概率的运算法则.ppt

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1、一、概率的加法公式,二、条件概率与乘法公式,三、全概率公式与贝叶斯公式,四、小结,第三节概率的运算法则,一、概率的加法公式,定理1,推论1 对任一事件A，有,推论2 若A，B为任意两事件,则P(A-B)=P(A)-P(AB),定理2 若A，B为任意两事件，则,推广 三个事件和的情况,n 个事件和的情况,解 分别用A2与A3表示抽到两个与三个白球，,则A2与A3互斥.,由加法法则，所求概率为,例1 袋中有大小相同的7个球，4个是白球，3个为黑球,从中一次任取3个，求至少有两个是白球的概率.,例2 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中任取3个，求其中有废品的概率.,解 用Ai表示取到i个废品

2、,则 A1，A2，A3互斥,故,另解,考虑到,故,注,该题的两种解法较为典型：,前者是直接对待求事件进行互斥分解，但计算较繁琐；后者是从待求事件的对立事件出发，利用了对立事件概率之和为1的性质，简化了计算.,例3 你的班级中是否有人有相同的生日？这一事件的概率有多大？,解 设A表示n个人组成的班级中有人生日相同.,则基本事件总数为365n,，但A的基本事件数不易确定.,可见,而 的基本事件数为,故 P(A)=1-P(),，当 n=30 时，可求出,当 n=50 时，可求出,并设人的生日在一年365天的每一天是等可能的，,二、条件概率与乘法公式,1.条件概率,(1)取到废品的概率；,(2)已知取

3、到的是不合格品，它是废品的概率.,解(1)设A表示“取到废品”，则,(2)基本事件总数为5，,引例 有100件产品，其中有5件是不合格品，包括3件次品与2件废品，任取一件，求,而相应地，P(A)称为无条件概率.,定义 在事件B已发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件A在给定B下的条件概率，简称为A对B的条件概率，记作P(A|B)，,注 1.计算P(A|B)时，B的发生导致了新的样本空间.,一般设P(B)0.,2.可以验证，由此定义出的条件概率仍然满足概率的3条公理，即条件概率也是概率.,例4 全年级100名学生中，有男生(事件A)80人，女生20人；来自北京的(事件B)有20人，其中男生12

4、人，女生8人；试写出,解,注 可看出,2.乘法公式,定理3 若 P(A)0，则有,若 P(B)0，则有,即有,例5 袋中有5个球，其中3个红球2个白球，现从袋中不放回地连取两个，已知第一次取得红球，求第二次取得白球的概率.,解 设A表示第一取得红球，B表示第二次取得白球,则求P(B|A),方法一 按定义,因为第一次取走了一个红球,袋中只剩下4个球,其中有两个白球,再从中任取一个,取得白球的概率为2/4,所以,方法二 按乘法法则,由乘法法则,注 条件概率的计算方法：,(1)若问题比较简单，可根据实际意义，直接由定义求P(B|A)；,(2)当问题比较复杂时，可在原样本空间中先求出P(AB)和P(A

5、)，再由乘法公式求出P(B|A).,例6 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4，如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少?,设 A 表示“能活 20 岁以上”的事件，B 表示“能活 25 岁以上”的事件,则有,解,解 设 表示事件“第i次取到黑球”，,例7（传染病模型）已知一罐中盛有m个白球，n个黑球。现从中任取一只，记下颜色后放回，并同时加入与被取球同色球a个，试求接连取球3次，3次均为黑球的概率.,则所求即为.,可以验证有：,此模型常被用作描述传染病的数学模型.,1.全概公式,三、全概公式与贝叶斯公式,引例 一个仓库中堆放着甲、

6、乙两个车间的相同产品，各占70%和30%，已知甲车间的次品率为1%，乙车间的次品率为1.2%，现从该仓库任取一件产品，求取到次品的概率.,分析 次品的来源为甲、乙两个车间的产品,用事件来体现这个分类是关键.,解 设B1=取到甲车间产品，B2=取到乙车间产品 A=取到次品,可先将A分解成互斥的两部分:AAB1AB2,其中，AB1为甲车间次品、AB2为乙车间次品.,由互斥事件加法公式可得,P(A)=P(AB1AB2)=P(AB1)+P(AB2),再由概率乘法公式可得,P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2),=0.70.01+0.30.012=0.0106,注 1.求解的关键在

7、于将需要讨论的事件A分解成互斥的甲车间次品(AB1)和乙车间次品(AB2)两部分，而这个分解是通过将所有产品()分为互斥的两部分B1和B2 来实现的.,2.推广到更为一般的情形是:,将样本空间 按某种已知方式划分为有限个两两互斥的部分 B1，B2，Bn，A是 中的任意的事件，作为 的一部分，A也相应被划分为两两互斥的有限个部分 AB1，AB2，ABn.,图示,如果能计算出A的各个子事件AB1，AB2，ABn的概率P(AB1)，P(AB2)，P(ABn)，而作为它们的和事件A的概率,P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(ABn),将上述思想具体地用公式表达出来，就可以得到非常重要的概率计算公

8、式全概率公式.,注 全概公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.,例8 世界杯足球小组赛中，现某组有3队积分相同，用抽签的方法决定进入下一轮的两队，试问此方法公平吗?(即结果是否与抽签的顺序有关?),解设分别表示第一、二、三个抽签的球队 进入下一轮，则,注 计算结果表明，抽签的顺序对每一个队能否进入下一轮没有影响，即用抽签的方法是公平的。,2.贝叶斯公式,在引例中考虑这样一个问题，假设已经发现取到了一个次品（A），需要判断这个次品是来自哪个车间(B1，B2)？依常识，合理的方案是比较该次品来自各车间的可能性大小

9、。,而要比较的这种可能性实际上是在比较事件A已经发生的条件下，事件B1 和B2的条件概率:P(B1|A)和P(B2|A)的大小.,对条件概率P(B1|A)和P(B2|A)，根据乘法公式有:,其中，概率P(A)可由全概率公式计算,将上述思路推广到一般情况，就得到贝叶斯公式,证明,对于引例，可以计算出,P(B1|A)=,=0.6604,P(B2|A)=,=0.3396,说明如果发现次品，则该次品是甲车间生产的可能性较大.,1.全概、逆概公式是概率论中非常重要的公式.,2.把事件A看作结果，事件B1，B2,Bn 是导致该结果出现的所有可能原因，则P(A|Bj)即为“原因”Bj 发生的条件下“结果”A

10、发生的概率。要求A的概率，则由全概率公式有：,注,利用全概公式计算事件的概率的关键在于恰当地进行事件的互斥分解.,各原因下条件概率已知,求由某种原因造成结果的概率,全概率,贝叶斯,3.而在结果A已经出现的情况下，条件概率P(Bj|A)表示“是原因Bj导致A出现”的可能性大小。分析各种可能性，是人们做出判断的重要方式。此时可由贝叶斯公式有，,求结果发生概率,结果已发生,4.总结：,解,例9,由贝叶斯公式得所求概率为,上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的,叫做先验概率.,而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做后验概率.,注 先验概率与后验概率,解,例10,由贝叶斯公式得所求概率为,即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症.,注 注意,否则实际诊断中会出现误诊.,条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,四、小结,乘法公式,加法公式,