极限定理和抽样分布.ppt

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1、第七章极限定理和抽样分布,切贝谢夫定理：Chebyshevs Theorem,如果k2，则至少有75的个案分布在2倍的标准差之内；如果k3，则至少有89但个案分布在3倍的标准差之内。,切贝谢夫不等式,我们知道一个分布的特征值（如均值和方差）去推算这个分布的情况,当不知道总体分布而只知道总体特征值的时候，对概率分布做最保守的估计。注意：（1）这是保守的估计，因为不知道总体的分布；（2）由于这里指的是绝对离差，所以我们难以推知一端数据的概率，除非我们知道这个分布是对称分布。,极限定理：研究观察次数趋向无限次时，随机事件的变化方式。分类：1 大数定理：在什么条件下，随机事件可以转化为不可能事件或必然

2、事件。（特征值）（Law of Large Numbers）2 中心极限定理：在什么条件下，随机变量之和的分布可以近似为正态分布。(Central Limit Theory),一、贝努里大数定理（N变大时，诸随机变量的均值逐步接近总体的均值）,样本成数，实际上是指的样本频率。在讲离散型随机变量的概率分布时，我们将随机变量X定义为“A类事件出现的次数”。我们将出现的实际次数（m）除以总试验次数(n)，得到的A类实际出现的频率，我们叫做样本成数：，这是一个已知的、固定的值。,样本均值，是指将每一次独立试验的X的实际取值取平均数，得到的是样本均值：,在趋于极限时，离散变量的特征值行为：频率值趋近于概

3、率值，或者说样本成数无限趋近于总体成数。（可以看作n次独立实验，就有n个独立同分布的随机变量，每一个都是二点分布，数学期望p方差pq）,二、切贝谢夫大数定理（N变大时，诸随机变量的均值逐步接近总体的均值）,在趋于极限时，连续变量的特征值行为：平均值趋近于数学期望，或者说样本均值无限趋近于总体均值。,三、中心极限定理,几种等效的公式：,抽样分布,1 总体分布 population distributionX的所有取值形成的分布。我们在分析中往往不能知道总体分布的情况。2 样本分布 Sample distribution 3 抽样分布,理解抽样分布,（1）设想我们从一个总体中抽取一个样本容量为n的

4、样本；（2）抽取之后我们得到了样本；（3）我们现在把这个样本均值也看作是一个随机变量（它的确是个随机变量）；（4）样本均值的概率分布就是当我们重复不断抽取n个样本时，我们得到的不同的样本均值出现的可能性是不同的，也就是说它会有一个概率分布。我们把这个分布叫做样本均值的抽样分布；（5）当样本容量增大时，无论总体是什么分布，根据中心极限定理，样本均值的抽样分布是一个正态分布。,样本均值的数学期望就是总体的均值，而它的方差是总体方差的1/n。,样本均值的抽样分布（连续型变量）,样本均值是什么形式，与两个因素有关系：（1）总体分布（2）样本容量,当n=50时，不论总体分布如何，样本均值均服从正态分布。

5、,（这里也可以写出均值的均值）,（注意这里用S表示样本的标准差）,样本方差在样本容量逐渐增大时和总体方差一样了。是以总体为期望值的。,则当n很大时，t分布的方差为1，接近标准正态分布。,为了查表方便，n30时，当成正态分布,当总体为有限总体时且不放回抽样时，n=50样本的均值服从正态分布,这里需要方差已知,校正系数,当总体为有限正态总体时且不放回抽样时，n50样本的均值服从正态分布，必须是方差已知,总结样本均值的抽样分布：,抽样误差/标准误,样本方差的抽样分布,统计证明，当总体分布为正态分布时，则比值：,当n变大时，卡方分布变成正态分布。,当n逐渐增大时，我们将随机变量X看作是n个独立同分布的二点分布中事件A出现的次数，这样X实际上是n个二点随机变量之和。根据中心极限定理，XN（np，npq）,样本成数的抽样分布,二项分布的极限行为：,在这里，我们讨论在何种情况下，二项分布会趋近于正态分布呢？取决于两个条件：1、二项分布的偏度 p（总体分布）2、样本容量 n,P的取值为什么很重要？,因为p还涉及到总体分布的方差。总体分布方差越大，就要求n越大才会形成正态分布,若p取值偏小，则虽然n比较大，以正态分布模拟二项分布误差太大：,按二项分布计算,按样本成数计算,若x B(10,0.5),若n变大，n=30,例如 n=100,p=0.1,对二项分布的总结：,