线元：,面元：,体元：,a.在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为1，即：,b.在柱坐标系中，坐标变量为,其中 为角度，其对应的线元，可见拉梅系数为：,在球坐标系中，坐标变量为，其中 均为 角度，其拉梅系数为：,注意：,在正交曲线坐标系中，其坐标变量 不一定都是长度，其线元必然有一个修正系数，这个修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数，就可正确写出其线元、面元和体元。,体元：,线元：,面元：,正交曲线坐标系：,四、标量场的梯度,1.标量场的等值面,可以看出：标量场的函数是单值函数，各

11、等值面是互不 相交的。,以温度场为例：,热源,等温面,b.梯度,定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数，其方向为该点所在等值面的法线方向。,数学表达式：,2.标量场的梯度,a.方向导数：,空间变化率，称为方向导数。,为最大的方向导数。,标量场的场函数为,计算：,在直角坐标系中：,所以：,梯度也可表示：,在柱坐标系中：,在球坐标系中：,在任意正交曲线坐标系中：,在不同的坐标系中，梯度的计算公式：,在直角坐标系中：,五、矢量场的散度,1.矢线（场线）：,在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢线。,2.通量：,定义：如果在该矢量场中取一曲面S，通过

12、该曲面的矢线量称为通量。,表达式：,若曲面为闭合曲面：,讨论：,a.如果闭合曲面上的总通量,说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。,b.如果闭合曲面上的总通量,说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。,c.如果闭合曲面上的总通量,说明穿入的通量等于穿出的通量。,3.散度：,散度：,a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。,b.表达式：,在直角坐标系中选择一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。,c.散度的计算：,矢量场 表示为：,通量计算式为,因为：,则：,在 x 方向上的总通量：,在 z 方向上,穿过

13、 和 面的总通量：,整个封闭曲面的总通量：,同理：在 y方向上,穿过 和 面的总通量：,该闭合曲面所包围的体积：,通常散度表示为：,4.散度定理：,物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。,柱坐标系中：,球坐标系中：,直角坐标系中：,常用坐标系中，散度的计算公式,六、矢量场的旋度,六、矢量场的旋度,1.环量：,在矢量场中，任意取一闭合曲线，将矢量沿该曲线积分称之为环量。,可见：环量的大小与环面的方向有关。,2.旋度:,定义：一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环 的法线方向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。,表达式：,旋度计算：,以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：,场矢量：,其中：为x 方向的环量密度。,旋度可用符号表示：,其中：,可得：,同理：,所以：,旋度公式：,为了便于记忆，将旋度的计算公式写成下列形式:,3.斯托克斯定理：,物理含义：一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。,七、重要的场论公式,1.两个零恒等式,任何标量场梯度的旋度恒为零。,任何矢量场的旋度的散度恒为零。,在圆柱坐标系中：,在球坐标系中：,2.拉普拉斯算子,在直角坐标系中：,作业：1-1,；1-4；1-12；1-15；1-18下一次课交,